Портал | Содержание | О нас | Авторам | Новости | Первая десятка | Дискуссионный клуб | Чат Научный форум Первая десятка "Русского переплета" Темы дня:

Мир собирается объявить бесполётную зону в нашей Vselennoy! | Президенту Путину о создании Института Истории Русского Народа. |Нас посетило 40 млн. человек | Чем занимались русские 4000 лет назад? | Кому давать гранты или сколько в России молодых ученых?

            Система астрономических постоянных

В любой теории, рассматриваемой в небесной механике, приходится иметь дело с некоторыми постоянными величинами, носящими фундаментальный характер. Мы не раз упоминали и использовали такие постоянные, как отношение средних расстоянии Земля-Луна и Земля-Солнце а/а', отношение масс Земли и Луны, Солнца и системы Земля-Луна, экваториальный радиус Земли, гравитационная постоянная.

Чтобы построить точную теорию движения Луны, недостаточно написать соответствующие буквенные выражения. Нужно подставить в них значения постоянных и получить достаточно хорошее согласие с наблюдениями. Нетрудно попять, что невозможно развить теорию движения Лупы, но имея в распоряжении хорошей теории движения Земли вокруг Солнца, а также теории движения планет, возмущения от которых тоже приходится учитывать. Нужно иметь и данные о фигуре Земли, а для более точного учета возмущении от ее несферичности -- распределение потенциала земного эллипсоида, его разложение по сферическим гармоникам.

До самого конца XIX века не существовало единой системы фундаментальных астрономических постоянных. Каждый астроном выбирал те значения постоянных, которые представлялись ему наиболее заслуживающими доверия. Лишь в 1895 г. Саймой Ньюком, проделав титаническую работу по обработке и анализу 60000 меридианных наблюдений, планет, Солнца и Луны (эта работа заняла у него 18 лет), предложил взаимно согласованную систему из 14 астрономических постоянных. Эта система продержалась в науке почти 70 лет: с 1896 г., когда она была официально утверждена на международной астрономической конференции в Париже, до 1964 г., когда XII съезд Международного астрономического союза в Гамбурге утвердил новую систему.

Впрочем, попытки ревизовать систему Ньюкома предпринимались и раньше. Росла точность наблюдений, вводились новые, более совершенные методы. В тридцатых годах голландский астроном Виллем де Ситтер (1872--1934) сформулировал критерий идеальной системы астрономических постоянных, согласно которому теоретические соотношения между ними должны выполняться точно, а согласие с наблюдениями должно быть в пределах точности последних. Де Ситтер разделил все постоянные на фундаментальные и производные. К фундаментальным он отнес следующие восемь величин: средний радиус Земли, ускорение силы тяжести на средней широте, динамическое сжатие Земли, скорость света, параллакс Солнца, отношение масс Земли и Лупы и еще две постоянных, определяющие внутреннее строение Земли.

Работу де Ситтера продолжил Дирк Брауэр (1902--1966), голландец родом, еще в молодости переехавший в США и работавший там в Йельском университете под руководством Э. Брауна. Таким образом, Д. Брауэр как бы соединил два направления: уточнение системы астрономических постоянных, начатое де Ситтером, и усовершенствование лунной теории Брауна. Второе было немыслимо без первого. К этой работе Брауэр привлек в дальнейшем Джералда М. Клеменса (1908--1974) и У. Дж. Эккерта (1902--1971), которые и довели ее до конца.

В мае 1963 г. в Париже под председательством Дж. М. Клеменса состоялся специальный симпозиум по астрономическим постоянным. От Советского Союза в нем приняли участие директор Пулковской обсерватории член-корреспондент АН СССР А. А. Михайлов и астроном той же обсерватории А. А. Немиро. Кроме того, были представлены и зачитаны доклады советских астрономов Е. П. Федорова, Д. К. Куликова и X. Поттера. Симпозиум подготовил ряд резолюций, рекомендовавших к введению новую систему астрономических постоянных, основанных на результатах обработки многих тысяч наблюдений Солнца, планет и Лупы, а также некоторых астероидов. Так, американский астроном Р. Данном обработал наблюдения Венеры за 1750-1949 гг., а П. Хергет вычислил, на основании теории С. Ньюкома, теоретические положения Венеры за тот же период. Были найдены расхождения и выявлены их причины, заключавшиеся в недостаточной точности аналитических разложений Ньюкома. Дж. Клемспс построил новую общую теорию движения Марса методом Ганзена, которая с большой точностью представила наблюдения положении планеты за 200 лет. Такие же работы были проделаны и для других планет. Брауэр, Клеменс и Эккерт составило теорию движения пяти внешних планет от Юпитера до Плутона.

В 1964 г. новая система астрономических постоянных была утверждена Международным астрономическим союзом. За 14 лет до этого было введено эфемеридное время. С 1960 г. эфемериды Луны стали вычислять не по таблицам Брауна, а непосредственно по его формулам. Это стало возможным благодаря тому, что на помощь астрономам-вычислителям пришли ЭВМ.

Первоначально астрономы смотрели на ЭВМ лишь как на удобное средство для ускорения длительных, сложных и трудоемких вычислений. Поэтому они продолжали работу по совершенствованию лунной теории. После завершения составления теории движения внешних планет У. Дж. Эккерт взялся за новое улучшение лунной теории Брауна. Эта работа была проведена им с сотрудниками в 50-е г. и дала хорошие результаты. Составленная Эккертом и его группой "улучшенная лунная эфемерида" (сокращенно ILE) содержала примерно на 200 неравенств больше, чем теория Брауна, а точность давала на порядок выше. Эта уточненная эфемерида получила в дальнейшем индекс j=0, присвоенный ей Комиссией N4 (по астрономическим эфемеридам) Международного астрономического союза. После перехода к системе астрономических постоянных MAC 1964 г. и исправления одного неточного члена эфемерида Луны получила индекс j=1. Наконец, введение поправок, обусловленных заменой выражений для солнечных возмущений, следующих из теории Брауна, соответственными выражениями, полученными Эккертом, дает эфемериду с индексом j=2. Начиная с выпуска на 1972 г. "Астрономический ежегодник СССР", как и все ежегодники мира, использует эфемериду j=2.

В это время лунные эфемериды уже использовались при планировании космических полетов к Луне. При применении эфемериды j=0 в программах Лунар Орбитер и Сервейор обнаружились большие систематические отклонения. Использование лунной эфемериды j=2 в значительной степени сократило их, но все же остаточные систематические разности между теоретическим и фактическим расстоянием до Луны достигали сотен метров. Таким образом, даже лунная теория Хилла -- Брауна, улучшенная Эккертом, не могла обеспечить той точности, которой требовали космические полеты.

Поэтому начиная с 1967 г. под руководством Эккерта началась разработка новой численно-аналитической теории (ELE), в принципе подобной теории Брауна, но на гораздо более высоком уровне. Все расчеты велись на ЭВМ и были закончены уже после смерти Эккерта его сотрудниками С.Белленсхайм и М.Гутцвиллером.

В 1976 г. XVI съезд Международного астрономического союза принял новую систему астрономических постоянных, уточняющих систему 1964 г. в свете результатов, полученных с помощью радиолокации и космических аппаратов (орбиты, массы планет, внутреннее строение Луны и др.). Кроме того, был устранен ряд несогласованностей, еще оставшихся в системе 1964 г. Многие величины были определены с гораздо более высокой точностью, чем прежде. Все это было необходимо, потому что и теории Луны претерпевали внутреннюю ломку. К их составлению стали применять совершенно иные методы.

            Новые идеи и новые методы

Нередко в истории науки бывает так, что созданию нового метода предшествовала длинная цепь поисков, порой совсем в других направлениях. Случалось и так, что к новому методу приводили неудачи в использовании прежних методов. Именно такая цепь поисков, успехов и неудач и привела к созданию первых "машинных" теорий движения Луны.

Трудности теории Делоне заключались в необычайной громоздкости метода исключения членов ряда в разложениях. Поэтому неудивительно, что уже спустя десять лет после трагической гибели французского ученого астрономы начали поиски иных путей.

Шведский математик и астроном Андерс Линдстедт, о котором мы уже писали, основываясь на идеях Гюльдена и работах Ньюкома, развил в 1882 году метод последовательных приближений, приводящий к полностью периодическим решениям. При этом все вековые члены исключались. Спустя год Линдстедт показал, что его метод может быть успешно применен к задаче трех тел. Однако он ввел некоторые формальные ограничения на применимость своего метода.

В 1886 году французский астроном и математик Анри Пуанкаре доказал, что метод Линдстедта применим и без введенных им ограничений. Затем он обобщил метод Линдстедта, применил его к задаче трех тел и представил его в таком виде, что, по выражению современного бразильского теоретика Жоржио Джакальи, этот метод стал едва узнаваем. Пуанкаре указал также возможность применения этого метода к изучению вековых и долгопериодических возмущений в теории движения планет.

Метод Линдстедта и его усовершенствование Пуанкаре произвели большое впечатление на астрономов того времени. Недаром ими так восхищался Н. П. Долгоруков (см. с. 155).

Прошло еще тридцать лет, и уже в 1915 году другой шведский ученый, математик и астроном Гуго Цейпель (о котором мы вкратце упоминали в разделе, посвященном Делоне), видоизменил метод Линдстедта -- Пуанкаре и успешно применил его к теории движения малых планет, обратив особое внимание на случаи их движения в резонансе с Юпитером (когда, как мы знаем, приходится иметь дело с малыми знаменателями). Три мемуара Цейпеля по 60-80 страниц каждый составили единый труд, опубликованный в 1916-1917 гг. в трудах Стокгольмской обсерватории на французском языке (Цейпель следовал традиции XIX века). Во введении к первому из этих мемуаров Цейпель замечает, что его метод -- лишь "небольшая модификация представления идей Линдстедта в той форме, которую им придал Пуанкаре".

Но значение метода Цейпеля выходило далеко за пределы "небольшой модификации". Этот метод, в отличие от метода Пуанкаре, позволял ясно разграничить вековые, долгопериодические и короткопериодические возмущения. Вводя некоторую вспомогательную функцию, которую Цейпель назвал определяющей, он исключал (сразу, так сказать, "в блоке") короткопериодические члены и приводил систему канонических уравнений к виду, в котором гамильтониан системы не зависит от средних долгот. Затем таким же образом вводилась вторая определяющая функция, исключавшая "блок" долгопериодических членов, и приводившая к новой системе, гамильтониан которой совсем не зависел от угловых переменных. Эту последнюю систему уравнений можно было решить.

Сам Цейпель применил свою методику к малым планетам -- собственно, для изучения именно их движения под действием возмущений от Юпитера и других планет Цейпель и создавал свой метод. Но прошло сорок лет, и метод Цейпеля получил совсем иное применение -- к исследованию движения искусственных спутников Земли. Автор метода дожил до их запуска -- ему шел тогда уже 85-й год.

Метод Цейпеля принадлежит к обширной группе методов решения систем нелинейных дифференциальных уравнений, которые носят название "методов осреднения". Начало этим методам положили небесно-механические работы Гаусса, но потом выяснилось, что они применимы для весьма широкого класса задач, в которых нужно решать системы нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих колебательные процессы. Вспомните высказывания академика А. Н. Крылова о возможности применения уравнений небесной механики в теории машин и механизмов (см. с. 93). Но методы осреднения получили распространение в гораздо более широкой группе наук: в электродинамике и в теории колебаний, в теории поля и в физике заряженных частиц, в радиофизике и в магнитогидродинамике.

Само название "осреднение" происходит от того, что в этих методах производят осреднение компонентов гамильтониана по быстро меняющимся переменным. Если некоторая величина испытывает быстрые периодические колебания, то, осредняя гамильтониан по этой переменной, мы в дальнейшем имеем дело с ее средним значением, что намного упрощает дальнейшие операции и позволяет в конце концов решить систему уравнений. И хотя такой метод -- приближенный, его можно довести до нужной степени точности, учитывая достаточно большое число членов ряда.

Совершенно независимо от небесных механиков развитием методов осреднения занялись математики и физики. Уже в 20-е годы больших успехов в этом направлении добились, с одной стороны, советские физики Л. И. Мандельштам и Н. Д. Папалекси (будущие академики), а с другой стороны, математики академик Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов (тоже будущий академик). Особенно плодотворным оказался метод Крылова -- Боголюбова, получивший обширные применения в различных областях науки и техники. Опираясь на этот метод, советские радиофизики Э.Л.Бурштеин и Л.С.Соловьев в 1961 году доказали, что можно так выбрать вспомогательные функции, чтобы усредненные уравнения тоже можно было бы записать в канонической гамильтоновой форме (см. с. 124), хотя в общем случае это условие не выполняется. Уже через три года эта работа привлекла внимание небесных механиков всего мира.

В это время в теории возмущений безраздельно "царил" метод Цейпеля, хотя после него были предложены и другие методы. На международном симпозиуме по теории орбит, собравшемся в августе 1964 г. в Фессалони-ках (Греция), американский ученый У. Кайнер в обзорном докладе о методах осреднения сравнил точность, даваемую классической теорией Делоне, методом Крылова -- Боголюбова и методом Цейпеля. Оказалось, что в пределах второго приближения все эти методы дают примерно одинаковую точность.

За пять лет до этого симпозиума, в июле 1959 года продолжатель работ Эрнеста Брауна Дирк Брауэр поставил задачу: применить метод Цейпеля к улучшению теории Делоне движения Луны. Одновременно он применил метод Цейпеля к изучению движения искусственных спутников Земли. Последовала настоящая лавина исследований, в которых задача движения ИСЗ все более усложнялась: учитывалась несферичность Земли, отличие ее потенциала от однородной сферы, сопротивление атмосферы, движение по орбитам с большими эксцентриситетами и наклонениями и даже световое давление.

В апреле 1963 года сотрудник Брауэра Г. Хори, приехавший в США из Японии, показал, как можно получить решение основной задачи движения Луны, используя метод Цейпеля. В 1965 году этод метод был применен к расчету движения искусственных спутников Луны (готовилась программа "Аполлон"), а в 1966 году американский астроном Б. Марсден применил его к исследованию движения галилеевых спутников Юпитера.

Казалось бы, торжество метода Цейпеля было полным. Но так только казалось. Тучи уже сгущались над ним. До вынесения ему окончательного приговора оставалось всего три года.

Что же произошло? Почему метод Цейпеля, так широко и успешно применявшийся при решении самых различных задач теории возмущений, оказался непригодным на новом этапе исследований? Оказалось, что он не удовлетворяет требованиям, которые предъявили исследователям ... ЭВМ.
 

            От письменного стола -- к пульту ЭВМ

Еще в 1959 году американские астрономы П. Хергет и П. Мюзан указали на возможность запрограммировать ЭВМ на выполнение аналитических выкладок типа тех, которые встречаются в небесной механике. Но прошло почти десять лет, пока эта идея получила практическую реализацию.

На пути такого использования ЭВМ стояли большие трудности. Нужно было выбрать удобный для перевода на машинный язык и в то же время достаточно надежный метод. На написание, отладку и проверку программы для конкретной задачи требовалось несколько месяцев. Чтобы ускорить эту процедуру, нужны были какие-то новые пути.

Одним из первых за это дело взялся бельгийский астроном, небесный механик Андре Депри, в то время находившийся в длительной научной командировке в лаборатории фирмы Белл в штате Нью-Джерси (США). После окончания срока работы в этой фирме Депри принял приглашение научно-исследовательской лаборатории фирмы Боинг (Сиэттл, штат Вашингтон) и остался работать в США. Для участия в этой работе он привлек двух помощников: своего соотечественника и коллегу Жака Анрара и американского математика Арнольда Рома, который с 1961 года занимался составлением компьютерных программ, способных реализовать "механизацию" алгебраических операций. Сам Депри тоже весьма успешно составлял программы для расчета различных небесно-механических задач. В июле 1965 года группа Депри приступила к работе.

Взяв за основу метод Цейпеля, Депри и его сотрудники в 1966 году попытались применить его к нормализации гамильтоновой системы вблизи состояния равновесия и ... потерпели неудачу. Тогда трое исследователей стали искать выход из положения. Им удалось найти путь построения канонических преобразований, основанный на некотором обобщении метода квазипериодических решений, разработанного Пуанкаре. Однако они вновь потерпели неудачу в попытке найти хорошее решение задачи приведения к нормализованным переменным функции первоначальных основных переменных.

А в это время в Кембридже астроном Д. Бартон бился над задачей использования ЭВМ для автоматического выполнения операций теории Делоне. Машина "Титан" справлялась с этой задачей, Бартону удалось даже получить неравенства до 10-го порядка (сам Делоне получал их до 8-го порядка), но затраты машинного времени были слишком велики. Более эффективным оказался метод Брауэра -- Клеменса. Но решающий эффект достигнут не был.

Андре Депри внимательно следил за усилиями Бартона, сперва с надеждой, потом с разочарованием. Он понял, что ни метод Цейпеля, ни оригинальный метод Делоне, ни метод Брауэра не годятся для построения на их основе удобного алгоритма для ЭВМ. Одним из недостатков метода Цейпеля было то, что в нем канонические преобразования производятся над функцией смешанных переменных (старых координат и новых моментов количества движения). Метод производящих функций, использованный Цейпелем, не мог привести к общему алгоритму для приведения к новым основным переменным функции старых переменных. Помимо удовлетворения критерию каноничности, используемое преобразование должно быть аналитическим относительно новых переменных и позволять легко осуществлять обратный переход к старым переменным. Все эти соображения заставили группу Депри отказаться от метода Цейпеля.

Какой же метод избрать? Еще в 1966 году, когда группа Депри еще пыталась перевести на машинный язык метод Цейпеля, в "Публикациях Астрономического общества Японии" появилась статья японского астронома Генихиро Хори, который работал с Д. Брауэром, а после его смерти в январе 1966 года вернулся на родину. Хори предлагал применить для канонических преобразований так называемые преобразования Ли. По его мнению, они были удобны для развития на ЭВМ теории движения ИСЗ. В следующем году Хори применил этот метод для изучения движения звезд в Галактике.
 

            Преобразования Ли

Мы уже имели случай рассказать о Мариусе Софусе Ли, норвежском математике (1842-1899), приехавшем в 1870 году в Париж послушать лекции своих французских коллег Ж. Дарбу, М. Шаля, Ж.-Б. Бертрана. Но особенно много дали ему собеседования с Камилем Жорда-ном (1838-1922). Под влиянием Жордана и Феликса Клейна Софус Ли вплотную занялся теорией групп и там же, в Париже, открыл так называемые контактные преобразования.

Здесь мы должны сделать небольшое отступление, иначе все дальнейшее изложение не будет понятным.

За 40 лет до описываемых событий, в том же Париже, сидел за столом и писал письмо другу один молодой человек. Он писал не о прелестях молодой жизни, и даже не о делах, он развивал в этом письме новую математическую теорию -- теорию групп, прося друга передать его записки одному из выдающихся математиков той эпохи: Карлу Якоби (1804-1851) или Карлу Фридриху Гауссу (1777-1855). На следующее утро молодой человек был убит на дуэли. Звали его Эварист Галуа (1811-1832). В это время ему шел двадцать первый год.

Письмо Галуа не попало ни к Якоби, ни к Гауссу. Лишь через 14 лет замечательный французский математик Жозеф Лиувилль (1809-1882) собрал и опубликовал работы Галуа (включая и его письмо) в основанном им "Журнале чистой и прикладной математики". (Этот журнал издается и сейчас, недавно отметил свое 150-летие.) В 1870 г. Камиль Жордан издал первый систематический курс по теории групп.

Что же такое группы? Группой в математике принято называть такое множество элементов (этими элементами могут быть числа, функции, геометрические построения, наконец, формальные преобразования), что двум любым элементам А и В всегда может быть поставлен в соответствие третий элемент С, принадлежащий к тому же множеству (С = АВ). Для этой операции справедлив ассоциативный закон: (А В) С = А(ВС) = ABC. Коммутативный закон АВ = ВА справедлив лишь для некоторого класса групп (так называемых абелевых групп). Большое значение имеют понятия о единичном элементе Е (ЕА = А) и обратном элементе A^-1(A^-1A = Е).

Нетрудно убедиться, что множество натуральных чисел образует группу, причем основной операцией является их сложение (ведь сумма двух натуральных чисел есть тоже натуральное число). Единичным элементом при этом будет ноль, а обратным элементом будет -А. Множество рациональных чисел тоже образует группу, причем в этом случае основной операцией может быть как сложение, так и умножение.

Математические преобразования, когда мы с помощью некоторой системы уравнений от одной системы величин (х¹₁, x¹₂, ..., х¹_n)переходим к другой системе уравнений (х₁, x₂, ..., х_n), тоже образуют группу, если они обратимы, иначе говоря, если можно перейти таким же путем от второй системы к первой. Одним из видов обратимых преобразований и являются контактные преобразования, открытые Софусом Ли.

Преобразование называется контактным, если для каждого х_iвыполняется равенство (индекс i опускаем, индекс 1 переносим вниз)

где обозначено

Вспомним теперь канонические уравнения Гамильтона, с которыми мы уже встречались (см. с. 124):

Условие, при котором преобразование будет каноническим, выражается равенством

которое и выражает контактное преобразование. Применив к написанной выше системе гамильтоновых уравнений контактное преобразование, подобное описанному выше, мы получим

т. е. новую систему канонических уравнений Гамильтона, но уже с гамильтонианом H₁(Q, P) = H₁(q,p).
[Вообще говоря, H₁=H+dF/dt, но так как в нашем случае F не зависит от t, получаем H₁=H]

На этих основаниях была создана теория группового анализа дифференциальных уравнений, нашедшая обширные применения не только в небесной механике, но и в газовой динамике и во многих других областях математической физики.

Решающий шаг в применении преобразований Ли к задачам небесной механики и в частности к теории движения Луны был сделан в 1969 году Андре Депри и его сотрудниками: Жаком Анраром и Арнольдом Ромом.

Математические основания метода разработал Депри. Его практические приложения они осуществили втроем.

Суть метода Депри состояла в следующем. Преобразования Ли позволяли развертывать исходный гамильтониан в ряд по степеням малого параметра. Для этого гамильтониан нужно было подвергнуть цепочке преобразований, которая наглядно представлена на так называемой треугольной схеме (рис. 24).

Исходный гамильтониан H₀, содержащий возмущающую функцию, находится на схеме наверху треугольника. Для получения всех неравенств до k-го порядка включительно нам нужен преобразованный гамильтониан H₀^(k),стоящий на схеме крайним справа на (k + 1)-й строке. Так, чтобы получить неравенства до третьего порядка, нужно найти H₀⁽³⁾. Он выражается суммой элементов, стоящих па левой от него диагонали, причем нижний элемент (в данном случае H₀⁽²⁾) берется без изменений, а остальные -- после воздействия на них некоторых операторов L_m, называемых производными Ли. В нашем примере

Разумеется, до этого и H₁⁽²⁾, и H₀⁽²⁾вычисляются по таким же формулам. Процедура идет сверху вниз и вправо. Последовательные шаги показаны па рис. 24 стрелками.

Скажем несколько слов об операторах L_m. Оператором в математике называют символ некоторой последовательности операций, в результате которой функция f(x₁,x₂, ..., x_n) превращается в другую функцию тех же или иных аргументов, однозначно связанных с первыми. Операторы L_m имеют такой смысл:

Выражение, стоящее в скобках, называется скобкой Пуассона. В ней W -- производящая функция, y, Y - обобщенные координаты, f - та функция, на которую мы воздействуем оператором L_m. Таким образом, наш оператор есть сумма (цепь) скобок Пуассона, которые тоже представляют собой отнюдь не простые выражения.

Мы остановились па этих подробностях вовсе не затем, чтобы попытаться объяснить читателю все детали этой процедуры, а исключительно ради того, чтобы показать ее сложность, с одной стороны, и однообразие, с другой. Первое обстоятельство исключает возможность провести всю цепь преобразований вручную. Второе обстоятельство, напротив, облегчает использование для этой цели ЭВМ.

В самом деле, каждая из операций в цепи подобна предыдущей. Нужно лить "указать" машине, как ей действовать и где ей следует остановиться. По существу, данный процесс подобен методике, применявшейся Делоне, но он как бы автоматизирован.

Перед авторами новой методики стояли большие труднести. Одной из них была возможность появления при разложении по степеням эксцентриситета орбиты Луны е и переменной g = sin i/2 малых делителей е и g. Как пишут Депри, Анрар и Ром, на этот факт обратил внимание Д. Бартон в 1967 г. Жак Анрар нашел очень интересное компромиссное решение, введя вместо е и g величины E₁и J₁, связанные с ними соотношениями

причем в ходе применения преобразований Ли малые делители E₁и J₁ не появляются.
Конечно, мы можем похвалить Жака Анрара за находчивость. Но, к сожалению, авторы этой работы не знали, что за полвека до Бартона на эту особенность задачи указывал М. А. Вильев и он же нашел способ избавиться от малых знаменателей, хотя и иной, чем предложил Анрар.

Мы уже не раз говорили, что при построении разложений координат Луны или элементов ее орбиты получаются ряды, каждый член которых есть тригонометрическая функция, умноженная на коэффициент, который сам является рядом, но степенным. Такие комбинированные ряды получили название рядов Пуассона. Эти ряды получили широкое распространение в небесной механике, особенно при построении аналитических теорий движения небесных тел.

Для работы с рядами Пуассона на ЭВМ в разных странах были созданы специальные системы подпрограмм -- пуассоновские процессоры. Так, группа Депри создала процессор МАО, советские астрономы В. А. Брумберг и Л. А. Исакович -- процессор АМС, А. В. Васильева -- систему Алита.

Однако преобразования Делоне приводили к более сложным рядам, чем ряды Пуассона. В этих рядах, кроме тригонометрических и степенных "этажей", возникают дополнительные "этажи" с делителями, о которых мы уже говорили. Такие ряды получили название эшелонированных. Арнольд Гом создал специальный процессор, названный им ESP (процессор эшелонированных рядов), который был подключен к американской ЭВМ IBM 360/44, Необходимо было проявить большую изобретательность в организации распределения информации в кубе оперативной памяти ЭВМ, на дисках и двух магнитных лептах, чтобы предотвратить переполнение диска и избежать потерь времени на сматываиие и разматывание лент.

Первоначально неравенства рассчитывались до 15-го порядка. Последовательно исключались члены с аргументами месячного периода (к ним относятся хорошо нам известные эвекция и вариация), затем члены с годичным периодом (такие, как годичное неравенство) и, наконец, долгопериодические члены. Месячные члены были исключены при непрерывной работе машины в течение 30 часов. Для исключения годовых членов понадобилось 7 часов. Эти числа могут дать представление о том громадном количестве выкладок, которое потребовалось для построения окончательного гамильтониана.

Однако разложение до 15-го порядка не удовлетворило авторов работы. В среднем движении перигея еще оставалась погрешность до 20" в столетие. Поэтому Депри и его коллеги продолжили процесс исключения, продвигая его до членов 19-го порядка (правда, некоторыми малыми величинами при этом пренебрегли). Удалось провести еще ряд упрощений в работе. Но несмотря на все это, работа по исключению месячных членов заняла теперь 56 часов, а работа по исключению годовых членов -- 30 часов машинного времени.

Зато задача была решена. Построенную ими теорию Депри и его сотрудники обозначили символом ALE ("аналитическая лунная эфемерида").
 

            Состязание машинных теорий

Успех первой машинной теории движения Луны был очевиден. Стало ясно, что ЭВМ можно запрограммировать любую теорию, получить результаты с громадной точностью и сравнить их между собой, с результатами классических теорий и с самыми точными наблюдениями.

Закончив свои расчеты, Депри, Анрар и Ром сравнили полученные результаты с данными лучших домашинных теорий, в частности, с ILE (улучшенной лунной эфемеридой) Эккерта, а также с результатами Делоне и Андуайе. Вот несколько примеров таких сопоставлений (табл. 9, а, б).

Итак, главные члены в средних движениях перигея и узла по расчетам группы Депри согласовались с данными Эккерта с точностью до 0,5" в столетие для перигея и 0,2" для узла. Это составляет 3*10^-8 и 2*10^-8 самих значений главных членов соответственно.

Потрясает согласие значений коэффициентов в главном члене среднего движения перигея с теорией Андуайе (1901). Расхождение едва достигает единицы 14-го знака. 

Сравнение коэффициентов с соответствующими значениями по Хиллу (1894) дает расхождение уже в пятом знаке (Хилл разлагал среднее движение по степеням величины m_*= т/(1- т), мало отличавшейся от т).

Мы намеренно не приводим сравнение с результатами Делоне. Они (для приведенных коэффициентов) на 6-7 процентов превышают значения Андуайе и значения, полученные группой Депри. Отсюда можно видеть, каковы были погрешности теории Делоне и насколько усовершенствовал ее Лидуайе спустя 30 лет после трагической гибели своего учителя. Некоторые коэффициенты Делоне оказались и вовсе ошибочными, а один член был пропущен.

Выведенную ими аналитическую теорию движения Луны Депри и его сотрудники применили к движению двух искусственных спутников Земли. Поскольку спутники движутся гораздо ближе к Земле, чем Луна, нужно было тщательнее учесть отличие потенциала притяжения Земли от точечного. Обычно потенциал притяжения сферического (или близкого к сферическому) тела разлагают в ряд по синусам и косинусам долготы и широты, причем коэффициенты ряда -- сферические функции -- называются гармоническими коэффициентами, или гармониками. Чем больше гармоник мы учтем в разложении потенциала в ряд, тем точнее будет искомый результат.

Оказалось, что переход к высшим гармоникам в разложении земного потенциала не представляет принципиальных трудностей и ограничивается лишь возможностями ЭВМ. Зато при одинаковой точности применение аналитической теории сокращает время вычислений по сравнению с численным интегрированием примерно в 150 раз.

К концу 70-х г. разработка машинных аналитических теорий движения Луны значительно продвинулась вперед. Особенно больших успехов добился здесь Жак Анрар, принявший приглашение университета города Намюра (Бельгия) и вернувшийся в эту страну. Он построил чисто буквенное решение пространственной задачи Хилла в теории движения Луны с использованием хилловской промежуточной вариационной орбиты. Степенные ряды в разложениях средних движений он довел до членов 28-го порядка для средней долготы Луны и до 24-го порядка для движений перигея и узла. Ряды Пуассона, выражающие лунные неравенства, для долготы и радиуса-вектора Луны были построены с учетом членов 25-го порядка и содержали соответственно 18 948 и 15 801 членов (в ALE их было 2403 и 2013). Полученное решение послужило основой для решения главной задачи теории движения Луны с весьма высокой степенью точности -- до нескольких сантиметров (!) в ее пространственных координатах. В 1979 г. Анрар получил новое решение главной задачи лунной теории, в котором разложение в ряды было проведено не по самим значениям малых параметров, а по их отклонениям от номинальных значений, что значительно ускорило сходимость рядов. За основу в этой полуаналитической теории было взято полученное Анраром ранее аналитическое решение задачи Хилла, а отклонения от него определялись методом преобразовании Ли, Теория Анрара получила обозначение SALE.

Между тем в разработку машинных теорий движения Луны включились новые исследователи. Дитер Шмидт (ФРГ) построил оригинальный алгоритм для решения главной задачи лунной теории при помощи системы машинного манипулирования степенными рядами. В 1980 г. он получил решение главной задачи методом Хилла -- Брауна с точностью до членов 6-го порядка. Сравнение с результатами Брауна обнаружило расхождения в последних знаках коэффициентов. На следующий год Шмидт, продолжая уточнять свое решение при помощи сконструированного им алгебраического процессора, дошел до членов 9-го порядка. Члены его тригонометрических рядов были вычислены с точностью до 10^-5 секунды дуги для долготы и широты и до 10^-6 секунды дуги для параллакса Луны.

Сильная группа исследователей образовалась при Парижском бюро долгот, под руководством Ж. Ковалевского. Интересные результаты получила Мишель Шапрон-Тузе из Бюро долгот. Она построила численно-аналитическое решение главной задачи теории движения Луны (ELP). В этом решении выражения для координат Луны имеют вид тригонометрических рядов от четырех угловых аргументов с численными коэффициентами и численными значениями производных от коэффициентов по шести параметрам задачи. Этими параметрами являются: отношение средних движений Солнца и Луны т, наклон орбиты Луны к эклиптике i, эксцентриситеты орбит Луны и Земли е, е', отношение их больших полуосей а/а', отношение масс Луны и системы Земля - Луна. Решение было найдено путем комбинирования итерационного метода (последовательных приближений) и метода вариации произвольных постоянных.

Было построено два варианта решения: для констант эпохи 1900,0 и 2000,0. Тогда они получили обозначения ELP-1900 и ELP-2000. Точность решения для долготы Луны составляет 0,0002", что соответствует точности около 40 см в положении Луны в пространстве.

М. Шапрон-Тузе и Ж. Анрар сравнили точность своих теорий. Они пришли к выводу, что теория Шапрон-Тузе дает более точные значения координат, а теория Анрара -- более точные значения производных по параметрам. В табл. 10 мы приводим разности коэффициентов для некоторых аргументов по различным теориям.

Здесь Т -- предварительная теория, построенная М. Шапрон-Тузе до теорий ELP, SALE -- полуаналитическая теория Анрара, ELE -- численно-аналитическая теория У. Дж. Эккерта и его сотрудников С. Белленсхайм и М. Гутцвиллера. Обозначения углов те же, что и на с. 164.
 

Видно, что для всех теорий, кроме Т, расхождения в коэффициентах измеряются десятитысячными, редко -- тысячными долями секунды дуги. Во многих случаях расхождения оказались еще меньше.

Но решения главной задачи -- учета солнечных возмущений -- было недостаточно. Нужно было учесть возмущения от планет, для этого необходима была точная теория планетных движений. И такая теория была построена, также с помощью ЭВМ. В 1978 г. Ж. Л. Симон и П.Бретаньон из Бюро долгот в Париже построили теорию движения пяти внешних планет (от Юпитера до Плутона), а в 1980 г. Пьер Бретаньон завершил построение теории четырех внутренних планет (Меркурия, Венеры, Земли и Марса).

Опираясь на эти результаты, М. Шапрон-Тузе и Ж.Шапрон изучили в 1980 г. прямые и косвенные возмущения от планет в движении Луны на основе теории ELP-1900. Были составлены таблицы этих возмущений в долготе и широте Луны, а все решение сравнивалось с теорией Брауна, и был сделан анализ причин выявленных расхождений.

Коллега супругов Шапрон по Бюро долгот, Даниель Стандерт, развил алгоритм определения прямых планетных возмущений с помощью преобразований Ли. В этом алгоритме он использовал полуаналитическую теорию Анрара для главной задачи движения Луны и теорию. Бретапьона движения планет. Однако значения средних движений в долготе Луны, перигея и узла брались из наблюдений, а не из результатов решения главной задачи. Алгоритм, примененный Стандартом, обеспечивал точность в 0,001" во всех лунных неравенствах с периодами не более 2000 лет.

Возмущения в движении Луны, обусловленные влиянием ее фигуры, были изучены Ж. Анраром опять-таки с помощью преобразований Ли. Точность учета этих возмущений составила 10^-5 секунды дуги в долготе и широте Луны и 5*10^-11 в геоцентрическом расстоянии (чему соответствует 2см). В пределах этой точности достаточно принимать во внимание гармоники до 2-го порядка в разложении потенциала Луны (см. с. 181). В вековых движениях перигея и узла вклад от несферичности Луны составляет -1,86" и -17,1" соответственно.

Анрар учел и влияние несферичности Земли на движение Луны, с учетом гармоник до 4-го порядка. Точность вычисления этих возмущений (в рамках его полуаналитической теории SALE) составила 3*10^-5 секунды дуги (около 5 см в пространстве).

В 1982 г. супруги Шапрон представили новую систему формул для вычисления планетных возмущений на основе решения главной задачи ELP-2000 и планетной теории Бретаньона. Если для ELP-1900 внутренняя точность вычисления планетных возмущений была 2*10^-4 секунды дуги (около 40 см в пространстве), то для ELP-2000 она составила всего 2*10^-6 секунды (4 мм!). Результаты сравнили с теорией ELP-1900, а для возмущений от Венеры и Марса -- с новым решением Д. Стандерта, которому удалось значительно повысить внутреннюю точность своих расчетов.

Японский астроном X.Киносита произвел сравнение двух аналитических теорий -- SALE и ELP -- с численным интегрированием в рамках главной задачи (с учетом только солнечных возмущений). Расхождения в расстоянии Луны от Земли для теории SALE не превысили 1,2 см на 10-летпем интервале, а для теории ELP -- 1,5см на 20-летнем интервале.

Супруги Шапрон и П.Бретаньон сравнили результаты, даваемые их теориями для Лупы и планет, с численными теориями, построенными в Лаборатории реактивного движения (JPL) в США под руководством Дж. Малхолланда. Для Луны расхождения по прямому восхождению не превосходят 0,0008", по склонению 0,005", по дальности 12 м -- на 20-летнем интервале. Однако после уточнения 50 параметров лунной теории удалось достигнуть точности представления движения Луны в 60 см.

Возросшая точность не только аналитических теорий, но и наблюдений с помощью светолокационной техники (о них мы расскажем в следующем разделе) потребовала учета влияния на движение Луны релятивистских эффектов. Хорошо известно, что одним из триумфов общей теории относительности Эйнштейна было количественное объяснение дополнительного смещения перигелия орбиты Меркурия на 43" в год. У других планет релятивистские эффекты оказались весьма малыми (у Венеры, например, смещение перигелия составляет лишь 2,4" в год, у Земли -- менее 1").

Советский астроном В. А. Брумберг еще в 1958 г. обратил внимание на необходимость при построении точной теории движения Луны учитывать релятивистские эффекты. В 1972 г. он выпустил специальную монографию "Релятивистская небесная механика", где обсуждался и вопрос о проявлении эффектов общей теории относительности в движении Луны.

В 1982 г. В. А. Брумберг и Т. В. Иванова (Институт теоретической астрономии АН СССР) выполнили специальное исследование на эту тему. В 1985 г. они опубликовали новую большую работу, завершающую это исследование. Принятое ими приближение авторы назвали постньютоновским, поскольку в нем фигурируют эффекты, не содержащиеся в ньютоновой механике.

Естественно, что и здесь координаты Луны (долгота, широта, радиус-вектор) выражаются длинными тригонометрическими рядами. Но каждый коэффициент в этих рядах представляется в виде суммы пяти составляющих: ньютоновой части N, релятивистской части R, не зависящей от параметров задачи, и еще трех релятивистских частей, пропорциональных параметрам a, b, g. Первый из них (a) характеризует принятую систему координат, два других (b, g), соответствуют принятой постньютоновской модели. Если эта модель соответствует общей теории относительности Эйнштейна, то b = g = 1. Как мы увидим дальше, существуют и другие модели.

Релятивистский вклад в движение перигея и узла лунной орбиты был найден равным 1,73" и 1,90" в столетие соответственно. Это примерно 10^-7 и 3*10^-7 доли ньютоновского смещения.

В коэффициентах разложений долготы, широты и радиуса-вектора Луны релятивистские слагаемые составляют от 10^-5 до 10^-9 ньютоновских слагаемых.

Сравнение результатов советских астрономов с аналогичными данными зарубежных исследователей (в частности, уже известных нам супругов Шапрон из Бюро долгот в Париже) показало вполне удовлетворительное согласие между ними. Разумеется, все расчеты велись на ЭВМ, с применением специально сконструированного в 1980 г. в Институте теоретической астрономии АН СССР Универсального пуассоновского процессора (УПП). Такое название он получил потому, что приспособлен для работы с рядами Пуассона.

Наш обзор современных машинных теорий движения Луны был бы не полон, если бы мы не рассказали о численных теориях. Наибольший вклад в их развитие внесли американские специалисты из Лаборатории реактивного движения при Калифорнийском технологическом институте (JPL) и из Техасского университета. Инициатором создания ряда численных теорий был Дж. Д. Мал-холланд. В конце 60-х г. он установил, что расхождение эфемерид, построенных по улучшенной теории Хилла -- Брауна -- Эккерта с индексом j=2, с результатами прямого численного интегрирования дифференциальных уравнений движения Луны с учетом всех возмущений гравитационного характера обнаруживает расхождения в расстоянии, доходящие до сотен метров. Вдобавок остаточные разности обнаруживали систематический ход с периодами, близкими к таковым для основных планетных неравенств в лунной теории. Дж. Малхолланд и К. Девин назвали этот недостаток гравитационным дефектом. На пути к его устранению стоял ряд трудностей, в частности, при учете приливных эффектов и фигуры Луны. В те годы теория этих эффектов была разработана недостаточно. Используя данные наблюдений положений Луны на небе и траекторные измерения искусственного спутника Луны "Лунар Орбитер", американские ученые ввели в лунную теорию Брауна -- Эккерта ряд эмпирических поправок. Затем уточнили систему небесных координат, взяв за основу систему новейшего в то время фундаментального звездного каталога FK4. Была принята система астрономических постоянных 1964 г. Численное интегрирование велось с шагом 0,25 сут, причем параметры, входившие в уравнения, варьировались так, чтобы добиться наилучшего согласования результатов численного интегрирования с лунной теорией. В итоге была получена лунная эфемерида, обозначенная LE-16.

Но это было только начало. За LE-16 последовал длинный ряд все новых и новых численных теорий, каждая из которых учитывала недостатки предыдущих, а также все накопленные наблюдения, выполненные принципиально новыми методами: радиолокацией, тра-екторными измерениями с космических аппаратов и, наконец, светолокацией.

"Венцом" этого направления развития численных теорий можно считать эфемериду DE-102/LE-51, построенную в 1982 г. Дж. Дж. Уильямсом, Кс. Ньюхоллом и Э. М. Стэндишем из Лаборатории реактивного движения (США). В ней объединены динамические теории движения всех больших планет, Луны и пяти крупнейших астероидов с учетом влияния всех этих тел (и, конечно, Солнца) друг на друга, а также с учетом релятивистских эффектов в уже известном нам постньютоновском приближении. Были учтены и влияние фигур Луны и Земли, и приливные эффекты с передачей импульса от Земли к Луне. Пришлось решать систему из 33 дифференциальных уравнений, причем порядок их доходил до 14-го.

Но ЭВМ справились с этой нелегкой задачей. Трем американским астрономам удалось вычислить эфемериду Луны и планет на 44 столетия: с 1411 г. до н. э. до 3002 г. н. э.

Последовала громадная работа по сравнению результатов, во-первых, с наблюдениями, а во-вторых, с аналитическими теориями. Были привлечены все виды наблюдений: древние и средневековые наблюдения затмений, позиционные наблюдения Луны, начиная с XVII века, современные радиолокационные и светолокационные наблюдения, траекторные измерения орбитальных и пролетных космических аппаратов. Авторы аналитических машинных теорий (П. Бретаньон, супруги Шапрон и другие) подключились к сравнению своих теорий с эфемеридой DE-102/LE-51.

Всего было использовано около 38 000 оптических наблюдений Солнца и планет, более 5000 радиолокационных наблюдений и 800 траекторных измерений с космических аппаратов, чтобы уточнить эфемериды планет, входящие в DE-102. Для Луны получена точность положений около 40 см.

Но авторы теории не успокаивались на достигнутом. В их публикации 1983 г. фигурирует уже улучшенная по сравнению с DE-102 эфемерида DE-118. Но и она -- не последнее слово теории, в сочетании с электронной техникой: переход к системе координат 2000 года привел к эфемериде DE-200.

А теперь обратимся к самому совершенному способу проверки новых теорий -- к светолокации Луны.
 

        Светолокация Луны

Вплоть до середины нашего столетия расстояние до Луны определялось косвенным путем -- через ее параллакс. Для определения параллакса Луны требовалось одновременно измерить ее склонение из двух обсерваторий, расположенных на одной долготе, но на разных широтах. Зная расстояние между обсерваториями и измерив разность склонений Луны, можно было вычислить ее параллакс, а по нему и расстояние до Луны. Однако относительная точность этого способа была на два порядка ниже относительной точности измерения угловых координат Луны. Ведь параллакс -- малый угол (порядка градуса), и погрешность в его определении на 1" приведет к неточности в расстоянии Луны на 1/3600 самого расстояния, то есть около 100 км. А такая же погрешность в долготе и широте Луны даст неточность в ее положении менее 2 км.

Еще в 1928 г. советские физики Л. И. Мандельштам и Н. Д. Папалекси указали на принципиально новый метод определения расстояний до Луны с применением радиолокации. Однако их расчеты показали, что мощность существовавших тогда передатчиков и приемников недостаточна для решения этой задачи. В 1943 г. оба физика (ставшие к тому времени академиками) сделали новые расчеты, показавшие практическую осуществимость радиолокации Луны. Пучок радиоволн, посланный на Луну, должен отразиться от ее поверхности и достичь Земли примерно через 2,5 секунды (радиоволна, как и свет, распространяется со скоростью 300 000 км/с, а двойное расстояние Земля -- Лупа равно примерно 770 000км).

Чтобы добиться "астрометрической" точности в измерении расстояния до Луны, нужно было определять интервал между посылкой сигнала и приемом отражения с точностью до 10^-5 секунды. Первые эксперименты по радиолокации Луны были осуществлены в 1946 г. одновременно в Венгрии и в США. Но на пути к достижению нужной точности пришлось преодолевать множество трудностей, как принципиальных, так и технических. Требовались мощные передатчики, большие приемные антенны с точной параболоидальной поверхностью, правильный выбор длины волны и полосы пропускания (диапазона частот, принимаемых приемным устройством), наконец, длительности и формы сигнала. Не следовало забывать, что Луна -- не зеркало, а шар с весьма неровной поверхностью. Разные точки лунного шара получат и отразят сигнал в разное время: прежде всего сигнал отразится от ближайшей к Земле точки Луны -- для земного наблюдателя она расположена в центре лунного диска. Если бы Луна была совершенно гладким шаром, то дальше в отражение включались бы все более и более широкие кольца, окружающие центральную точку. Наличие на Луне гор и депрессий (понижений) исказит эту картину. Все же по времени прихода переднего фронта отраженного сигнала можно определить расстояние до ближайшей точки Луны, а зная ее радиус -- и до центра лунного шара.

Требуемая в то время точность в +/-1 км была достигнута сотрудниками Морской исследовательской лаборатории США в 1958 г. Помогло то обстоятельство, что радиоволны отражала не вся Луна, а некоторое сравнительно небольшое "яркое пятно" (в радиодиапазоне), диаметром в несколько сот километров. Это было связано с особенностью рассеяния метровых и сантиметровых радиоволн поверхностью нашего спутника.

Итак, к концу 50-х г. точность измерения положения Луны сравнялась с точностью теории Брауна (в то время -- наилучшей). Развитие в те же годы космических полетов к Лупе (в Советском Союзе уже в 1959 г. к Луне были запущены три автоматических межпланетных станции) потребовало нового повышения точности измерений.

Но еще в 1954 г. два молодых советских физика (будущие академики) А. М. Прохоров и Н. Г. Басов и, независимо от них, профессор Колумбийского университета США Ч. Таунс создали первые молекулярные квантовые генераторы -- основу будущих лазеров. За это через 12 лет все трое были удостоены Нобелевской премии по физике (наши ученые, кроме того, стали лауреатами Ленинской премии).

За прошедшие 30 лет квантовая электроника проделала большой путь. Были созданы мощные лазерные излучатели, посылающие узкий пучок лучей строго определенной длины волны. Уже в конце 50-х г. в Принстонском университете (США) Р. Дикке с сотрудниками произвел первые эксперименты по светолокации Луны. В 1962 г. А. 3. Грасюк с группой сотрудников в Крымской астрофизической обсерватории и ученые из Массачусетского технологического института (США) провели первые измерения расстояния до Луны методом светолокации. Но эти эксперименты не могли дать высокой точности, потому что луч отражался естественной лунной поверхностью, изрытой многочисленными неровностями. В 1965 г. Ю.Л.Кокурин с сотрудниками вновь использовал рубиновый лазер, помещенный в фокусе 2,6-метрового рефлектора ЗТШ (зеркальный телескоп имени Г.А.Шайна [Шайн Григорий Абрамович (1892-1950), академик, известный советский астрофизик, основатель и первый директор Крымской астрофизической обсерватории АН СССР]  и посылавший модулированные сигналы длительностью 20 нс (1 наносекунда (нс)=10^-9с). Это давало возможность довести точность измерения расстояний до 1,5 метра. Отраженный сигнал принимал тот же телескоп.

Но на пути к такой точности стоял целый ряд препятствий. Луч лазера испытывал рассеяние в земной атмосфере и начинал расширяться, расходиться. Поверхность Луны, покрытая неровностями, была плохим отражателем. Возникла идея: используя успехи космической техники, доставить на Луну специальные отражающие устройства.

В качестве таких устройств были применены так называемые уголковые отражатели, или триппель-призмы. Триппель-призма (рис. 25, а) представляет собой как бы утолок, отрезанный от куба. Входной гранью является прозрачная плоскость среза, остальные три грани покрыты металлическим отражающим напылением (рис. 25, б). Луч света, попав на входную грань призмы, после полного отражения внутри нее выйдет точно по направлению падающего луча, независимо от ориентации всего отражателя относительно этого луча.

Первый лазерный светоотражатель был установлен на поверхности Луны 21 июля 1969 г. экипажем американского пилотируемого космического аппарата "Аполлон-11". Он состоял из 100 отдельных уголковых отражателей. Размер каждой призмочки составлял 3.8 см. Все отражатели были смонтированы на панели, которая была развернута в сторону Земли. Напомним, что Земля на небе Луны не участвует в суточном движении небосвода (из-за того, что Луна обращена к ней одной стороной) и лишь вследствие оптических либрации может отклоняться от среднего положения до 11^o, Аналогичные приборы были доставлены на Луну экипажами космических кораблей "Аполлон-14, 15" в феврале и июле 1971 г.

В ноябре 1970 г. советская автоматическая межпланетная станция "Луна-17" доставила на поверхность Луны самоходный аппарат "Луноход-1", на котором был смонтирован отражатель, изготовленный французскими учеными и содержащий 14 триппель-призм (рис. 26). В середине января 1973 г. советская АМС "Луна-21" доставила на Луну "Луноход-2" с такой же установкой.

Эксперимент по светолокации Луны в СССР проводился группой сотрудников Физического института АН СССР им. П. Н. Лебедева во главе с Ю. Л. Кокуриным в тесном содружестве с астрономами Крымской астрофизической обсерватории, главный телескоп которой -- ЗТШ использовался для посылки и приема сигналов.

Американские ученые вели подачу и прием сигналов с обсерватории Мак-Дональда (Форт Дэвис, штат Техас), располагавшей почти таким же телескопом -- 2,7-метровым рефлектором. Работами руководил директор обсерватории Э. Сильверберг.

Светолокационные наблюдения уголковых отражателей с "Аполлонов-11 и 15" и "Лунохода-2" были выполнены с обеих обсерваторий, "Аполлон-14" наблюдался только на обсерватории Мак-Дональда, а "Луноход-1" только на Крымской обсерватории. Позднее к ним присоединились и другие обсерватории. Всего было получено несколько тысяч измерений. Их обработка производилась как советскими, так и американскими астрономами. Некоторые работы были выполнены совместно. Советскую группу исследователей возглавил профессор В. К. Абалакин из Института теоретической астрономии АН СССР (ныне -- директор Пулковской обсерватории). Американские исследования велись под общим руководством Дж. Д. Малхолланда из Техасского университета. Начиная с апреля 1978 г. в наблюдения включилась станция лазерной локации Луны Оррорал-Вэлли (Австралия), организованная совместно американскими и австралийскими учеными, переправившими туда 1,5-метровый телескоп. Получился гигантский треугольник Крым -- Техас-Австралия, стороны которого превышают 11 тыс. км каждая. Их длины были уточнены из самих лазерных наблюдений.

На рис. 27 показан один из непосредственных результатов светолокации Луны, Здесь представлено изменение со временем разности моментов прихода отраженного сигнала по данным наблюдений и теоретического (вычисленного по эфемериде LE-16). Наблюдения проводились 26 ноября 1971 г. и охватывают интервал в 20 минут,
 

Каждый сигнал показан кружком. Их разброс, как видно из графика, не превышает 5 нс. Зато четко прослеживается рост разности моментов с временем, из которого следует, что движение Луны слегка отличается от теоретического, так что разность положений Луны (наблюденного и эфемеридного) возрастает на 4,5 метра за час.

Много это или мало? Напомним, что скорость Луны по орбите равна примерно 1 км/с. Невязка в 4,5 м/ч соответствует приращению скорости в 0,125 см/с, что составляет 1,25*10^-6 скорости движения Луны, или, грубо говоря, одну миллионную долю. Вот до какой точности дошла численная лунная теория к 1971 г. А ведь с тех пор прошло более 15 лет.

Светолокация Луны позволила получить много интересных результатов -- не только в отношении уточнения теории движения нашего спутника. Вот некоторые из них.

Данные о лунной орбите, ее вращении и физической либрации улучшены на два порядка величины. Определена суммарная масса системы Земля -- Луна! 1/328900,5 массы Солнца. Вычислено приливное ускорение Луны: 24"/столетие², в хорошем согласии с другими определениями (см. с. 115, 116). Определены моменты инерции Луны, свидетельствующие о наличии у нее плотного ядра.

Установлено, что модель трехосного эллипсоида недостаточна для описания лунного гравитационного поля и физических либрации -- нужна более сложная модель. Исследование свободной либрации Луны указывает на то, что в сравнительно недавнее время наш спутник испытал сильный удар другого тела (небольшого астероида или ядра кометы). Доктор Одиль Калам из обсерватории Пик-дю-Миди (Франция) определила амплитуду свободной либрации (по данным светолокации) в 15 метров, что слишком много для такого тела, как Луна. Английский геолог Джек Хартунг, основываясь на анналах Кентерберийского собора в Лондоне, высказал предположение, что яркая вспышка, наблюдавшаяся на Луне в 1178 г. (невооруженным глазом!),-- результат удара, образовавшего молодой кратер Джордано Бруно на обратной стороне Луны. Системы его светлых лучей выходят на видимую сторону, поэтому о существовании этого кратера знали еще до полета нашей станции "Луна-3" в октябре 1959 г., передавшей его первую фотографию.

Данные светолокации Луны помогли в создании селенодезической системы координат опорных пунктов на поверхности Луны [Селенодезия -- наука об измерениях на поверхности Луны, аналог нашей земной геодезии.]. Уточнены некоторые неравенства вращения Земли, в частности, годичные и долгопериодические члены. Разработан новый метод определения положения полюсов Земли с точностью до метра, с использованием светолокации Луны.

Читатель не должен удивляться тому, что в результате светолокации Луны мы узнали многое о движении нашей Земли. Ведь лазерный светоимпульс посылается и принимается на вращающейся Земле. Все величины, о которых шла (и еще пойдет) речь, взаимно связаны и входят в одни и те же уравнения, определяющие время прихода сигнала. Поэтому, когда имеется много наблюдений из разных пунктов, искомые величины определяются без особого труда.

Обратимся теперь еще к одной группе физических явлений, для изучения которых пригодилась светолокация Луны. Речь идет о проверке общей теории относительности Эйнштейна.

Мы уже рассказывали о том, что в теории движения Луны нужно было учитывать и релятивистские эффекты, определяемые этой теорией. Целый ряд наблюдаемых эффектов (дополнительное смещение перигелия Меркурия, гравитационное красное смещение спектральных линий в сильном поле тяготения, отклонение световых лучей таким полем) говорил в пользу справедливости этой теории.

Но не все было так просто. Понятие массы любого материального тела имеет два смысла. Во-первых, масса входит в формулу закона инерции F=та, она является мерой инерции тела. Такая масса называется инертной. Во-вторых, масса входит в формулу закона всемирного тяготения (см. с. 58) и может быть из нее определена. Эта масса называется гравитационной. Равенство обеих масс друг другу не вытекает ни из каких известных нам законов природы. Но точнейшие эксперименты показывают, что инертная и гравитационная масса равны между собой с точностью до 10^-12. Их равенство представляет собой одну из загадок природы.

В конце прошлого столетия известный австрийский физик и философ Эрнст Мах (1838-1916) выдвинул физический принцип, из которого следовало, что инертная масса тела не постоянна, а зависит от распределения масс окружающих тел. Работая над созданием общей теории относительности, Альберт Эйнштейн находился под впечатлением этого принципа. Но когда теория Эйнштейна была построена, принцип Маха не нашел в ней места. Согласно Эйнштейну, инертная масса не зависит от распределения окружающих масс.

В 1961 г. два американских физика, Карл Бранс и Роберт Дикке, решили ввести принцип Маха в общую теорию относительности. Они пришли к выводу, что можно построить непротиворечивую физическую теорию, в которой помимо обычного эйнштейновского тензорного гравитационного поля присутствует еще дополнительное поле -- скалярное. [Напомним, что скаляр -- величина, задаваемая одним числом (например, площадь, объем, масса, температура); для задания вектора нужны три числа (примеры векторных величин: скорость, ускорение, сила); тензор задается шестью и более числами (примеры: деформация, напряжение, давление; свойства пространства-времени также задаются тензором).] Поэтому свою теорию они назвали тензорно-скалярной.

В 1968 г. еще один американский физик, Кеннет Нордтведт, указал на то, что если теория Бранса -- Дикке верна, то инертная и гравитационная массы Луны будут заметно различаться между собой. Отклонение в движении Луны от определяемого теорией Эйнштейна достигнет метра и более.

В 1976 г. сразу две группы американских ученых предприняли попытку проверить это с помощью лазерной светолокации Луны. Результат был однозначным: теория Эйнштейна верна, теория Бранса -- Дикке не отвечает действительности.

Из тех же лазерных экспериментов было найдено, что с точностью до 3*10^-11 доли гравитационная постоянная не изменяется со временем, как предсказывали в 1938 г. известный физик П. А. М. Дирак и в 1961-1964 гг. К. Бранс и Р. Дикке. Теория Эйнштейна восторжествовала и на этот раз.

Мы видим теперь, как много дали науке эксперименты по светолокации Луны. Они позволили не только проверить и уточнить новейшие теории ее движения, но дали богатую информацию о нашей Земле, ее вращении и даже об общих свойствах мира, в котором мы живем.