I

 

Однажды летом мы с мамой поехали отдыхать в Эльву (популярное тогда местечко в Эстонии). По соседству с Эльвой находится обсерватория Тыравере, где как раз тогда проходила конференция по релятивистской астрофизике. Отец там, разумеется, тоже был. Однажды мы с мамой оказались там во время перерыва, когда участники конференции вышли наружу. Отец подошел к нам и предложил познакомить нас с Зельдовичем, успев шепнуть «Это наш советский Оппенгеймер!». «Яков Борисович», сказал он, «вот этот молодой человек тоже читал Вашу книгу». Речь шла о книге «Высшая математика для начинающих», которая незадолго до того появилась в магазинах. Я не то чтобы читал ее, но в руках подержал. У отца, когда он обратился к Зельдовичу, было явно хулиганское выражение лица; он, очевидно, предвкушал то, что сейчас произойдет (мы с ним говорили об этой книге незадолго до того).

 

Зельдович живо повернулся ко мне и спросил «Ну как Вам понравилось»? И я ему прямо сказал, что не понравилось совсем. «Почему?» - спросил он с удивлением. «Потому что нестрого», ответил я со всем апломбом матшкольника, кружковца и олимпиадника, помноженным на полное невежество во всех областях науки, техники и искусства. И все-таки снисходительно пояснил, что анализ должен быть основан на теории множеств и теории пределов (по Фихтенгольцу), а не на махании руками, как это было у Зельдовича в его книге.

 

II

 

Зельдовича подобная наглость очень развеселила. Он задал мне пару вопросов по книге и убедился, что я ее таки не читал. Это его не смутило, и он сказал «Тогда вот решите задачку». Задача была такая:

 

Рассмотрим маятник, состоящий из металлического шарика, подвешенного на нитке к проволочным воротцам. При этом нитка в верхней части раздвоена, и две ее половинки прикреплены в двух разных точках горизонтальной перекладины. Дано еще, что длина наклонных ниток (расположенных наверху) много меньше, чем длина основной нитки.

 

Требуется качественно описать движение маятника в общем случае, когда он качается не в плоскости чертежа, и не в перпендикулярной плоскости.

 

Я видел что-то похожее в учебнике Ландсберга и все-таки сообразил, что движение маятника будет суммой гармонических колебаний в двух перпендикулярных плоскостях с разными периодами. Зельдович одобрительно кивнул и спросил, а что же дальше. А вот этого я не знал. И, как оказалось, знать не мог. На самом деле имелось в виду, что периоды колебаний в двух плоскостях хоть и разные, но близкие (потому что развилка в верхней части маятника гораздо меньше, чем остальная нитка). Поэтому можно считать, что локально (по времени) периоды в двух плоскостях одинаковы, но разность фаз между этими колебаниями постепенно меняется. Если бы периоды были точно одинаковы, а разность фаз постоянна, то маятник двигался бы по эллипсу, чей эксцентриситет зависит от сдвига фаз (кстати, этого я тоже не знал). А так маятник движется по медленно меняющемуся эллипсу, у которого эксцентриситет медленно меняется со временем, и направление вращения то по часовой стрелке, то против.

 

III

 

Вот этого последнего вывода я сделать тогда никак не мог. Меня никто не учил такому способу мышления (разделению быстрых и медленных переменных, адиабатическому описанию, ...). Если бы я к тому времени действительно прочел и продумал книгу, которую так сурово ругал, то я бы это понимал; а так это совсем не само собой разумеющиеся вещи.

 

Когда через много лет я пришел к Зельдовичу в его кабинет в ИПМ, я увидел у него на столе тот самый маятник: проволочные воротца, раздвоенная ниточка и блестящий шарик. Очевидно, этот образ был для него чем-то важен и дорог. Конечно, это универсальная модель многих эффектов в атомной физике, но все-таки интересно, почему он был так привязан именно к этим воротцам...

 

Зельдович, конечно, мог от души смеяться, когда я разносил его книгу. Но ему, наверно, было совсем не так смешно, когда то же самое, и почти в тех же выражениях, говорилось академиками на ученом совете Стекловки. Мало того, все эти речи были напечатаны в Мат. Сборнике, и тем самым сохранены для потомков. Вспомнил ли он тогда наш разговор в Тыравере?

 

IV

 

Но время шло, я изучал разные науки, не только математику. Мне очень понравились лекции Баренблатта по механике сплошной среды, где он щедро ссылался на Зельдовича. Потом я долго работал в нефтяном институте, где требовалась настоящая прикладная математика, как раз в духе Зельдовича. В конце концов я прочел и его книгу. Она оказалась замечательной; но до нее надо было дорасти.

 

Книга Зельдовича делится приблизительно на две части. В первой части он объясняет (кратко и понятно, но все-таки не совсем на пальцах) основные понятия анализа (то, что в Америке называется calculus, в отличие от analysis). А остальная часть книги посвящена фактически одному-единственному уравнению y' +ky= f. Собственно, рассматривается не это уравнение само по себе, а примерно дюжина физических задач, приводящих к этому (и близким) уравнению. Все задачи разобраны замечательно, с рассмотрением интересных частных и предельных случаев, с разделением (где это нужно) быстрых и медленных переменных, с физическими байками (многие из первых рук)... Чудо что за книжка!

 

V

 

Когда я уехал из России и стал преподавать, у меня постепенно появилась мечта: прочесть курс по книге Зельдовича. Возможность для этого представилась не скоро, только когда я стал работать в университете Халла (это в Англии, в Йоркшире). В Англии образование сильно бюрократизировано, и новый курс ввести непросто. Но если он уже введен, то его отменить нельзя, хотя фактически он может не читаться годами. В Халле был такой лежачий курс, под названием «Моделирование». Что это такое, каждый лектор понимал по-своему. Смысл его был приблизительно в том, что в курсе дифференциальных уравнений никогда не оставалось времени для разбора физических задач, к этим уравнениям приводящих. Так вот, все эти задачи было предложено засунуть в отдельный семестровый курс, который должен был читаться перед курсом дифференциальных уравнений. Тем самым предполагалось дать студентам и мотивировки для изучаемой теории, и некоторую «пропедевтику», некое предзнание, когда простейшие методы решения уравнений объясняются сперва на пальцах.

 

Я решил, что это и есть тот самый курс, который можно сделать «по Зельдовичу», и попросил его себе. По моему проекту, для каждой темы я должен был строить модель-демонстрацию на Матлабе, так что процесс можно было видеть на экране. Так, при изучении радиоактивного распада на экране были видны цветные точки - атомы, которые в случайном порядке исчезали (все делалось по-честному, с помощью датчика случайных чисел). Потом рисовался график логарифма числа оставшихся атомов как функции времени. Надо было показать, что получилась приблизительно прямая; я воспользовался стоящей в углу шваброй, приложил ее ручку к экрану, как линейку, и все убедились, что действительно, прямая. Потом я показал график из книги Зельдовича, изображающий убывание числа атомов искусственного элемента менделеевия (их было сперва 17, потом они все распались). И примерно так все темы.

 

Результат был не очень вдохновляющий. Студенты почти не реагировали, или реагировали не так, как я бы хотел. Так, когда я рассказывал про одномерное движение в потенциальном поле, и иллюстрировал теорию на экране движением смешных машинок по холмистой дороге, в то время как одновременно показывалось движение в фазовой плоскости, никакой реакции не было, только одна студентка пискнула «А можно еще посмотреть?». С другой стороны, когда мы говорили о горении и взрыве газовой смеси, я был приятно удивлен, что некоторые студенты знают про безопасную лампу Дэви (все-таки Англия). Но в целом я опять убедился (и убеждался потом еще не раз), что такой курс успеха иметь не может: он пытается ответить на вопросы, которые студенты не задавали и задать в принципе не в состоянии. Так что ни способным ребятам в Тель-Авиве, ни дубоватым йоркширцам в Халле, ни студентам со всего света в Монреале эта роскошь не нужна. Остается искать индивидуумов (они есть) и с ними работать.

 

VI

 

Отношение Зельдовича к математической строгости (в его книжке), за которую его так ругали академики в Стекловке и я, совсем не так просто, как сперва казалось. Постепенно я начал осознавать, что здесь есть о чем серьезно подумать. Чтобы объяснить, в чем дело, я приведу такой пример. Пусть есть деформируемое упругое тело. Его деформация определяется положением каждой его частицы, то есть функцией y= f (x), где x это координаты частицы в исходном состоянии, а y - координаты той же частицы в деформированном состоянии тела. Дальше мы можем определить локальную деформацию в каждой точке тела, тензор напряжений, написать уравнение движения с подходящими граничными условиями, и т.д. При этом мы пользуемся правилами дифференциального и интегрального исчисления, которые сперва нужно объяснить, что Зельдович, конечно, делает. Но насколько серьезно надо относиться к математическому аппарату? Нужно ли влезать в основания, во все эти эпсилоны и дельты, измеримые и интегрируемые функции? Ведь потом надо будет влезть в определения и свойства действительных чисел, спуститься до натуральных чисел, и торжественно доказать, что 2×2=4. Но и это не конец, надо спуститься на уровень теории множеств... на котором невозможно удержаться, пока не спустишься на уровень логики... но и там не усидеть...

 

Для физика вся эта ученость мало осмысленна. Настоящая проблема в другом. Физик знает, что сплошной среды не бывает; среда состоит из атомов. Это приводит к вполне наблюдаемым и физически важным эффектам. Если, например, изучать распространение упругих волн в кристалле, то при уменьшении длины волны, когда она приближается к межатомному расстоянию, наблюдается заметная дисперсия: скорость волны зависит от ее длины. А короче межатомного расстояния волна быть не может. Поэтому настоящий вопрос здесь, почему низкочастотная волна, у которой длина много больше, чем межатомное расстояние, распространяется с такой скоростью, какая определяется уравнениями упругости? И, в частности, почему у очень длинных волн практически нет дисперсии? Это серьезный вопрос, требующий вычислений и оценок.

 

Собственно анализ, то есть дифференциальное и интегральное исчисление, тоже требует серьезного обоснования и оценок. Мало того, эти оценки весьма похожи на те, что требуется для обоснования вышеописанной теории длинных волн. Так ведь Зельдович и делает эти оценки в одном и том же стиле. Например, чтобы найти производную от функции y=x², он находит последовательно (x+0.1)²−x² / 0.1 =2x+0.1, (x+0.01)²−x² / 0.01 =2x+0.01, ..., и делает вывод, что производная от x² равна 2x. Влезание в бесконечно малые он считает ненужным. Мало того, с точки зрения рассматриваемых задач, бесконечно малых нет!

 

Для Физика представление об идеальной сплошной, бесконечно делимой среде, это не более чем модель. У физической среды есть свои свойства, а у модели свои. В какой-то области масштабов свойства среды и ее модели близки, а вне этой области модель не работает. Физик не обязан изучать свойства модели глубже, чем это нужно для его физической проблемы; иначе он рискует впасть в ошибку, приняв модель чересчур всерьез.

 

Надо заметить, что слово «модель» здесь имеет не совсем обычный смысл. Рассмотрим, например, колебания кубического кристалла, содержащего 10⁸×10⁸×10⁸ атомов. Ясно, что в лоб такую большую систему не сосчитаешь, надо рассмотреть упрощенную модель. Можно рассмотреть меньшую систему, скажем из 10²×10²×10² атомов; это модель настоящего кристалла. Такую систему можно уже обсчитать на компьютере, и результаты будут сопоставимы с реальной системой, если ограничиться длинноволновыми решениями. А можно рассмотреть другую модель: упругий континуум, энергия деформации которого определяется интегралом от некоторой функции от тензора деформации. Можно сказать, что одна модель аппроксимирует нашу систему снизу, а вторая модель - сверху. Обе эти модели неидеальны, к обеим нужно относиться с должным подозрением, и ни одна из них не более священна, чем другая.

 

VII

 

Эти соображения могут показаться тривиальными. Но давайте их продолжим. Нас так долго учили, что мир, описываемый математическими определениями, единственный возможный, что мы в это действительно поверили. Мы привыкли к тому, что знаем, что такое число, что такое пространство, что такое функция. И вдруг оказывается, что есть нестандартные числа, среди которых имеются бесконечно большие и бесконечно малые. И что есть не одно понятие функции, а не менее дюжины малопохожих друг на друга вещей, отдаленно напоминающих функции. Чего стоит, например, такой зверь как корень квадратный из δ - функции, который встретился мне в статье Баренблатта и Зельдовича об автомодельных асимптотиках!

 

Даже такое понятие как время тоже оказалось моделью. Эта тема почти не обсуждается, но иногда появляются статьи про «долгое время» в геологии, биологической эволюции, или космологии. Эволюция ведь состоит из массы событий, которые как-то расположены относительно друг друга. Во вселенных, изучаемых этими науками, событий произошло очень много. Нам кажется само собой разумеющимся, что эти события размещаются в привычном нам физическом времени, изображаемом математической прямой, осью t. Но почему обязательно так? В биологической эволюции, например, события располагаются в виде островов, образующих архипелаги и суперархипелаги разных порядков. Тем самым нет никакой однородности оси времени; эволюционное время имеет другие свойства, чем-то напоминающие свойства нестандартной прямой, где живут нестандартные числа. Так что «наивное» понимание времени тут не годится, нужна другая модель времени.

 

Осознание того, что привычное понятие времени есть не более, чем модель чего-то более сложного, затрудняется неясностью альтернатив. Может ли быть что-то другое?

 

Оказывается, может. В теории множеств уже давно существует богатая теория порядков, которая как раз и изучает разные способы расположения событий друг относительно друга (имеется в виду бесконечное множество событий; но когда их очень много, их число уже ближе к бесконечности, чем к единице; поэтому логично принять модель, в которой число событий бесконечно). Вот среди этих экзотических порядков и надо искать модель долгого времени эволюции. (Я в своей работе о долговременном поведении течений жидкости действительно определил такую нестандартную модель времени, с нетривиальными результатами).

 

VIII

 

А раз так, можно пойти и дальше, и покуситься на самое логику. Ведь что есть логика, как не модель мышления? Первой такой моделью была логика Аристотеля. Логика Аристотеля подробно описывает мышление, она же предписывает, как надо мыслить. Но модель эта неполна, и не всегда адекватна (это было бы и невозможно). Бертран Рассел жаловался, что абсолютизация логики Аристотеля задержала развитие мышления на полторы тысячи лет. А вот не надо путать модель и абсолютную истину, тогда не будет таких задержек! Зато сейчас логик сколько угодно, есть даже логика интернета.

 

Но это уже слишком далеко от того маленького нахала, который критиковал великого Зельдовича. Я про это напишу подробнее в другом месте.