|
|
Статьи Соросовского Образовательного журнала в текстовом формате
С какой скоростью нужно бросить вертикально вверх камень, чтобы его перемещение за четвертую секунду составило ровно 1 метр?
Один метр за четвертую секунду полета - это мало и такое может произойти только в специальных случаях, их получается три: а) верхняя точка полета достигается ближе к началу четвертой секунды, и тело проходит вниз на метр больше, чем вверх; б) то же, но верхняя точка ближе к концу этой секунды и в) тело пролетает 1 м вниз и втыкается в землю. В случае а) скорость в начале четвертой секунды направлена вверх и равна 4 м/с, то есть начальная скорость 34 м/с (принято g = 10 м/с2); б) скорость в начале четвертой секунды направлена вверх и равна 6 м/с, то есть начальная скорость 36 м/с; в) за три секунды полета смещение по вертикали составляет 1 м - начальная скорость для этого 46/3 = 15,33 м/с.
ЗАДАЧА 2
Заяц бежит по прямой с постоянной скоростью 5 м/с. В некоторый момент его замечает лиса и начинает погоню. Скорость лисы меньше, чем у зайца, она постоянна по величине и составляет 4 м/с, движется лиса тоже не самым лучшим образом - скорость ее в каждый момент направлена точно в ту точку, где находится заяц. Вначале расстояние между ними уменьшается, затем начинает возрастать. Минимальное расстояние между лисой и зайцем составляет 30 м. Какое ускорение было у лисы в тот момент, когда расстояние было минимальным?
Для минимальности расстояния между лисой и зайцем проекции скоростей на отрезок лиса-заяц равны (либо - скорость лисы относительно зайца перпендикулярна соединяющему отрезку, _). u sin a = u. На рис. 1 показано новое положение зайца через малый интервал Dt, скорость лисы остается неизменной по модулю и только поворачивается (только в неподвижной системе отсчета!), тогда ускорение лисы
ЗАДАЧА 3
Тележка массы m находится на наклонной поверхности клина массы М (рис. 1). К тележке привязана нить, переброшенная через блок, закрепленный на верхнем ребре клина. К свободному концу нити приложена горизонтальная сила F. При каком значении силы F клин и тележка могут двигаться вместе без проскальзывания? Угол при основании клина a. Трения нет. Кусок нити между блоком и тележкой параллелен наклонной грани клина.
На рис. 2 обозначены силы, действующие на груз: сила тяжести mg, сила реакции опоры N и сила натяжения нити F. По условию груз и клин имеют одинаковые ускорения, следовательно, общее их ускорение направлено по горизонтали и равно a = F /(M + m). Тогда сумма сил, действующих на груз по вертикали, равна нулю, а сумма горизонтальных составляющих обеспечивает нужное ускорение:
Отсюда
ЗАДАЧА 4
На гладком горизонтальном столе происходит лобовой удар двух одинаковых тел: одно из них вначале покоится, другое налетает на него со скоростью V0 . В каком направлении и с какой скоростью будет двигаться после удара налетевшее тело, если при ударе в тепло переходит 1% максимальной энергии деформации тел?
Максимальная энергия деформации получается в тот момент, когда в процессе соударения скорости тел равны, то есть эта энергия равна половине начальной кинетической энергии Е0 налетающего тела и потери составляют Е0 /200. Для скоростей тел после удара получим уравнения для импульса и кинетической энергии (с учетом потерь):
Скорость налетающего тела после удара должна получиться очень маленькой (без потерь энергии она была бы нулевой), с учетом этого уравнения можно решать и приближенно, отыскивая малый ответ (u1 ! u2 , u2 © V0).
Ответ: u1 © V0 /400.
ЗАДАЧА 5
Высокий вертикальный сосуд содержит небольшое количество гелия под поршнем массы М, на который поставлена гиря массы 49М. В состоянии равновесия поршень "висит" над дном сосуда на высоте h. Гирю снимают с поршня, и он начинает движение вверх. Оцените максимальную высоту подъема поршня. На какой высоте над дном сосуда поршень в конце концов остановится? Считайте при расчете, что трения в системе нет, стенки и поршень совершенно не проводят тепло, а теплоемкость стенок и поршня сосуда очень мала. Опыт проводят на Луне, где сила тяжести в шесть раз меньше, чем на Земле. Атмосферы на Луне нет.
ВНИМАНИЕ: уравнение адиабаты (для Р = = 0,02Рнач) не подходит ни к первому, ни ко второму случаю! Для расчета максимальной высоты подъема поршня будем считать, что газ сильно охлаждается и отдает поршню практически всю свою энергию. Тогда
Mg(H - h) = 1,5nRT = 1,5 " 50Mgh, H = 76h.
Для окончательного равновесия:
MgH1 = nRT1 , Mg(H1 - h) = 1,5R(T0 - T1),
вначале
50Mgh = nRT0 .
Решая эти уравнения, получим
ЗАДАЧА 6
Внутри большого теплоизолированного сосуда находится 32 г кислорода, температура сосуда и кислорода 300 К, манометр показывает давление 1 атм. Еще внутри сосуда находится очень легкая, маленькая капсула, содержащая 1 г гелия при температуре 500 К. Капсула лопается, и гелий выходит из нее в сосуд. Как будут меняться со временем показания манометра? Теплоемкость большого сосуда составляет 1000 Дж/К.
Вначале будет удар и показания манометра будут колебаться (в зависимости от его инерционности - могут и довольно значительно), далее после перемешивания газов установятся температура и давление. Температуру найдем из уравнения баланса внутренних энергий (гелий одноатомный, его количество 1/4 моль, кислород 1 моль, двухатомный). 1,5 " 0,25 " (500 - Т ) = 2,5 " 1 i i (Т - 300). Отсюда Т = 326 К. Давление возрастет за счет повышения температуры и увеличения количества молекул: Р = Рнач " 326 " 1,25/300 = 1,36 атм. После установления теплового равновесия со стенками сосуда давление составит 1,25 атм.
ЗАДАЧА 7
Для того чтобы не пришлось запоминать значение числа p (p = 3,141 592 6_), электротехник решил соединить несколько резисторов и получить сопротивление, равное примерно p Ом (а омметр у него всегда с собой). В его распоряжении пять резисторов, их сопротивления равны соответственно 1, 2, 3, 4 и 5 Ом. Как их нужно соединить между собой для получения по возможности точного числа? Какая при этом получится точность?
Наилучший вариант дает последовательное соединение двух параллельных групп: 2 и 5 параллельно и 3 и 4 параллельно - в результате получаем 22/7 Ом - очень хорошее приближение с погрешностью примерно 0,04%.
ЗАДАЧА 8
К батарейке U = 1,5 В подключена очень длинная цепь из множества одинаковых амперметров и такого же количества одинаковых вольтметров (рис. 1). Каждый из амперметров имеет сопротивление r = 1 Ом, сопротивление каждого вольтметра R = 10 кОм. Что показывают первый и второй амперметры? Найдите сумму показаний всех амперметров и сумму показаний всех вольтметров в этой цепи.
Для начала находим обычным способом сопротивление бесконечной цепочки = = 100,5 Ом. Тогда ток первого амперметра I1 = U / Z = = 14,9 мА. Первый амперметр с оставшейся частью схемы образует "делитель напряжения", сопротивление "оставшейся" части Z - r = 99,5 Ом, тогда после первого звена к остальной цепи будет приложено напряжение U " 99,5/100,5 = 0,99U. Следовательно, второй амперметр покажет 0,99I1 . Сумму показаний амперметров можно найти совсем простым способом - сумма напряжений амперметров равна напряжению батарейки, то есть ровно 1,5 В, ток амперметра определяется отношением его напряжения к его сопротивлению, тогда сумма токов Iобщ = 1,5 В/1 Ом = 1,5 А. Сумма напряжений вольтметров: можно таким же способом, но можно и проще - сумма токов всех вольтметров равна току первого амперметра, тогда сумма напряжений V = I1R = = 149 В.
ЗАДАЧА 1
Заяц бежит по прямой с постоянной скоростью 5 м/с. В некоторый момент его замечает лиса и начинает погоню. Скорость лисы меньше, чем у зайца, она постоянна по величине и составляет 4 м/с, движется лиса тоже не самым лучшим образом - скорость ее в каждый момент направлена точно в ту точку, где находится заяц. Вначале расстояние между ними уменьшается, затем начинает возрастать. Минимальное расстояние между лисой и зайцем составляет 30 м. Какое ускорение было у лисы в тот момент, когда расстояние было минимальным? Оцените ускорение лисы за одну секунду до этого момента.
Для минимальности расстояния между участниками забега проекции скоростей на отрезок лиса-заяц равны (либо - скорость лисы относительно зайца перпендикулярна соединяющему отрезку, _), тогда u sin a = u, отсюда sin a = 0,8. На рис. 1 показано новое положение зайца через малый интервал Dt, скорость лисы остается неизменной по модулю и только поворачивается (только в неподвижной системе отсчета!), тогда ускорение лисы
Для нахождения ускорения на секунду раньше нужно восстановить положение лисы (и зайца) в этот момент. Ускорение получилось не очень большое, можно считать скорость лисы за эту секунду почти неизменной, это поможет попроще найти смещение за секунду. Видно, что расстояние между лисой и зайцем за эту секунду почти не изменилось (это свойство вообще характерно для функций в районе максимума или минимума), направление вектора скорости лисы изменилось на небольшой угол d. Найдем этот угол, используя теорему синусов для добавочного маленького треугольника, стороны которого равны L, L + ut и ut, а угол между большими сторонами равен d. Тогда
учитывая малость угла d, получим
= 0,1 рад.
Ускорение лисы а1 теперь можно найти по формуле для первого случая, заменив значение угла a на (a - d):
= 0,45 м/с2.
ЗАДАЧА 2
На горизонтальной поверхности стола находится большой и очень легкий куб (рис. 1). На его верхней гладкой грани помещен кубик массы М, к которому при помощи легких нерастяжимых нитей привязаны кубики М и 2М. Нити переброшены через блоки, закрепленные на противоположных ребрах верхней грани, свисающие концы нитей вертикальны. Систему растормаживают. При каком значении коэффициента трения между большим кубом и столом этот куб может оставаться неподвижным?
На рис. 2 показаны силы. Обозначим силу натяжения нити, привязанной к грузу 2М, буквой Q, а силу натяжения нити, привязанной к висящему грузу М, буквой Т. Пусть коэффициент трения на столе достаточно велик и куб неподвижен. Тогда сила нормальной реакции на столе определяется суммой сил Mg (тело наверху), Q (нить справа тянет блок вниз) и T (нить слева). По горизонтали на куб действует разность сил натяжения нитей наверху Q - T, сила трения должна уравновесить именно ее. Для каждого из грузов вдоль направления движения: 2Mg - Q = 2Ma; Q - - T = Ma; T - Mg = Ma. Отсюда найдем силы натяжения Q = 1,5Mg, T = 1,25Mg. Тогда сила нормальной реакции стола T + Mg + Q = 3,75Mg, горизонтальная сила, пытающаяся сдвинуть куб, Q - T = 0,25Mg и минимальный коэффициент трения k, необходимый для удержания куба, определится из уравнения 0,25Mg = kмин " 3,75Mg; kмин = 1/15.
ЗАДАЧА 3
На гладком горизонтальном столе происходит лобовой удар двух одинаковых тел: одно из них вначале покоится, другое налетает на него со скоростью V0 . Оцените скорость, с которой будет двигаться после удара налетевшее тело, если в тепло переходит 90% максимальной энергии деформации тел при таком ударе.
Пусть в тепло перейдет энергия Wt = kE0 , где E0 - начальная кинетическая энергия. Для нахождения скорости налетающего тела после удара мы получим два уравнения:
Отсюда
Оценим теперь величину k, используя данные из условия (90% максимальной энергии деформации_). Энергия деформации максимальна в тот момент, когда скорости тел во время удара становятся равными - при одинаковых массах тел это соответствует скорости 0,5V0 . В этом случае кинетическая энергия тел равна в сумме половине начального значения E0 , другая половина - это энергия деформации плюс выделившееся к этому моменту тепло. Дальше придется сделать некоторые предположения - пусть, например, половина тепла выделяется за время увеличения деформации тел, а вторая половина - во время уменьшения деформации (половина при сжатии, половина при расталкивании тел). Тогда при максимальной деформации перешедшая в тепло энергия 0,5Wt составляет 0,45W, где W - максимальное значение энергии деформации. Найдем Wt :
Отсюда
Итак, для этого случая k = 9/19 и скорость налетавшего тела примерно равна 0,2V0 (более точный расчет явно смысла не имеет). Можно выбрать и другой вариант - при таком значительном выделении тепла к моменту максимальной деформации выделится больше, чем половина общего количества тепла - оценим скорость налетавшего тела после удара, считая, что почти все тепло выделится к этому моменту:
Отсюда
Итак, для этого случая k = 9/38 и скорость налетавшего тела примерно равна 0,14V0 . Можно считать, что скорость налетавшего тела будет лежать в полученном диапазоне.
ЗАДАЧА 4
Конденсаторы С, 2С и 3С соединены между собой, как показано на рис. 1. Между свободными выводами конденсаторов С и 2С подключен резистор 3R, между свободными выводами конденсаторов С и 3С - резистор 2R, между оставшимися - резистор R. В начальный момент конденсатор 2С заряжен до напряжения U, остальные конденсаторы не заряжены. Какое количество тепла выделится за большое время на резисторе R ? На резисторе 2R ? На резисторе 3R ?
В начальный момент разность потенциалов между выводами резистора 2R равна нулю (конденсаторы С и 3С не заряжены). Легко сообразить, что эта разность потенциалов так и останется нулевой - отключим резистор 2R и посмотрим на разность потенциалов между точками его бывшего подключения: отношение токов, заряжающих конденсаторы С и 3С, вначале равно IC : : I3C = 1 : 3, а это означает, что конденсаторы С и 3С заряжаются токами, пропорциональными их емкостям, и напряжения на резисторах R и 3R остаются одинаковыми. Ясно, что если мы включим на место выброшенный резистор, то ничего не изменится - ток через него течь не будет. Понятно, что не вся начальная энергия перейдет в тепло - конденсатор 2С разряжается (кстати, суммарным током IC + I3C), конденсаторы С и 3С заряжаются - процесс никогда формально не закончится, но все идет к выравниванию всех трех напряжений, конденсаторы оказываются соединенными параллельно - заряд получившегося конденсатора 6С равен исходному заряду 2CU . Итак, емкость возросла в 3 раза, при фиксированном заряде энергия уменьшилась в 3 раза - две трети ее перешли в тепло, что составило Ток через резистор R все время втрое больше, чем через 3R, мощность на нем получается в 9/3 = 3 раза больше, то есть на нем рассеивается 3/4 общего тепла, а на большем резисторе 1/4. Тогда в резисторе R выделится а в резисторе 3R выделится
ЗАДАЧА 5
Две одинаковые катушки индуктивности расположены недалеко друг от друга. Одна из них подключена к источнику синусоидального переменного напряжения последовательно с амперметром, к концам другой катушки подключен второй амперметр. Амперметры показывают 1 А и 0,2 А (угадайте, какой из них показывает 1 А, а какой - 0,2 А). Один из амперметров отключают (при отключении амперметра цепь разрывается). Что покажет после этого оставшийся амперметр? Катушки, приборы и источник можно считать идеальными. Сопротивление проводов пренебрежимо мало.
Ясно, что бЧльший ток течет через амперметр, подключенный к источнику переменного напряжения. Ток через неподключенную катушку связан с наличием магнитного потока первой катушки, пронизывающего вторую (ток этой катушки тоже создает магнитный поток, пронизывающий первую катушку, и влияет на ток в ее цепи). В цепи второй катушки нет активного сопротивления - по условию задачи элементы цепи можно считать идеальными, это означает, что собственный магнитный поток LI2 должен полностью уравновесить магнитный поток F от первой катушки: LI2 - F = 0. Ток второй катушки меньше - он создает в первой катушке поток F(I2 / I1). Полный магнитный поток через первую катушку составит LI1 - F(I2 / I1). Производная от этой величины равна по модулю напряжению источника. Теперь ответы: если разорвать цепь первой катушки, то оба тока упадут до нуля, а если разорвать цепь второй катушки, то пропадет добавочный магнитный поток и для тока I в этом случае можно записать
Тогда
= 0,96 A.
Ток второй катушки станет нулевым.
ЗАДАЧА 6
К источнику переменного напряжения, частоту которого можно изменять в широких пределах, подключена цепь из двух одинаковых катушек L, двух конденсаторов С и амперметра A переменного тока с очень малым сопротивлением (рис. 1). Амплитуда напряжения источника U0 . На какой частоте сила тока через амперметр будет минимальна? Чему равна амплитуда этого тока? Элементы цепи считайте идеальными.
Если заменить идеальный амперметр куском провода, то сразу станет видно - к каждому из получившихся одинаковых параллельных колебательных контуров приложена половина напряжения источника. Тогда при U = U0 cos wt ток через конденсатор IС = - 0,5U0wC sin wt, ток через катушку IL = 0,5U0 sin wt /(wL). Ток через второй конденсатор, очевидно, такой же, как и через первый, а ток амперметра равен разности токов через катушку и конденсатор: IА = 0,5U0 sin wt(wC + 1/ wL). Выражение в скобках минимально при равенстве слагаемых (можно взять и производную по частоте и приравнять нулю_). В результате получим амплитуду тока
ЗАДАЧА 7
В большом спортивном зале стены, пол и потолок оклеены звукопоглощающими (полностью поглощающими звук) покрытиями. На высоте h = 5 см от пола находится мощный точечный источник звука частоты f = 2000 Гц, излучающий звуковые волны равномерно во все стороны. Микрофон малых размеров находится на высоте Н = 3 м от пола на расстоянии L = 4 м по горизонтали от источника. Подключенный к микрофону чувствительный вольтметр показывает амплитуду переменного напряжения U = 0,01 В. Как изменятся показания этого вольтметра, если удалить звукопоглощающее покрытие на полу под микрофоном? Считайте, что от пола звуковые волны отражаются без потерь энергии. Какими будут показания вольтметра в том случае, когда покрытие на полу будет восстановлено (но оно окажется очень тонким, качеством похуже и будет поглощать только половину падающей энергии волны, а ослабленная волна будет отражаться от пола зеркально)?
В точке, где мы поместили микрофон, могут складываться несколько волн. Когда звукопоглощающее покрытие выполняло свою задачу, к микрофону приходила только прямая волна, она раскачивала мембрану микрофона и амплитуда переменного напряжения была пропорциональна амплитуде звуковых колебаний. Когда мы испортили покрытие, к микрофону дополнительно стала приходить отраженная от пола волна, когерентная с прямой волной. Найдем разность хода прямой и отраженной волны:
= 6 см.
(Мы воспользовались при расчете тем, что высота источника звука относительно пола комнаты h во много раз меньше высоты микрофона относительно пола H.) Для частоты звука f = 2000 Гц и скорости звука в воздухе с = 340 м/с длина волны составляет l = 340/2000 = = 0,17 м. При этом отраженная волна отстает на 6/17 периода, угол сдвига фаз составляет 127?. Проще всего найти сумму векторов, нарисовав вектор, изображающий запаздывающую волну, из конца основного вектора - в получившемся треугольнике угол между сторонами равен 53?. Если считать векторы, изображающие прямую и отраженную волны единичными, то результирующий вектор будет иметь длину 0,89 - вольтметр при этом покажет амплитуду переменного напряжения 0,01 " 0,89 © 0,009 В.
Во втором случае амплитуда отраженной волны в раз меньше (энергия меньше вдвое) и на картинке второй вектор покороче. При этом амплитуда суммарной волны составит 0,81 и показания вольтметра уменьшатся до 0,008 В. При расчетах мы приняли, что при отражении фаза волны не меняется.
ЗАДАЧА 8
На расстоянии d = 0,6 см от центра стеклянного шара радиуса R = 1 см находится точечный источник света. При каких значениях коэффициента преломления стекла n весь испускаемый источником световой поток выйдет наружу? Оценить долю вышедшего наружу потока при значении n1 = 1,7. Снаружи - вакуум, источник излучает во все стороны равномерно.
Падающий на границу раздела двух сред тонкий пучок частично отражается, частично преломляется - часть энергии (светового потока) при этом уходит в окружающую шар среду, а следующие падения остатка пучка происходят под теми же углами к нормали в точке падения и каждый раз такая же часть энергии уходит из шара наружу. Если нет заметного поглощения энергии внутри, вся испущенная источником энергия уйдет наружу. Что же может помешать этому? Вспомним, что не всегда существует преломленный луч - при падении пучка под большими углами к нормали возможно полное внутреннее отражение, когда все отражается назад в оптически более плотную среду (в нашем случае в стекло). Итак, найдем максимальный угол падения луча на сферическую поверхность: по теореме синусов R / sin j = = d / sin a, отсюда sin j = (d / R )sin a. Видно, что значение синуса угла падения не превосходит 0,6 - это значит, что при величине коэффициента преломления меньшем, чем 1/0,6 = 1,66_ явления полного внутреннего отражения вообще не произойдет. В нашем случае коэффициент преломления немного больше критического значения и часть лучей испытает полное внутреннее отражение и не сумеет выйти наружу. Найдем диапазон углов, в котором сосредоточены эти лучи. На рис. 1 показан луч, исходящий под прямым углом к радиусу из источника (максимальный угол падения), и лучи, которые ограничивают искомый диапазон - для них синус угла падения равен 1/ n. Для одного из косых треугольников радиус R виден под углом 90? + d, а отрезок 0,6R - под углом, синус которого равен 1/ n = 1/1,7. По теореме синусов R / sin(90? + d) = 0,6R " 1,7, отсюда cos d = 0,98 и угол d = 11,5?. Совершенно аналогично находится угол для второго треугольника, он получается точно таким же (? d = 11,5?). Доля не вышедших лучей от всех испущенных (или доля не вышедшего наружу светового потока) составит 2d /180? = 1/8 (примерно) и наружу выйдет 7/8 испущенного источником потока.
Примечание: долю невышедшего потока нельзя просто посчитать через отношение площадей на сфере - свет падает изнутри на сферу неравномерно, источник света смещен относительно центра.
Текст задач и решений подготовлен к публикации
А.Р. Зильберманом
