TopList Яндекс цитирования
Русский переплет
Портал | Содержание | О нас | Авторам | Новости | Первая десятка | Дискуссионный клуб | Чат Научный форум
Первая десятка "Русского переплета"
Темы дня:

Мир собирается объявить бесполётную зону в нашей Vselennoy! | Президенту Путину о создании Института Истории Русского Народа. |Нас посетило 40 млн. человек | Чем занимались русские 4000 лет назад? | Кому давать гранты или сколько в России молодых ученых?


next up previous
Next: Дикварки и мезоны Up: Лекция 4. Изотопическая симметрия Previous: Лекция 4. Изотопическая симметрия

Кварки и антикварки

Изотопическая симметрия сильных взаимодействий связана с тем, что массы $u$ и $d$ - кварков ( $m_u = 4 MeV, m_d = 7 MeV$) выглядят приблизительно равными ( $m_u \approx m_d$) с точки зрения характерного адронного масштаба ($1 GeV$)

\begin{displaymath}\Delta m_{ud} << 1 GeV\end{displaymath}

и проявляется в том, что сильные взаимодействия при $m_u = m_d$ инвариантны относительно изотопических $SU(2)$ преобразований

\begin{displaymath}\left(
\begin{array}{l}u\\ d\end{array}\right)
\rightarrow U(2)
\left(
\begin{array}{r}u\\ d\end{array}\right).
\end{displaymath}

Простейшим (фундаментальным) представлением группы $SU(2)$ является спинор $\Psi^\alpha; \alpha = 1,2$, например дублет кварков. Группа $SU(2)$

\begin{displaymath}U^+U = I~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~det U = 1\end{displaymath}

имеет три генератора $\frac{ \tau_i}{2}$

\begin{displaymath}U = exp(i {\mbox{\boldmath $\omega$}}\frac{{\mbox{\boldmath $\tau$}}}{2}),\end{displaymath}

один из которых ( $\frac{\tau_3}{2}$) можно сделать диагональным. Матрицы $ \tau_i$- эрмитовы (унитарность матрицы $U$), бесследовы (равенство единице определителя матрицы $U$) и имеют вид

\begin{displaymath}\tau_1 = \left(\begin{array}{l}
0~~~~1\\ 1~~~~0\end{array}\ri...
...\tau_3 = \left(\begin{array}{r}
1~~~~0\\ 0-1\end{array}\right).\end{displaymath}

Для них выполняются следующие коммутационные, антикоммутационные и нормировочные соотношения

\begin{displaymath}\left[\frac{\tau_i}{2},\frac{\tau_j}{2}\right] =
i\epsilon_{ijk}\frac{\tau_k}{2},\end{displaymath}


\begin{displaymath}\left\{\tau_i ,\tau_j\right\} = 2\delta_{ij}I,\end{displaymath}


\begin{displaymath}Tr(\tau_i\tau_j) = 2\delta_{ij}.\end{displaymath}

Для других представлений группы $SU(2)$ преобразования имеют вид

\begin{displaymath}exp(i{\mbox{\boldmath $\omega$}}{\mbox{\boldmath $T$}}),\end{displaymath}


\begin{displaymath}\left[T_i , T_j\right] =
i\epsilon_{ijk}T_k .\end{displaymath}

Кварковый дублет преобразуется посредством матрицы $U$ как контравариантный спинор

\begin{displaymath}q^{\prime\alpha} = {U^\alpha}_\beta q^\beta\end{displaymath}

Антикварки преобразуются посредством комплексно сопряженной матрицы $U^*$

\begin{displaymath}q^{\prime\alpha *} = {U^{\alpha *}}_\beta q^{\beta *}\end{displaymath}

или как ковариантный спинор

\begin{displaymath}{\bar q}^{\prime}_\alpha = {\bar q}_\beta {U^{-1\beta}}_\alph...
...beta {U^{+\beta}}_\alpha = {\bar q}_\beta
{U^{*\alpha}}_\beta.\end{displaymath}

В группе $SU(2)$ имеются два инвариантных тензора

\begin{displaymath}{\delta^\alpha}_\beta \rightarrow {U^\alpha}_{\alpha^\prime}
...
...a^\prime} {U^{-1{\beta^\prime}}}_\beta
= {\delta^\alpha}_\beta,\end{displaymath}


\begin{displaymath}\epsilon^{\alpha\beta} \rightarrow {U^\alpha}_{\alpha^\prime}...
...me} =
\epsilon^{\alpha\beta} (det U) = \epsilon^{\alpha\beta}.\end{displaymath}

С помощью второго из них - антисимметричного тензора $\epsilon^{\alpha\beta}
$- ковариантный тензор можно преобразовать в контравариантный тензор, т.о. кварки и антикварки преобразуются по унитарно эквивалентным представлениям

\begin{displaymath}{\bar q}_\alpha = ({\bar u},{\bar d})\begin{array}{c}\epsilon...
...ght) = {\bar q}^\beta = \epsilon^{\beta\alpha}
{\bar q}_\alpha.\end{displaymath}



Sergei B. Popov 2001-05-29

Rambler's Top100