|
|
Статьи Соросовского Образовательного журнала в текстовом формате
Смять многогранную поверхность - это значит, наметив на ней новые ребра, переломить по ним уже имеющиеся грани. В статье популярно рассказано о недавно открытом интуитивно неочевидном факте, согласно которому поверхность правильного тетраэдра можно смять так, что ограничиваемый ею объем увеличится. Статья может быть использована на факультативных занятиях по геометрии в школах.
КАК СМЯТЬ ПАКЕТ ОТ МОЛОКА,ЧТОБЫ В НЕГО ВОШЛО БОЛЬШЕ
В. А. АЛЕКСАНДРОВ
Новосибирский государственный университет
ВВЕДЕНИЕ
Продолжим начатый в [1] разговор о недавно открытых неожиданных фактах теории многогранников, не вошедших еще в популярную литературу.
Безусловно, вы многократно держали в руках пакеты с соком, молоком или йогуртом, cделанные из картона и полиэтиленовой пленки. Поэтому вы легко признаете, что грани такого пакета нельзя растягивать или сжимать. Нельзя и надуть пакет, превратив его в сферу. Но пакет можно мять!
С математической точки зрения смять пакет - это значит, наметив на нем новые ребра, переломить по ним уже имеющиеся грани пакета. В результате получится новая (уже не выпуклая) многогранная поверхность.
Интуиция говорит, что объем смятого пакета меньше, чем у исходного. Мы же в данной статье покажем, что если мять умеючи, то объем может и возрасти!
Для определенности будем рассуждать о пакете, имеющем изначально форму правильного тетраэдра (в 70-е годы именно такие пакеты были распространены в нашей стране повсеместно).
Представление о предлагаемом решении дает рис. 1. Чтобы получить изображенную на нем многогранную поверхность, надо надломить каждое ребро тетраэдра посередине, приблизив середину ребра к центру тетраэдра. При этом прилегающая к ребру часть грани тетраэдра тоже загнется к центру и на месте надлома образуются два узких треугольника. Оставшаяся же часть каждой грани тетраэдра превратится в объединение четырех треугольников.
Надламывая ребра внутрь тетраэдра, мы, конечно, уменьшаем его объем. Но при этом средние части граней выпячиваются наружу, увеличивая объем. Только вычисления могут разрешить этот спор между уменьшением и увеличением. Однако ответ можно сообщить уже сейчас: действуя по изложенной схеме и правильно выбирая степень излома ребер можно увеличить объем тетраэдра на 37,7%!
ПОСТРОЕНИЕ ДЕФОРМАЦИИ
Пусть O - центр правильного тетраэдра со стороной 1 и A1 , A2 , A3 - вершины одной из его граней (рис. 2). Зададим число 0 < t # 1 (его значение будет уточняться по мере наших рассуждений) и введем следующие обозначения: B1 - середина отрезка A2A3 , B2 - середина отрезка A1A3 , B3 - середина отрезка A1A2 , P - центр грани A1A2A3 ; Ai(t) - точка отрезка OAi такая, что OAi(t) = t OAi , то есть такая, что длина отрезка OAi(t) равна произведению числа t на длину отрезка OAi (i = 1, 2, 3); Bi(t) - точка отрезка OBi такая, что OBi(t) = tOBi (i = 1, 2, 3); P(t) - точка отрезка OP такая, что OP(t) = tOP ; Ci(t) - точка отрезка OBi(t) такая, что Ci(t)Aj(t) = 1/2 при любом j = 1, 2, 3, отличном от i.
Чтобы читатель имел возможность лучше освоиться с введенными обозначениями, отметим, что Ci(1) = Bi .
Зададим еще число 0 # s # PB1 = A1B1 /3 = и обозначим через D1(t, s) точку, лежащую на луче, выходящем из точки C1(t), перпендикулярном плоскости треугольника OA2A3 и направленном внутрь тетраэдра OA1A2A3 , и такую, что D1(t, s)C1(t) = s. Аналогично построим точки D2(t, s) и D3(t, s). Наконец, на отрезке AiBi найдем точку Ei(s) так, чтобы BiEi(s) = s.
В результате таких построений мы разбили грань A1A2A3 исходного тетраэдра с центром O на десять треугольников A1B2E2(s), A1E2(s)E3(s), A1E3(s)B3 , A2B3E3(s), A2E3(s)E1(s), A2E1(s)B1 , A3B1E1(s), A3E1(s)E2(s), A3E2(s)B2 и E1(s)E2(s)E3(s), изображенных на рис. 2 красными линиями. Условимся называть поверхность, составленную из этих линий, красной. Помимо этого мы построили десять новых треугольников A1(t)C2(t)D2(t, s), A1(t)D2(t, s)D3(t, s), A1(t)D3(t, s)C3(t), A2(t)C3(t)D3(t, s), A2(t)D3(t, s)D1(t, s), A2(t)D1(t, s)C1(t), A3(t)C1(t)D1(t, s), A3(t)D1(t, s)D2(t, s), A3(t)D2(t, s)C2(t) и D1(t, s)D2(t, s)D3(t, s), изображенных на рис. 2 зелеными линиями. Условимся называть поверхность, составленную из этих треугольников, зеленой.
Непосредственно из описанных выше построений вытекает, что если при данном t число s подобрано так, что
D1(t, s)D2(t, s) = E1(s)E2(s),
то красная и зеленая поверхности одинаково составлены из попарно одинаковых треугольников.
Возвращаясь к сказанному во введении и к рис. 1, можно сказать, что красным цветом на рис. 2 изображены новые ребра, отмеченные на одной из граней исходного тетраэдра. Зеленая поверхность на рис. 2 изображает грань после смятия. Остальные грани тетраэдра нужно смять точно так же. Возможность стыковки смятых граней обеспечивается тем, что точка C1(t) лежит в плоскости OA2A3 , а точки C2(t) и C3(t) - в плоскостях OA1A3 и OA1A2 соответственно.
Отметим еще, что, например, отрезок A1(t)C2(t) не изображен на рис. 1 потому, что после склеивания всех четырех зеленых поверхностей треугольник A1(t)C2(t)D2(t, s) располагается в одной плоскости с приклеиваемым к нему по ребру A1(t)C2(t) треугольником другой зеленой поверхности (ведь прямая C2(t)D2(t, s) перпендикулярна плоскости OA1A3 , а значит, оба рассматриваемых треугольника лежат в плоскости, проходящей через точки A1(t) и C2(t) и перпендикулярной плоскости OA1A3).
В основном описание нужной нам деформации поверхности тетраэдра закончено. Чтобы завершить его, нам осталось для каждого t выяснить, какое именно значение должен принимать параметр s, чтобы соблюдалось условие (1). Приступая к решению этой задачи, обозначим через и основания перпендикуляров, опущенных из точек E1(s) и E2(s) на прямую B1B2 (рис. 3).
Тогда, с одной стороны, имеем
С другой стороны, произведем в плоскости OA1B1 следующие построения, изображенные на рис. 4:
- основание перпендикуляра, опущенного из точки C1(t) на прямую A1(t)B1(t);
- основание перпендикуляра, опущенного из точки D1(t, s) на прямую A1(t)B1(t);
F - точка пересечения прямых C1(t)D1(t, s) и OP ;
P "(t, s) - точка пересечения плоскости треугольника D1(t, s)D2(t, s)D3(t, s) и прямой OP ;
a - общее значение углов - A1B1O, -C1(t)B1(t) и -C1(t)FO.
Используя введенные обозначения, имеем из рис. 4 A1B1 = как высота в правильном треугольнике со стороной 1;
из прямоугольного треугольника A3(t)B1(t)C1(t) на рис. 2:
из рис. 4: B1P = A1B1 /3 = так как P - центр правильного треугольника A1A2A3 ; OP = как радиус шара, вписанного в правильный тетраэдр со стороной 1 (числовое значение можно найти, например, в [2], но лучше проделайте соответствующие вычисления самостоятельно).
Из прямоугольного треугольника B1OP на рис. 4 cos a = B1P / B1O = из формулы sin2 a + cos2 a = 1 находим sin a = Из прямоугольного треугольника B1(t)C1(t) на рис. 4
Из рис. 4
В силу симметрии построений, приведших к зеленой поверхности, изображенной на рис. 2, зеленая поверхность совместится сама с собой после поворота вокруг прямой OP на угол 120?. Поэтому точка P "(t, s) является центром правильного треугольника D1(t, s)D2(t, s)D3(t, s), а отрезок D1(t, s)P "(t, s) - радиусом вписанной в него окружности. Поэтому
Окончательно соотношение (1) принимает вид
или
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА
Сравним рис. 1 и 5. Многогранник, изображенный на последнем, получен из смятого тетраэдра, изображенного на рис. 1, добавлением четырех желтых тетраэдров. Каждый из них примыкает к смятому тетраэдру по своей грани, обозначенной на рис. 2 через D1(t, s)D2(t, s) D3(t, s), и имеет в качестве новых ребер отрезки, один из которых обозначен на рис. 4 через D1(t, s)F.
Обозначим длину отрезка D1(t, s)F через r. Поскольку отрезки D1(t, s)F и C1(t)D1(t, s), изображенные на рис. 4, лежат на одной прямой, то, апеллируя к рис. 5, мы можем представить смятый тетраэдр как правильный тетраэдр T со стороной 2s + 2r (три из его вершин, а также окрашенные в желтый цвет прилегающие к ним части его граней видны на рис. 5), к которому добавлены четыре шестиугольные пирамиды P, окрашенные на рис. 5 в зеленый цвет, и от которого следует отрезать четыре тетраэдра Q со стороной r, окрашенные на рис. 5 в желтый цвет.
Дадим дополнительные пояснения к конструкции многогранника, изображенного на рис. 5, с помощью рис. 2 и 4. Отрезок C1(t)F представляет собой половину ребра тетраэдра T, а отрезок D1(t, s)F - все ребро тетраэдра Q. Для одной из шестиугольных пирамид P точка A1(t) является вершиной, а точки C2(t), D2(t, s), D3(t, s) и C3(t) являются вершинами основания (впрочем, это основание имеет и другие вершины, не изображенные на рис. 2).
Введем новую переменную x = 2(r + s) и будем искать объем V смятого тетраэдра как функцию от x: V = = V(x). Обозначая объем многогранника R через vol R, можно записать основную идею последующих вычислений в виде
V(x) = vol T + 4vol P - 4vol Q.
Воспользовавшись известной формулой, выражающей объем правильного тетраэдра через длину его ребра, получим
По той же формуле найдем и объем тетраэдра Q: он также является правильным, поскольку отрезан от правильного тетраэдра T плоскостью, параллельной плоскости основания (докажите самостоятельно, что плоскость D1(t, s)D2(t, s)D3(t, s) действительно параллельна грани тетраэдра T, противолежащей вершине F ). Для вычисления длины ребра тетраэдра Q заметим, что отрезки D1(t, s)D2(t, s) и D1(t, s)F являются его ребрами. Поэтому в соответствии с (1) имеем
Следовательно,
что с учетом (2) дает
Значит,
Объем пирамиды P найдем как одну треть произведения площади основания на высоту. На рис. 6 зеленым закрашено основание пирамиды P, указаны длины его сторон и отмечены некоторые из ранее встречавшихся в наших рассуждениях точек (см. рис. 2). Продолжив стороны основания, имеющие длину 2s, получим равносторонний треугольник KLM со стороной x = 2(r + s), изображенный на рис. 6. (Доказательство равносторонности оставляем читателю.) Теперь площадь основания Sосн может быть найдена как разность площади правильного треугольника KLM со стороной x и утроенной площади правильного треугольника KD1(t, s)D3(t, s) со стороной r : Sосн = (x2 - 3r 2)/4. С учетом (5) последняя формула может быть переписана в виде
Перейдем к нахождению высоты H пирамиды P. Основание перпендикуляра, опущенного из вершины пирамиды P, обозначим через N. (На рис. 6 точка N изображена, а на и без того перегруженном рис. 2 читателю предлагается достроить точку N самостоятельно, опустив перпендикуляр из точки A2(t) на плоскость C1(t)D1(t, s)D3(t, s).) Поскольку N - центр правильного треугольника KLM, то C1(t)N - радиус окружности, вписанной в этот треугольник (докажите оба этих утверждения самостоятельно). Значит, C1(t)N = Таким образом, в прямоугольном треугольнике A2(t)C1(t)N мы знаем гипотенузу A2(t)C1(t) = A2B1 = 1/2 и катет C1(t)N = = Поэтому
Следовательно, объем пирамиды P
Подставляя в (3) найденные выражения для vol T, vol Q и vol P, получим следующую формулу для объема смятого тетраэдра:
ИССЛЕДОВАНИЕ ОБЪЕМА
Теперь нам предстоит найти такие значения параметров t и s, участвовавших в построении смятого тетраэдра, чтобы объем смятого тетраэдра превышал объем исходного тетраэдра в максимальное число раз. Другими словами, нам предстоит найти максимальное значение функции V(x).
Помимо чисто технической проблемы, связанной со сложностью формулы (6), перед нами стоит и концептуальная проблема, связанная с тем, что (6) выражает объем как функцию от некоторого вспомогательного параметра x, появляющегося лишь на заключительной стадии построения смятого тетраэдра.
Начнем со второй проблемы. Выше мы конструировали смятый тетраэдр в таком порядке. Сначала мы задали число t и нашли для него число s по формуле (2), которая гарантирует, что после замены каждой грани исходного тетраэдра зеленой поверхностью, изображенной на рис. 2, эти зеленые поверхности склеятся между собой и образуют смятый тетраэдр. Число x в этих построениях появляется как вспомогательный параметр, удобный в вычислениях.
Однако можно поступать и наоборот: сначала, задав разумное число x, найти параметр t из уравнения (4), затем параметр s из уравнения (2) и только после этого приступать собственно к построениям смятого тетраэдра. Таким образом, становится понятным, что зависимость функции V(x) в формуле (6) от параметра x, а не от t и s не создает для нас принципиальных проблем. Нужно только понять, на каком интервале изменения параметра x нам следует искать максимум функции V(x). Другими словами, необходимо выяснить, какой интервал изменения параметра x соответствует геометрически допустимым значениям параметров t и s.
Как видно из построения точек Ei(s) (или из рис. 3), параметр s заключен в пределах 0 # s # Из соотношения x = 2(r + s) и формулы (5) находим s = x /2 - r = = Решив неравенство
получим, что вспомогательная переменная x во всяком случае заключена в пределах # x # 1. На этом интервале и будем искать максимум функции V(x), а найдя его, убедимся, что он соответствует геометрически допустимому значению параметра t.
Наконец, отметим, что значение параметра x = 1 соответствует исходному правильному тетраэдру.
Сложность формулы (6) не позволяет найти точное значение x0 параметра x, при котором функция V(x) достигает максимума. Такие функции исследуют приближенными методами. График функции V(x) / V(1), построенный численно на компьютере, изображен на рис. 7. Из него видно, что на интервале функция V(x) / V(1) достигает максимума всего в одной точке x0 . Расчеты дают для x0 следующее приближенное значение: x0 = 0,801 732. Это соответствует следующим значениям: t = 0,730 12, s = 0,135 42 и V(x0) / V(1) = 1,377 18. Вот вам и обещанные 37,7%!
Любопытно отметить, что в пределах точности компьютерных вычислений каждая из шестиугольных пирамид P смятого тетраэдра максимального объема оказывается правильной. В частности, найденные значения параметров t и s действительно являются геометрически допустимыми.
Другой, несколько неожиданный факт, вытекающий из рис. 7, состоит в том, что объем V(x) смятого тетраэдра почти всегда превосходит объем исходного правильного тетраэдра V(1) (исключение составляют значения x, близкие к ).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Разные категории школьников могут по-разному использовать данную статью. Шестикласснику можно предложить склеить картонную модель и понять суть проблемы на уровне введения. Девятикласснику может быть интересно разобраться в деталях доказательства или самому написать компьютерную программу для рисования графика функции V(x) и расчета параметров смятого тетраэдра максимального объема. Наиболее увлеченные геометрией школьники могут попытаться предложить свой способ сминания тетраэдра с тем, чтобы увеличить его объем более чем на 37,7%. Ведь мы доказали только, что, следуя описанному выше способу сминания, можно увеличить объем на 37,7%. Но мы не утверждаем, что при другом способе сминания нельзя увеличить объем еще больше.
На сегодня не установлен даже факт существования такой поверхности, которая получена сминанием поверхности правильного тетраэдра и ограничивает объем, который больше или равен объему, ограничиваемому любой другой поверхностью, полученной сминанием поверхности того же тетраэдра. Учитывая, что общих подходов к этой проблеме не наблюдается, можно ожидать появления в ближайшем будущем публикаций, в которых разгорится борьба за увеличение числа 37,7%. Это и есть "математика с минимумом сырого материала", блестяще представленная в [3], перед которой все равны (или почти равны) - и школьник, и профессор.
Сюжет, изложенный в данной статье, имеет довольно длинную и интригующую историю. Петербургский математик В.А. Залгаллер опубликовал свою первую работу по этой ветви теории многогранников еще в 1958 году. Затем он неоднократно возвращался к этой проблематике совместно с Ю.Д. Бураго, и, наконец, в 1995 году они опубликовали статью [4], в которой доказали, что в трехмерном евклидовом пространстве существует выпуклый многогранник, поверхность которого можно смять так, что она ограничит больший объем. Однако уже в 1996 году вышла статья [5] американского математика Д. Бликера, в которой показано, что поверхность любого выпуклого многогранника после подходящего сминания ограничит больший объем. Там же Д. Бликер подсчитал, на сколько сминанием можно увеличить объем каждого из правильных многогранников: тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра. Настоящая статья является популярным пересказом лишь части статьи [5]. Любопытно, что хотя статья [5] и вышла позже, чем [4], но в печать она сдана раньше. Вот сколь сурова математика к своим приверженцам: ни годы работы, ни предыдущие заслуги не идут в зачет. Наиболее эффектный результат данной проблематики вчистую достался Д. Бликеру, для которого статья [5] - первая работа по многогранникам.
Предвидя вопрос о приложениях, надо сказать, что едва ли изложенная выше конструкция заинтересует фирмы, специализирующиеся на упаковке жидких пищевых продуктов. По-видимому, при выборе формы пакета главенствующую роль играет технологичность его изготовления и перевозки. А в этом отношении параллелепипед вне конкуренции. Так что наиболее разумным приложением представляется картонная модель описанного выше многогранника, украшающая школьный кабинет математики и вызывающая интерес учащихся.
Видимо, уместно публично ответить и на такой каверзный вопрос. В статье [1] говорилось, что объем любого изгибаемого многогранника не изменяется в процессе деформации. Так как же мы сейчас рассуждаем о его увеличении? Здесь надо иметь в виду, что смятый тетраэдр не получен непрерывным изгибанием из правильного тетраэдра. Переход от одного к другому осуществляется скачком. Если бы мы захотели делать это плавно, уменьшая параметр t начиная от t = 1, то обнаружили бы, что точки Ei(s), i = 1, 2, 3, меняют свое положение на грани исходного тетраэдра (см. рис. 2). При этом, например, новая грань A1E2(s)E3(s) исходного правильного тетраэдра будет менять свои размеры при изменении t. Но это и показывает, что в данной статье мы имеем дело не с непрерывным изгибанием правильного тетраэдра: согласно [1], в процессе непрерывного изгибания размеры и форма каждой, в том числе и новой, грани не должны изменяться.
Наконец, традиционный вопрос: что еще почитать? Смятый тетраэдр в популярной литературе ранее не появлялся ввиду своей молодости. О многогранниках же вообще блестяще написано, например, в [6, 7].
ЛИТЕРАТУРА
1. Александров В.А. Изгибаемые многогранные поверхности // Соросовский Образовательный Журнал. 1997. ╧ 5. С. 112-117.
2. Бескин Л.Н., Бескин В.Л. Многогранники. Киев: Вища шк., 1984. 86 с.
3. Литлвуд Дж. Математическая смесь: Пер. с англ. 3-е изд. М.: Наука, 1973. 143 с.
4. Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. Изометрические кусочно-линейные погружения двумерных многообразий с полиэдральной метрикой в R3 // Алгебра и анализ. 1995. Т. 7, ╧ 3. С. 76-95.
5. Bleecker D. Volume Increasing Isometric Deformations of Convex Polyhedra // J. Diff. Geom. 1996. Vol. 43, ╧ 3. P. 505-526.
6. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия: Пер. с нем. 3-е изд. М.: Наука, 1981. 344 с.
7. Левитин К. Геометрическая рапсодия. М.: Знание, 1976. 144 с.
Рецензент статьи Л.И. Маневич
* * *
Виктор Алексеевич Александров, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики физического факультета Новосибирского государственного университета. Область научных интересов - нелинейные и нелокальные проблемы геометрии и математического анализа. Автор 37 научных работ.
