Американские физики спроектировали компактный оптический аналоговый вычислитель, который практически мгновенно решает дифференциальные и интегральные уравнения. В его основе лежит метаматериал с субволновым распределением диэлектрической проницаемости, а решение кодируется в рассеянной на нем волне. Исследование опубликовано в Physical Review Letters.
Классические компьютеры неразрывно ассоциируются с цифровой электроникой. Цифровой подход основан на представлении информации в виде единиц и нулей и ее обработке с помощью битовых операций. Такой подход естественен при сложении или вычитании целых и даже рациональных чисел. Он же применяется и при обработке аналоговых сигналов, которые представляют собой функции одной или нескольких переменных. В этом случае необходимо производить аналогово-цифровые преобразования.
Вместе с тем существует другой подход, основанный на использовании аналоговых компьютеров. В нем обработка аналоговой информации производится вычислителем напрямую. Благодаря этому аналоговый подход обладает преимуществом в скорости при работе с функциями, например, дифференцировании, интегрировании или решении дифференциальных уравнений. Строго говоря, первые вычислительные машины были именно аналоговыми, в частности, механическими (например, Антикитерский механизм). Их ключевым недостатком стало отсутствие универсальности, и, в конце концов, во второй половине аналоговые компьютеры уступили своё место цифровым устройствам, чья вычислительная мощность на тот момент росла согласно закону Мура.
В наши дни закон Мура сильно замедлился. В поисках способов ускорения вычислений физики и инженеры все чаще стали смотреть в сторону аналоговых компьютеров. Этому способствует бурный прогресс в области создания материалов, по-новому взаимодействующих со светом. Например, мы уже рассказывали, как ученые создали оптические и терагерцовые аналоговые нейтронные сети. Ключевым недостатком этих технологий стал их большой размер, что не позволяет реализовать их на чипе.
Для решения этой проблемы Андреа Алу (Andrea Alù) с коллегой из Городского университета Нью-Йорка предложили использовать метаматериалы. С помощью численных симуляций они показали, что сконструированные на их основе микрометровые аналоговые вычислители способны почти мгновенно решать дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения с высокой точностью и устойчивостью, если облучать их светом определенной частоты.
Некоторые математические операции проще проводить в одну сторону, чем в другую. Типичный пример — это дифференцирование или интегрирование. На практике мы чаще всего сталкиваемся с необходимостью восстановить исходные данные по набору наблюдаемых данных, произведя вычисления в «сложную» сторону. Решение таких обратных задач занимает важное место в целом ряде прикладных наук.
Применение оптического аналогового вычислителя к этой проблеме основано на представление входных и выходных решений в виде разложения по импульсам. Вычислитель проектируется таким образом, чтобы связать эти коэффициенты согласно некоторому оператору, который содержит в себе всю информацию о задаче. Для реализации на практике невозможно сохранить бесконечность такого разложения: его приближенность должна быть сбалансирована с требуемой точностью восстановления.
Авторы предложили использовать в качестве входных и выходных данных электромагнитные волны, которые рассеиваются вычислителем, представляющим собой структуру, чья диэлектрическая проницаемость зависит от координаты некоторым заранее настроенным образом. Их задачей было описать профиль этой структуры в зависимости от того, какое уравнение вычислитель будет решать.
Для демонстрации работоспособности этого принципа, физики ограничились двумерным представлением. Оно предполагает, что все волны имеют цилиндрический волновой фронт, а диэлектрическая проницаемость зависит только от двух координат. Выбрав поляризацию волн, перпендикулярную плоскости, авторы свели электромагнитную задачу к скалярной. В этом случае входные и выходные данные имели вид одномерных функций полярного угла.
Исследователи раскладывали рассеянные и падающие волны по функциям Ханкеля первого и второго рода, соответственно. Это позволило описывать данные в виде столбцов, а само математическое преобразование в виде матрицы. Для того чтобы сопоставить этой матрице некоторое распределение диэлектрической проницаемости, физики решали задачу оптимизации для целевой функции, собранной из ошибок преобразования для всех компонент разложения.
В качестве примера физики спроектировали вычислитель, который решает дифференциальное уравнение второго порядка, а также интегральное уравнение Фредгольма второго рода. В их модели рабочая частота волн, раскладываемых по пяти гармоникам, составила 135 терагерц, радиус структуры был равен одному микрометру, а информация считывалась с радиуса, равного 1,6 микрометра. В результате вычислений они восстанавливали пространственный профиль для диэлектрических проницаемостей, равный 1 и 12. Работоспособность профиля авторы проверяли метода конечных элементов, сравнивая волны на выходе с точным решением уравнений.
Результаты симуляций показали, что сделанных приближений достаточно для хорошего воспроизведения решений. Модель показала устойчивость даже тогда, когда авторы добавили шум к частоте и к распределению диэлектрической проницаемости. Физики отмечают, что если расширить описанный метод до трехмерного случая, это позволить решать задачи для двумерных функций. В данный момент они работают над экспериментальной реализацией предложенного аналогового вычислителя в рамках оптики и акустики.
По информации https://nplus1.ru/news/2022/02/21/analog-equation-solver
