Портал | Содержание | О на� | �вторам | �ово�ти | Перва� де��тка | Ди�ку��ионный клуб | Чат �аучный форум Перва� де��тка "Ру��кого переплета" Темы дн�:

Мир �обирает�� объ�вить бе�полётную зону в нашей Vselennoy! | Президенту Путину о �оздании Ин�титута И�тории Ру��кого �арода. |�а� по�етило 40 млн. человек | Чем занимали�ь ру��кие 4000 лет назад? | Кому давать гранты или �колько в Ро��ии молодых ученых?

Мезоны. Смешивание

Переход� к мезонам, отметим две о�обенно�ти. Перва� �о�тоит в том, что ма��овый лагранжиан бозонов квадратичен по ма��ам ча�тиц в отличие от ма��ового лагранжиана фермионов линейного по ма��ам ча�тиц. По�тому в ма��овых �оотношени�х дл� бозонов будут фигурировать квадраты ма��. �апример по аналогии � формулой Гелл-Манна - Окубо мы получаем �ледующие �оотношени� дл� ма�� ча�тиц октетов п�евдо�кал�рных и векторных мезонов.

$$3m^2_{\eta_8} + m^2_{\pi} = 4m^2_K$$

$$3m^2_{\omega_8} + m^2_{\rho} = 4m^2_{K^*}$$

Зде�ь $\eta_8$ и $\omega_8$ - изотопиче�ки �инглетные компонеты унитарных октетов

$${P^3}_3 = -\frac{2\eta_8}{\sqrt{6}}~~~~~~~~ {V^3}_3 = -\frac{2\omega_8}{\sqrt{6}}.$$

Эти ча�тицы ненаблюдаемы также, как ненаблюдаемы изотопиче�ки �инглетные унитарные �инглеты $\eta_0$ и $\omega_0$. Причина их ненаблюдаемо�ти (втора� о�обенно�ть мезонов по �равнению � барионами) �о�тоит в том, что $SU(3)$- �инглетные и октетные мезоны �мешивают�� из-за нарушени� $SU(3)$- инвариантно�ти. Смешивающа� ча�ть в ма��овом лагранжиане мезонов имеет �имметрию (3,3) - компоненты тензора, т.е. допу�тима по �имметрийным �оображени�м

$$L^{mix}_m = m^2_{mix} {M^3}_3M_0,$$

где ${M^\alpha}_\beta$ пред�тавл�ет октет мезонов, а $M_0$ - �инглетный мезон. Результатом �мешивани� мезонов $\eta_8$ и $\eta_0$ ($\omega_8$ и $\omega_0$) �вл�ют�� мезоны $\eta$ и $\eta^\prime$ ($\phi$ и $\omega$). Опишем проце�� �мешивани�.

�ари�уем о�ь, на которой будем откладывать квадраты ма�� ча�тиц. �ачнем � п�евдо�кал�рных мезонов. �ам изве�тен квадрат ма��ы мезона $\eta_8$: $m^2_{\eta_8} = (4m^2_K - m^2_{\pi})/3 = (566 MeV)^2$. Эк�периментально изве�тны квадраты ма�� мезонов $\eta$ и $\eta^\prime$: $m^2_\eta = (549 MeV)^2$ и $m^2_{\eta^\prime} = (958 MeV)^2$

$$------\vert------\vert-----------\vert------\vert------>$$

$$~~~~~~~~~~~~~~~~~~\eta~~~~~~~~~~~~~~~~~~\eta_8~~~~~~~~~~~~~~~... ...~~~~~~~~~~ \eta_0~~~~~~~~~~~~~~~~~\eta^\prime~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$

$$~~~~~~~~~~~~~~(549)^2~~~~~~~~~~~~(566)^2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (949)^2~~~~~~~~~~~~(958)^2~~~~~~~~~~~~~~$$

$$~~~~~~~~~~{\small\frac{1}{\sqrt{6}}(u{\bar u} + d{\bar d} - 2... ...frac{1}{\sqrt{3}}(u{\bar u} + d{\bar d} + s{\bar s})}~~~~~~~~~~$$

Квадрат ма��ы мезона $\eta_0$ находит�� по формулам �мешивани�:

$$m^2_{\eta^\prime} - m^2_{\eta_0} = m^2_{\eta_8} - m^2_\eta$$

- два уровн� ра�талкивают�� в противоположные �тороны на равные ра��то�ни�. Мы видим, что недиагональный $\eta_8$- мезон легче недиагонального $\eta_0$- мезона, хот� т�желых �транных кварков в $\eta_8$- мезоне больше, чем в $\eta_0$- мезоне, и �то вызывает удивление, об�уждать которое мы будем на �ледующей лекции. Смешивание мезонов опи�ывает�� углом �мешивани� $\theta_P$

$$\eta = cos\theta_P \eta_8 + sin\theta_P \eta_0$$

$$\eta^\prime = -sin\theta_P \eta_8 + cos\theta_P \eta_0,$$

который можно найти, е�ли обратить формулы �мешивани�

$$\eta_8 = cos\theta_P \eta - sin\theta_P \eta^\prime$$

$$\eta_0 = sin\theta_P \eta + cos\theta_P \eta^\prime$$

и вычи�лить матричный �лемент оператора квадрата ма��ы, например, по �о�то�нию $\eta_8$- мезона

$$m^2_{\eta_8} = cos^2\theta_P m^2_\eta + sin^2\theta_P m^2_{\eta^\prime}.$$

Тогда

$$sin^2\theta_P = \frac{m^2_{\eta_8} - m^2_\eta}{m^2_{\eta^\prime} - m^2_\eta}~~~~~~~\rightarrow \vert\theta_P\vert \approx 10^o$$

Пред�казание дл� угла �мешивани� $\theta_P$, полученное на о�нове ма��овых формул, мы будем и�пользовать на �ледующей лекции при ра��мотрении аннигил�ции п�евдо�кал�рных мезонов в два фотона.

Перейдем к векторным мезонам. �ам изве�тен квадрат ма��ы мезона $\omega_8$: $m^2_{\omega_8} = (4m^2_{K^*} - m^2_{\rho})/3 = (929 MeV)^2$. Эк�периментально изве�тны квадраты ма�� мезонов $\omega$ и $\phi$: $m^2_\omega = (780 MeV)^2$ и $m^2_{\phi} = (1020 MeV)^2$

$$------\vert------\vert-----------\vert------\vert------>$$

$$~~~~~~~~~~~~~~~~~~\omega~~~~~~~~~~~~~~~~~~\omega_0~~~~~~~~~~~... ...~~~~~~~~~~~~~~~ \omega_8~~~~~~~~~~~~~~~~~\phi~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$

$$~~~~~~~~~~~~~~(780)^2~~~~~~~~~~~~(900)^2~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (929)^2~~~~~~~~~~~~(1020)^2~~~~~~~~~~~~~~$$

$$~~~~~~~~~~{\small\frac{1}{\sqrt{3}}(u{\bar u} + d{\bar d} + ... ...rac{1}{\sqrt{6}}(u{\bar u} + d{\bar d} - 2s{\bar s})}~~~~~~~~~~$$

Ма��а мезона $\omega_0$, найденна� по формулам �мешивани�, меньше ма��ы мезона $\omega_8$ и �то не вызывает удивлени�, по�кольку в $\omega_0$ - мезоне меньше �транных кварков, чем в $\omega_8$ - мезоне.

Смешивание векторных мезонов опи�ывает�� углом �мешивани� $\theta_V$

$$\omega = cos\theta_V \omega_0 + sin\theta_V \omega_8$$

$$\phi = -sin\theta_V \omega_0 + cos\theta_V \omega_8.$$

Согла�но ма��овым формулам �тот угол равен

$$sin^2\theta_V = \frac{m^2_{\omega_0} - m^2_\omega}{m^2_{\phi}... ...mega}~~~~~~~\rightarrow ~~~~~~~\vert\theta_V\vert \approx 40^o.$$

Угол $\theta_V$ близок к идеальному углу �мешивани�

$$cos {\theta_V}_{ideal} = \sqrt{\frac23}~~~~~~~~ sin {\theta_V}_{ideal} = \sqrt{\frac13}~~~~~~~~{\theta_V}_{ideal}\approx 35^o,$$

при котором $\omega$ - мезон не �одержит �транных кварков, а $\phi$ - мезон не �одержит не�транных кварков.

Более подробно вопро�ы �мешивани� мезонов мы будем об�уждать на �ледующей лекции.