Next: Два представления октета барионов
Up: Лекция 5. (унитарная) симметрия
Previous: Мезоны
Барионы состоят из трех кварков. Их волновая функция, представленная
тензором
, приводима. Не вдаваясь в детали,
опишем разбиение тензора
на неприводимые
части. Начнем с того, что разобьем тензор
на две части, одна из которых симметрична, а другая антисимметрична
по индексам
Антисимметричную часть с помощью инвариантного тензора
представим в эквивалентном виде
Тензор
аналогично тензору
для мезонов разбивается на октетную и
синглетную части
Если теперь вернуться к тензору
то синглет будет описываться тензором
где
Т.о. синглет представляет полностью антисимметричную часть
первоначального тензора
.
Симметричную часть
далее можно
либо симметризовать по индексам , получив полностью
симметричный тензор
(10
независимых компонент - декуплет), либо антисимметризовать по
индексам
Тензор
также с помощью инвариантного тензора
представим в эквивалентном виде
Тензор
представляет собой
чисто октетный тензор, т.к. его след равен нулю
(
).
В итоге мы получили разбиение волновой функции
на симметричный декуплет, антисимметричный
синглет и два октета со смешанной симметрией. Запишем результат
в следующем виде
Если сравнить этот результат с экспериментально наблюдемыми
унитарными мультиплетами основных состояний барионов (декуплет
барионов со спином 3/2 и октет барионов со спином 1/2), то можно
заметить, что октет среди них присутствует в единственном числе, а
синглет отсутствует. Причина этого состоит, как мы сейчас увидим,
в принципе Паули, которому подчиняются составляющие кварки.
Напишем волновую бариона в следующем виде
где первый множитель в произведении представляет координатную
волновую функцию кварков, симметричную по перестановкам координат
кварков (для основного состояния бариона);
второй множитель представляет цветовую волновую функцию кварков,
антисимметричную по перестановкам цветовых переменных
("белый" барион, синглет в цветовой группе , ср. с синглетом
в флейверной(унитарной) группе );
- флейверная волновая функция кварков,
симметрию которой для разных представлений мы только что описали;
- спиновая волновая функция, симметрию которой
опишем аналогично тому как это было сделано для флейверной волновой
функции
Антисимметрия полной волновой функции, как видно, будет достигнута,
если сделать симметричным произведение флейверной и спиновой волновых
функций. Один способ очевиден: взять декуплет со спином 3/2.
Другой способ (октет со спином 1/2) не столь очевиден,поясним его
следующим образом. Если флейверные и спиновые переменные
рассматривать одновременно, совместный индекс будет иметь 6
значений: - кварки со спинами "вверх-вниз". Для этого
совместного индекса полностью симметричный тензор третьего ранга
содержит
независимых
компонент. Сорок из них - это декуплет со спином 3/2 ().
Остаются 16 компонент, которые не могут не представлять октет со
спином 1/2 ().
Таким образом принцип Паули отбирает
возможные унитарные мультиплеты и спины основных состояний барионов.
Заметим еще раз,что для унитарного синглета нет места среди основных
состояний барионов.
Sergei B. Popov
2001-05-29