TopList Яндекс цитирования
Русский переплет
Портал | Содержание | О нас | Авторам | Новости | Первая десятка | Дискуссионный клуб | Чат Научный форум
Первая десятка "Русского переплета"
Темы дня:

Мир собирается объявить бесполётную зону в нашей Vselennoy! | Президенту Путину о создании Института Истории Русского Народа. |Нас посетило 40 млн. человек | Чем занимались русские 4000 лет назад? | Кому давать гранты или сколько в России молодых ученых?


next up previous
Next: Два представления октета барионов Up: Лекция 5. (унитарная) симметрия Previous: Мезоны

Барионы

Барионы состоят из трех кварков. Их волновая функция, представленная тензором $B^{\alpha\beta\gamma}$, приводима. Не вдаваясь в детали, опишем разбиение тензора $B^{\alpha\beta\gamma}$ на неприводимые части. Начнем с того, что разобьем тензор $B^{\alpha\beta\gamma}$ на две части, одна из которых симметрична, а другая антисимметрична по индексам ${\alpha\beta}$

\begin{displaymath}B^{\alpha\beta\gamma} =
B^{\left\{\alpha\beta\right\}\gamma}+
B^{\left[\alpha\beta\right]\gamma}\end{displaymath}

Антисимметричную часть с помощью инвариантного тензора $\epsilon_{\alpha\beta\gamma}$ представим в эквивалентном виде

\begin{displaymath}B^{\left[\alpha\beta\right]\gamma}\rightarrow
{B^\gamma}_{\ga...
...{\alpha\beta{\gamma^\prime}}
B^{\left[\alpha\beta\right]\gamma}\end{displaymath}

Тензор ${B^\gamma}_{\gamma^\prime}$ аналогично тензору ${Q^\alpha}_\beta$ для мезонов разбивается на октетную и синглетную части

\begin{displaymath}{B^\gamma}_{\gamma^\prime} = {B^\gamma_0}_{\gamma^\prime} +
\...
...\epsilon_{\alpha\beta\delta}
B^{\left[\alpha\beta\right]\delta}\end{displaymath}

Если теперь вернуться к тензору

\begin{displaymath}B^{\left[\alpha\beta\right]\gamma} =
\frac12\epsilon^{\alpha\beta{\gamma^\prime}}{B^\gamma}_{\gamma^\prime},\end{displaymath}

то синглет будет описываться тензором

\begin{displaymath}\frac16\epsilon^{\alpha\beta\gamma}B,\end{displaymath}

где

\begin{displaymath}B =
\epsilon_{\alpha\beta\gamma}B^{\left[\alpha\beta\right]\gamma}.\end{displaymath}

Т.о. синглет представляет полностью антисимметричную часть первоначального тензора $B^{\alpha\beta\gamma}$.

Симметричную часть $B^{\left\{\alpha\beta\right\}\gamma}$ далее можно либо симметризовать по индексам $\beta\gamma$, получив полностью симметричный тензор $B^{\left\{\alpha\beta\gamma\right\}}$ (10 независимых компонент - декуплет), либо антисимметризовать по индексам $\beta\gamma$

\begin{displaymath}B^{\left\{\alpha\beta\right\}\gamma} =
B^{\left\{\alpha\beta\...
...a\right\}} +
B^{\left\{\alpha\left[\beta\right\}\gamma\right]} \end{displaymath}

Тензор $B^{\left\{\alpha\left[\beta\right\}\gamma\right]}$ также с помощью инвариантного тензора $\epsilon_{\alpha\beta\gamma}$ представим в эквивалентном виде

\begin{displaymath}B^{\left\{\alpha\left[\beta\right\}\gamma\right]}\rightarrow
...
...}\beta\gamma}
B^{\left\{\alpha\left[\beta\right\}\gamma\right]}\end{displaymath}

Тензор ${B^{\prime\alpha}}_{\alpha^\prime}$ представляет собой чисто октетный тензор, т.к. его след равен нулю ( ${B^{\prime\alpha}}_{\alpha} = \epsilon_{{\alpha}\beta\gamma}
B^{\left\{\alpha\left[\beta\right\}\gamma\right]} = 0$). В итоге мы получили разбиение волновой функции $B^{\alpha\beta\gamma}$ на симметричный декуплет, антисимметричный синглет и два октета со смешанной симметрией. Запишем результат в следующем виде

\begin{displaymath}3\times3\times3 = \begin{tabular}{cccc}
S&M&M&A\\ 10~+&$8^\prime~+$&8~+&1\\ & & & \end{tabular}.\end{displaymath}

Если сравнить этот результат с экспериментально наблюдемыми унитарными мультиплетами основных состояний барионов (декуплет барионов со спином 3/2 и октет барионов со спином 1/2), то можно заметить, что октет среди них присутствует в единственном числе, а синглет отсутствует. Причина этого состоит, как мы сейчас увидим, в принципе Паули, которому подчиняются составляющие кварки. Напишем волновую бариона в следующем виде

\begin{displaymath}\Psi = \begin {array}{c} S~~~~~~~~~~~~~~~~~A~~~~~~~~~~~~~S~~~...
...ma}
\times\Psi(s_1,s_2,s_3)\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\end{array},\end{displaymath}

где первый множитель в произведении представляет координатную волновую функцию кварков, симметричную по перестановкам координат кварков (для основного состояния бариона);
второй множитель представляет цветовую волновую функцию кварков, антисимметричную по перестановкам цветовых переменных $c_1,c_2,c_3$ ("белый" барион, синглет в цветовой группе $SU(3)$, ср. с синглетом в флейверной(унитарной) группе $SU(3)$);
$B^{\alpha\beta\gamma}$ - флейверная волновая функция кварков, симметрию которой для разных представлений мы только что описали;
$\Psi(s_1,s_2,s_3)$ - спиновая волновая функция, симметрию которой опишем аналогично тому как это было сделано для флейверной волновой функции

\begin{displaymath}2\times2\times2 = \begin{tabular}{ccc}
S&M&M\\ 4~+&$2^\prime~+$&2~\\ & & \end{tabular}.\end{displaymath}

Антисимметрия полной волновой функции, как видно, будет достигнута, если сделать симметричным произведение флейверной и спиновой волновых функций. Один способ очевиден: взять декуплет со спином 3/2. Другой способ (октет со спином 1/2) не столь очевиден,поясним его следующим образом. Если флейверные и спиновые переменные рассматривать одновременно, совместный индекс будет иметь 6 значений: $u, d, s$ - кварки со спинами "вверх-вниз". Для этого совместного индекса полностью симметричный тензор третьего ранга содержит $\frac{6\cdot 7\cdot 8}{1\cdot 2\cdot 3} = 56$ независимых компонент. Сорок из них - это декуплет со спином 3/2 ($10\cdot 4$). Остаются 16 компонент, которые не могут не представлять октет со спином 1/2 ($16 = 8\cdot 2$).
Таким образом принцип Паули отбирает возможные унитарные мультиплеты и спины основных состояний барионов. Заметим еще раз,что для унитарного синглета нет места среди основных состояний барионов.

Sergei B. Popov 2001-05-29

Rambler's Top100