|
|
Статьи Соросовского Образовательного журнала в текстовом формате
7 класс
ЗАДАЧА 1
В связи с кризисом зарплата сотрудников фирмы понизилась на 1/5. На сколько процентов следует ее повысить, чтобы она достигла прежнего значения?
Первое решение. Удобно взять какой-нибудь пример: нас интересует процент повышения, и потому неважно, какое число взять. Пусть, например, зарплата равнялась 10 рублям. Тогда после понижения зарплата будет равна 8 рублей и повысить ее надо на 2 рубля, что составляет четверть от 8 рублей, то есть 25%.
Второе решение. Пусть до кризиса зарплата была равна x рублей. Тогда после кризиса зарплата стала рублей. Чтобы зарплата достигла прежнего значения, ее надо увеличить в раз, то есть на одну четверть.
Ответ: на 25%.
ЗАДАЧА 2
Может ли сумма шести различных положительных чисел равняться их произведению?
Например, возьмем первые пять чисел равными 1, 2, 3, 4, 5. Шестое число найдем из уравнения:
1 " 2 " 3 " 4 " 5 " x = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + x,
откуда x = .
Ответ: Может.
ЗАДАЧА 3
На прямой отмечены точки A, B, C и D. Известно, что AC = a и BD = b (рис. 1). Чему может равняться расстояние между серединами отрезков AB и CD? Укажите все возможности.
Возможны следующие варианты:
1) точка A лежит левее точки C, а точка B - левее точки D ;
2) точка A лежит правее точки C, а точка B - правее точки D ;
3) точка A лежит левее точки C, а точка B - правее точки D ;
4) точка A лежит правее точки C, а точка B - левее точки D.
Рассмотрим, например, первый вариант.
Введем координаты на прямой. Пусть точка A имеет координату x, тогда точка C имеет координату x + a (так как AC = a). Аналогично точки B и D имеют координаты y и y + b соответственно. Тогда середины отрезков AB и CD имеют координаты и соответственно. Расстояние между ними равно
Остальные варианты рассматриваются аналогично. В случае 2) ответ такой же, как и в 1). В случаях 3) и 4) получается
Ответ:
ЗАДАЧА 4
Найдите три последние цифры числа 62519 + 37699.
Заметим, что число 6252 оканчивается на 625. Поэтому произведение двух чисел, оканчивающихся на 625, также оканчивается на 625. Значит, 62519 оканчивается на 625. Аналогично доказывается, что 37699 оканчивается на 376. Значит, число 62519 + + 37699 оканчивается на 001.
Ответ: 001.
ЗАДАЧА 5
За круглым столом сидят граждане пяти разных стран (от одной страны может быть несколько представителей). Известно, что для любых двух стран (из данных пяти) найдутся граждане этих стран, сидящие рядом. Какое наименьшее число людей может сидеть за столом?
Если за столом сидят n человек, то они образуют n пар сидящих рядом. Так как из пяти стран можно составить ровно пар, то людей не меньше 10. На рис. 1 показано, как рассадить 10 человек так, чтобы выполнялось условие задачи.
Замечание. Задача рассадки представителей n стран эквивалентна задаче обхода полного графа с n вершинами. Обход, при котором по каждому ребру проходят ровно один раз, возможен при нечетном n и невозможен при четном. Ясно, что такой обход, если он возможен, соответствует минимальной рассадке.
Ответ: 10 человек.
ЗАДАЧА 6
Всякий ли прямоугольник можно разрезать на 1999 частей, из которых можно сложить квадрат?
Идея решения. Пусть прямоугольник очень длинный и тонкий, тогда среди частей будут достаточно длинные, значит, квадрат будет достаточно большой, но площадь квадрата должна быть равна площади прямоугольника.
Решение. Возьмем, например, прямоугольник со сторонами 10 000 и 1/10 000. Площадь его равна 1. Отметим на одной из его длинных сторон 2001 точку с шагом 5 (см. рис. 1)
Предположим, что этот прямоугольник удалось разрезать на 1999 частей, из которых можно сложить квадрат. Тогда площадь этого квадрата должна быть равна 1. А значит, и сторона равна 1. С другой стороны, заметим, что так как частей, на которые был разбит прямоугольник, - 1999, а мы отметили 2001 точку, то какие-то две точки окажутся в одной части разбиения. Значит, в этой части будут точки на расстоянии не меньше 5. А в квадрате со стороной 1 таких точек нет. Противоречие. Таким образом, искомое разрезание невозможно.
Ответ: Не всякий.
ЗАДАЧА 1
Даны две несократимые дроби. Знаменатель первой дроби равен 4, знаменатель второй дроби равен 6. Чему может равняться знаменатель произведения этих дробей, если произведение представить в виде несократимой дроби?
Запишем это произведение:
На что могла бы сократиться эта дробь? На 2 сократить нельзя, так как m и n нечетны (исходные дроби несократимы). Сокращение на 3 возможно, если n делится на 3, например,
Легко понять, что больше возможностей для сокращения нет, так как в знаменателе есть только множители 2 и 3.
Ответ: знаменатель равен 24 или 8.
ЗАДАЧА 2
В скачках участвуют три лошади. Игрок может поставить некоторую сумму денег на каждую лошадь. На первую лошадь ставки принимают в соотношении 1 : 4. Это означает, что если первая лошадь выигрывает, то игрок получает назад деньги, поставленные на эту лошадь, и еще четыре раза по столько же. На вторую лошадь принимают ставки в соотношении 1 : 3, на третью - 1 : 1. Деньги, поставленные на проигравшую лошадь, не возвращаются. Можно ли поставить так, чтобы выиграть при любом исходе скачек?
Примем общую сумму денег за 1. Мы должны разделить ее между тремя лошадьми, поставив какую-то сумму a на первую лошадь, b - на вторую и c - на третью. При этом a + b + c = 1 (нет смысла оставлять деньги в резерве, так как это не поможет выиграть). Сколько денег мы получим? Это зависит от того, какая лошадь выиграет. Если выиграет первая, мы получим 5a, если вторая - то 4b, если третья - 2c. Мы хотим выиграть во всех трех случаях:
a + b + c = 1, 5a > 1, 4b > 1, 2c > 1,
или
a + b + c = 1, a > 1/5, b > 1/4, c > 1/2.
Это возможно, поскольку 1/5 + 1/4 + 1/2 = 19/20 <1. Например, можно взять a = 4/19, b = 5/19 и c = = 10/19. Тогда при любом исходе скачек мы получим 20/19 исходной суммы. (Если мы хотим иметь дело с целыми числами, поставим 4 рубля на первую лошадь, 5 - на вторую и 10 - на третью, при этом мы потратим 19 рублей и при любом исходе получим 20.)
Замечания. 1) В условии ничего не говорится о том, какая лошадь имеет больше шансов на выигрыш. Но это и неважно, поскольку важен не средний (ожидаемый) выигрыш, а выигрыш в худшем случае.
2) Подобные задачи могут встречаться на практике (выборы и др.) и даже имеют научное название - диверсификация рисков.
Ответ: Можно.
ЗАДАЧА 3
В окружность вписан четырехугольник, причем центр окружности - точка О - находится внутри него. Пусть K, L, M, N - середины сторон четырехугольника, следующие в порядке обхода. Докажите, что биссектрисы углов KOM и LON перпендикулярны (рис. 1).
Пусть OA - биссектриса - KOM, а OB - биссектриса - LON. Можно считать, что порядок лучей OA, OB, OK, OL, OM, ON вокруг точки O такой, как на рис. 1. Тогда
- AOB = - AOM + - BOM =
= - AOM + - BON - - NOM =
Итак, нам надо доказать, что - KON + - LOM = = 180?. Обозначим вершины четырехугольника через P, Q, R, S, так что N - середина PQ, а K - середина PS.
Рассмотрим четырехугольник KONP. Углы K и N в этом четырехугольнике прямые, так как радиус
перпендикулярен хорде, которую он пересекает в ее середине. Значит, - KPN + - KON = 180?. Аналогично - LRM + - LOM = 180?. Поэтому
- KON + - LOM = 360? - (- KPN + - LRM) = 180?,
так как сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180?.
ЗАДАЧА 4
Докажите, что число не делится на 7.
Пусть данное число (обозначим его n) делится на 7. Тогда число
также делится на 7. Но в разложении этого числа на простые множители присутствуют лишь 2 и 5 - противоречие.
ЗАДАЧА 5
В треугольнике ABC медиана, проведенная из вершины A к стороне BC, в четыре раза меньше стороны AB и образует с ней угол в 60?. Найдите наибольший угол данного треугольника.
Пусть точка M - основание этой медианы. Пусть точка A ' симметрична точке A относительно M. Докажем, что AA 'B - прямоугольный треугольник (рис. 1).
Пусть P - основание перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую AM. Тогда
Из предыдущего равенства и из очевидного факта, что A ' и P лежат по одну сторону от A, получаем, что A ' = P, что и требовалось.
Треугольники CAM и BA 'M равны по первому признаку, значит, - CAM = 90?. Отсюда
- CAB = - CAM + - BAM = 90? + 60? = 150?.
Это и есть наибольший угол треугольника, так как в треугольнике не может быть больше одного тупого угла.
Ответ: 150?.
ЗАДАЧА 6
Дан прямоугольник 7 i 8, составленный из клеток 1 i 1. Разрежьте его на фигуры, состоящие из клеток 1 i 1, так, чтобы каждая фигура состояла из не более чем 5 клеток и суммарная длина разрезов была минимальной (приведите пример и докажите, что это невозможно сделать с меньшей суммарной длиной разрезов). Резать можно только по границам клеток.
Пусть Q - суммарная длина разрезов, P - суммарный периметр всех фигур, полученных при разрезании. Ясно, что каждая линия разреза входит в периметр ровно двух фигур. Кроме того, в периметр фигур входит периметр исходного прямоугольника. Отсюда получаем
P = 2Q + 30.
Таким образом, мы видим, что суммарная длина разрезов минимальна тогда, когда минимален суммарный периметр фигур. Заметим, что для любой фигуры, состоящей из не более чем 5 клеток, выполняется неравенство
2s # p,
где s - площадь фигуры, а p - периметр. Значит, суммарный периметр P не меньше удвоенной суммарной площади S. Но S = 56, следовательно, P $ $ 112, а значит, Q = (P - 30)/2 $ 41.
Пример с Q = 41 изображен на рис. 1, а.
Замечание. Из решения легко следует, что разрезание является минимальным (то есть Q = 41) тогда и только тогда, когда неравенство (*) обращается в равенство для всех фигур, полученных при разрезании. Нетрудно проверить, что равенство выполняется только для фигур, показанных на рис. 1, б.
Значит, разрезание минимально тогда и только тогда, когда прямоугольник разрезан на фигуры только такого вида.
Ответ: См. рисунок.
Минимальная длина разрезов - 41.
ЗАДАЧА 1
В данной в конце условия задачи фразе надо на месте многоточия поставить число (числительное), записанное в словесной форме и в нужном падеже, чтобы сформулированное в ней утверждение было истинным. Вот эта фраза: "Число букв в этой фразе равно_"
В начале фразы использованы 24 буквы. Легко проверить, что в "словесной записи" двузначного числительного (в дательном падеже) участвуют не более 19 и не менее шести букв. Поэтому в законченной фразе букв не более 43 и не менее 30. Далее без труда находим ответ среди двузначных числительных.
Ответ: Число букв в этой фразе равно
тридцати восьми.
Ответ-шутка: Число букв в этой фразе равно
четыре дюжины без пяти.
ЗАДАЧА 2
На плоскости расположены две равные непересекающиеся окружности. Проведены две прямые. Каждая из прямых пересекает окружности в четырех точках так, что три образовавшихся на каждой из прямых отрезка равны (рассматриваются отрезки с концами в соседних точках пересечения). Для одной прямой эти отрезки имеют длину a, для другой - длину b (a < b). Найдите радиусы окружностей.
Пусть O и Q - центры данных окружностей, P - середина OQ (рис. 1).
Из условия следует, что каждая из прямых находится на равных расстояниях от O и Q, следовательно, каждая из прямых либо параллельна OQ, либо проходит через P. Нетрудно убедиться, что одна из двух прямых параллельна OQ, а другая проходит через P, причем прямая, параллельная OQ, образует в пересечении с окружностями отрезки длиной b (можно просто рассмотреть различные варианты). Далее имеем OQ = 2b, OP = b. Пусть прямая, проходящая через P, пересекает окружность с центром в O в точках L и K, M - середина LK, LK = MP = a. Из прямоугольного треугольника OMP находим OM 2 = = OP 2 - MP 2 = b2 - a2. Теперь найдем радиус
Ответ:
ЗАДАЧА 3
Решите систему уравнений:
(Здесь [x] - целая часть х, то есть наибольшее целое число, не превосходящее х; {x} = x - [x] - дробная часть х.)
Пусть n = [x], a = {x}, m = [y], b = {y}, k = [z], g = = {z}, n, m, k - целые числа, 0 # a < 1, 0 # b < 1, 0 # # g < 1 и x = n + a, y = m + b, z = k + g. При этом система принимает вид
Складывая уравнения системы почленно, получаем
2(n + m + k + a + b + g) = 9,4
или
n + m + k + a + b + g = 4,7.
Вычитая из этого уравнения почленно первое, второе и третье уравнения системы, получаем
Значит, k = 0, b = 0,8; n = 1, g = 0,2; m = 2, a = 0,7.
Ответ: x = 1,7; y = 2,8; z = 0,2.
ЗАДАЧА 4
Сократите дробь если цифра 8 в числителе встречается 2000 раз, а цифра 9 в знаменателе - 1999 раз (в результате надо получить несократимую дробь).
Пусть тогда числитель (А ) дроби равен А = n " 102007 + 8N - n = n(102007 - 1) + + 8N = N(9n + 8). Заметим, что 9n + 8 = (10 - 1)n + + 8 = (12 345 670 - 1 234 567) + 8 = 11 111 111. Обозначим последнее число через k. Знаменатель дроби B = (10n + 8) " 102007 + 9N - (10n + 8) = (10n + + 8)(102007 - 1) + 9N = N (90n + 81) = N (10k + 1). Значит, дробь можно сократить на N и . Пусть d - общий натуральный делитель k и 10k + 1, тогда d - делитель 1, поэтому последняя дробь несократима.
Ответ: Дробь можно сократить на , в результате получим несократимую дробь
ЗАДАЧА 5
На плоскости дан угол с вершиной А. На его сторонах выбираются точки К и Р так, что АК + АР = a, где a - заданный отрезок. Пусть М - точка плоскости такая, что треугольник КРМ равнобедренный с основанием КР и углом при вершине М, равным данному углу. Найдите геометрическое место точек М (при изменении К и Р ).
Рассмотрим два случая расположения точки M.
1. M и A по разные стороны от прямой KP (рис. 1, a). Возьмем точку L так, что AKLP - параллелограмм. Поскольку - KMP = - KAP = - KLP (первое равенство по условию), точки K, P, L и M лежат на одной окружности. Следовательно, - MLK = = - MPK. Обозначим через E и F точки пересечения прямой ML со сторонами данного угла: AK и AP соответственно. Поскольку в треугольниках KMP и EKL есть две пары равных углов (- EKL = - KMP, - KLE = - KPM), а в треугольнике KMP стороны KM и MP равны, то KE = KL. Далее имеем AE = AK + + KE = AK + KL = AK + AP = a. Точно так же AF = a. Таким образом, точки E и F фиксированные, и точка M описывает отрезок M1M2 на прямой EF. Концы отрезка - точки M1 и M2 - соответствуют крайним (предельным) положениям точек K и P (рис. 1, б ) и сами не входят в искомое геометрическое место (AM1 = M1F = AM2 = M2E, - AM1F = - AM2E = - KAP).
2. M и A по одну сторону от прямой KP (рис. 1, в). В этом случае точки K, P, A и M лежат на одной окружности. Следовательно, - MAP = - MKP. Это означает, что точка M принадлежит соответствующей прямой (эта прямая перпендикулярна биссектрисе данного угла). В этом случае точка M также описывает отрезок. Обозначим его M3M4 . Точки M3 и M4 симметричны соответственно M1 и M2 относительно соответствующих сторон угла. На рис. 1, г изображено все искомое геометрическое место точек, состоящее из двух отрезков M1M2 и M3M4 .
Замечание. Можно рассматривать равнобедренные треугольники КРМ с углом при вершине М, равным данной величине j (не обязательно j равен данному углу). В этом случае геометрическое место точек М также будет состоять из двух отрезков, перпендикулярных биссектрисе данного угла. В самом деле, пусть N - середина КР. Проекция AN на биссектрису угла, равная полусумме проекций АК и АР, постоянна. Проекция КР на прямую, перпендикулярную биссектрисе угла, также постоянна. Следовательно, проекция NM на биссектрису угла тоже постоянна (NM ^ KP и NM/KP = const). Отсюда следует утверждение для произвольного j.
ЗАДАЧА 6
На стороне АВ треугольника АВС взяты точки М и К (М на отрезке АК ). Известно, что АМ : МК : КВ = a : b : c. Прямые СМ и СК вторично пересекают описанную около АВС окружность в точках E и F соответственно. В каком отношении окружность, описанная около треугольника BMF, делит отрезок BE ?
Пусть указанная в условии окружность (описанная около треугольника BMF ) пересекает соответственно BE и CF в точках P и L (рис. 1).
Обозначим через N точку пересечения LP с BM. Поскольку - LMB = - LPB = - LFB = - CFB = = - CAB = - CEB, LM параллельна CA, а LP параллельна CE. Далее получаем
Следовательно,
Далее получаем
Разделим числитель и знаменатель последней дроби почленно на MK, получим
Ответ:
ЗАДАЧА 1
Из одного города в другой выехала машина. Первую треть пути она ехала со скоростью 50 км/ч, вторую треть - 60 км/ч, а последнюю - 70 км/ч. Чему равна средняя скорость машины на всем пути?
Пусть расстояние между городами равно 3S км, тогда на весь путь затрачено ч. Значит, средняя скорость на всем пути равна
км/ч.
Ответ: км/ч
ЗАДАЧА 2
В 1748 году великий российский математик Леонард Эйлер опубликовал одно из своих важнейших произведений - "Введение в анализ бесконечных". В этом труде, в частности, Эйлер находит значения двух бесконечных сумм и (слагаемыми в первой сумме являются числа, обратные квадратам чисел натурального ряда, а во второй - обратные квадратам нечетных чисел натурального ряда). Значение первой суммы, как показал Эйлер, равно . Учитывая этот результат, найдите значение второй суммы.
Пусть
тогда
Значит,
Ответ:
ЗАДАЧА 3
Известно, что sin 3x = 3 sin x - 4 sin3x. Нетрудно также доказать, что sin nx при нечетном n можно представить в виде многочлена степени n от sin x. Пусть sin 1999x = P (sin x), где P (t) - многочлен 1999-й степени от t. Решите уравнение
Так как то уравнение приобретает вид
Ответ: k = 0, ?1, ? 2, _
ЗАДАЧА 4
Решите уравнение
Положим
тогда
Из последнего уравнения следует 2tx = t 2 + 9 и, в частности, t ? 0. Отсюда
Значит, исходное уравнение будет иметь вид
или (t - 3)4 = 4(t + 3)2.
Отсюда
Второе уравнение корней не имеет, корни первого уравнения При этом
Если то Так как должно выполняться неравенство t $ x, то это значение x не является решением.
Поскольку то x = - решение.
Ответ:
См. также решение задачи 3 для XI класса.
ЗАДАЧА 5
На плоскости дан равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС ). Найдите геометрическое место точек М плоскости, таких, что АВСМ - выпуклый четырехугольник и при этом - МАC + - CMB = 90?.
По условию задачи точка M лежит вне треугольника ABC в угле, образованном продолжением сторон BA и BC за точки A и C соответственно.
Пусть g - окружность, описанная около треугольника AMC. Так как - MAC + - CMB = 90?, то - MAC и - CMB (как вписанные) опираются на дуги окружности g, объединение которых - полуокружность. Значит, отрезок MB лежит на диаметре g. Поэтому либо точка M лежит на продолжении высоты BD за точку D, либо B - центр окружности g. Отметим, что если M = D, то четырехугольник вырождается в треугольник, однако сумма указанных углов равна 90?.
Ответ: Геометрическое место точек состоит из точек, лежащих на продолжении высоты BD за точку D, и точек, лежащих на дуге AC окружности с центром в точке B, пересекающей продолжение высоты BD за точку D. Точки A и C условию задачи не удовлетворяют. Можно считать, что точка D (основание высоты AD ) входит в искомое геометрическое место.
ЗАДАЧА 6
Прямая, содержащая центры описанной и вписанной окружностей треугольника АВС, пересекает лучи ВА и ВС и образует с высотой к стороне ВС угол, равный половине угла ВАС. Чему равен угол АВС ?
Обозначим - BAC = 2a, - ABC = 2b, - ACB = 2g (рис. 1). Пусть O - центр вписанной окружности, O1 - центр описанной окружности в DABC. Продолжим биссектрису AO до пересечения с описанной окружностью в точке M. Тогда - MBC = a и BM = MC. Так как - BOM = - OBA + + - OAB = b + a = - OBM, то MB = MO = MC. Для центральных углов BO1M и MO1C имеем - BO1M = = - MO1C = 2a. По условию прямая OO1 образует с высотой к стороне BC угол a. Поскольку O1M параллельна этой высоте, то O1O образует с MO1 угол a и, следовательно, O1O является биссектрисой либо угла BO1M, либо угла MO1C. А так как BO1 = O1M = = O1C, то O1O является срединным перпендикуляром к BM или к MC.
Рассмотрим сначала случай, когда прямая OO1 пересекает сторону AB. Тогда она не может пересечь BM и, следовательно, является срединным перпендикуляром к MC. Отсюда OM = OC. Но выше было доказано, что OM = MC. Значит, - OMC = 60?. Точки B, O, C лежат на окружности с центром M. В ней - OMC центральный, а - OBC вписанный, и они опираются на одну дугу OC. Поэтому - OBC = = - OMC = 30? и - ABC = 60?.
Аналогично если прямая O1O пересекает сторону AC, то она является срединным перпендикуляром к BM и поэтому - ACB = 60?. Поскольку по условию O1O пересекает луч BA, то - ABM = 2b + + a < 90?. Это равносильно условию 2b + a < 2g + a и 2b < 2g. Так как в этом случае 2g = 60?, то - ABC = = 2b < 60?. Можно показать, что все случаи реализуются, поскольку приведенные рассуждения обратимы.
Ответ: Если указанная прямая пересекает отрезок AB, то - ABC = 60?; если она пересекает продолжение луча BA за точку A, то - ABC k (0, 60?).
ЗАДАЧА 1
Найдите все х, для которых выполняется неравенство 9 sin x + 40 cos x $ 41.
Перепишем неравенство в виде
Так как 92 + 402 = 412, то существует угол j такой, что
например,
Неравенство принимает вид sin(x + j) $ 1.
Ответ:
или
ЗАДАЧА 2
Из двух городов Добруйска и Бодруйска, расстояние между которыми равно 40 км, навстречу друг другу одновременно выехали два велосипедиста Доби и Боди. Доби передвигался со скоростью 23 км/ч, а Боди со скоростью 17 км/ч. Перед отправлением на нос Доби села муха, которая в момент его выезда из города полетела по направлению к Бодруйску со скоростью 40 км/ч. Муха встретилась с Боди, и тут же повернула обратно, и полетела по направлению к Добруйску со скоростью 30 км/ч. (Дело в том, что от Добруйска к Бодруйску дул ветер.) Встретившись с Доби, муха вновь повернула обратно и т.д. Определите суммарный путь, который пролетела муха до момента встречи велосипедистов. (Ее скорости в каждом направлении не менялись.)
Доби и Боди встретятся через ч. Пусть суммарный путь, который муха пролетела от Добруйска к Бодруйску, равен x (км). Поскольку встреча велосипедистов произошла в 23 км от Добруйска и муха в этот момент находилась в той же точке, то суммарный путь, который муха пролетала по направлению от Бодруйска к Добруйску, равен x - 23 км. Поскольку муха летала 1 ч, то получаем уравнение Отсюда 3x + 4(x - 23) = = 120, км. Тогда суммарный путь мухи равен x + (x - 23) = км.
Ответ: км.
ЗАДАЧА 3
При каждом значении параметра a решите уравнение
Решение задачи сводится к решению системы
или
Здесь мы предлагаем решение, использующее "рационализирующую подстановку", которая может оказаться полезной в ряде других задач.
Положим тогда
Из последнего уравнения следует 2tx = t 2 + a2. Рассмотрим два случая.
1) Если a = 0, то исходное уравнение принимает вид откуда x ? 0 и что невозможно.
2) Если a ? 0, то из равенства 2tx = t 2 + a2 следует, что t ? 0 и x = Отсюда
Значит, исходное уравнение приобретает вид
, или 4t2(t + a)2 = (t - a)4.
Отсюда
Второе уравнение не дает решений (так как a ? 0), а из первого уравнения получаем При этом
Таким образом, получаем
или
В обеих системах условие x $ t равносильно неравенству a $ 0.
Ответ: Если a > 0, то
если a # 0, то решений нет.
ЗАДАЧА 4
Найдите все натуральные числа, меньшие чем 105, которые делятся на 1999 и у которых сумма цифр (в десятичной записи) равна 25.
Искомые числа находятся среди чисел вида
1999n, n = 1, 2, _, 50.
Известно, что натуральное число и сумма цифр в его десятичной записи имеют одинаковые остатки при делении на 9. Остатки от деления чисел 25 и 1999 на 9 равны соответственно 7 и 1, поэтому число n имеет остаток 7 при делении на 9. Значит, n может быть одним из чисел 7, 16, 25, 34 и 43.
Так как 1999n = 2000n - n, то нахождение искомых чисел проводится без труда: n = 7 и n = 16.
Ответ: 13 993, 31 984.
ЗАДАЧА 5
Известно, что расстояния от всех вершин куба и центров его граней до некоторой плоскости (всего 14 величин) принимают два различных значения. Наименьшее равно 1. Чему может равняться ребро куба?
Рассмотрим три диагонали граней куба, выходящие из одной вершины. Хотя бы одна из них непараллельна заданной плоскости. Пусть это диагональ AC, O - ее середина. Тогда заданная плоскость должна пересекать AC, причем проходить через середину одного из отрезков AO или OC. В противном случае все расстояния от A, O и C до этой плоскости различны. (Поскольку минимальное расстояние равно 1, плоскость не может проходить ни через какую из этих точек.) И вообще для любой диагонали любой грани заданная плоскость либо пересекает эту диагональ указанным образом, либо параллельна ей. Теперь нетрудно прийти к выводу, что у нас есть две возможности:
1) заданная плоскость параллельна двум граням куба и делит перпендикулярные ей ребра куба в отношении 1 : 3;
2) заданная плоскость пересекает куб по правильному шестиугольнику, вершинами которого являются середины соответствующих ребер куба. В первом случае ребро куба равно 4, во втором -
Ответ: 4 или
ЗАДАЧА 6
В треугольнике АВС угол В тупой и равен a. Биссектрисы углов А и С пересекают противоположные стороны в точках Р и М соответственно. На стороне АС взяты точки K и L так, что - ABK = - CBL = 2a - 180?. Чему равен угол между прямыми KP и LM ?
Заметим, что угол CBK равен a - (2a - 180?) = = 180? - a, то есть равен внешнему углу при вершине B треугольника ABC. Таким образом, BP - биссектриса внешнего угла при вершине B треугольника ABK. Но по условию AP - биссектриса угла BAK. Значит, точка P равноудалена от прямых AB,BK и AC. Следовательно, KP - биссектриса угла BKC (иными словами, P - центр соответствующей вневписанной окружности треугольника ABK ). Точно так же LM - биссектриса угла BLA.
Рассмотрим ситуацию, соответствующую рисунку (O - точка пересечения KP и ML ). В этом случае a $ 2(2a - 180?), то есть a # 120?. Следовательно, - KBL = 360? - 3a. Положим - BKL = 2g, - BLK = 2b, 2b + 2g + (360? - 3a) = 180?, откуда b + g = 3a /2 - 90?. Далее получаем - KOL = 180? - (b + g) = 270? - 3a /2. Но угол между прямыми считается равным наименьшему из углов, образовавшихся при их пересечении, и не может быть тупым. В данном случае - KOL не является острым и поэтому угол между прямыми равен 180? - - KOL = - 90?. Если a > 120?, то аналогично получаем, что искомый угол равен 270? - .
Ответ: Если a # 120?, угол между прямыми KP
и ML равен - 90?;
если a > 120?, то этот угол равен 270? - .
Материалы подготовили В.Б. Алексеев, С.М. Львовский, В.С. Панферов, И.Ф. Шарыгин, А.Х. Шень, И.В. Ященко
