|
|
Статьи Соросовского Образовательного журнала в текстовом формате
9 класс
ЗАДАЧА 1
Петарда взрывается через 3 секунды после броска. С какой скоростью ее нужно бросить, чтобы она взорвалась в верхней точке траектории на расстоянии не меньше 60 метров от точки броска? Сопротивление воздуха не учитывать, ускорение свободного падения принять равным 10 м/с2.
Вертикальная скорость брошенной петарды должна быть равна 30 м/с (именно в этом случае взрыв произойдет в верхней точке траектории). Высота подъема в этом случае составит 45 м, минимальное смещение по горизонтали x = (602 - 452)0,5 © © 40 м. Горизонтальная скорость составит 40/3 © © 13 м/с, и скорость сразу после броска (302 + + 132)0,5 © 33 м/с. Более точный расчет смысла не имеет - мы округлили значение ускорения свободного падения и пренебрегли при расчете сопротивлением воздуха, а при таких больших скоростях это довольно грубое приближение.
ЗАДАЧА 2
По гладкому горизонтальному столу свободно скользит тонкая прямая однородная палочка длины L. В некоторый момент скорость одного из концов палочки равна V и составляет угол 90? с палочкой, а скорость другого конца по величине равна 2V. За какое время палочка повернется на угол 360? относительно указанного положения? На сколько сдвинется при этом ее центр?
Скорость другого конца палочки должна в этот момент тоже составлять угол 90? с палочкой (длина палочки по условию задачи не изменяется). Нужно отдельно рассматривать два варианта направления этой скорости - она может быть направлена в ту же сторону, что и скорость первого конца палочки, а может иметь противоположное направление. В первом случае центр палочки движется в ту же сторону со скоростью Vц1 = 1,5V, а угловая скорость вращения палочки w1 = 0,5V /0,5L = V / L. В дальнейшем скорость центра масс палочки и угловая скорость не изменятся (стол гладкий) и время полного оборота T1 = 2p / w1 = 2pL / V. Смещение центра S1 = 1,5VT1 = = 3pL. В случае противоположно направленных скоростей концов палочки скорость центра Vц2 = - 0,5V (движется в другую сторону), а угловая скорость вращения палочки w2 = 1,5V /0,5L = 3V / L и время полного оборота T2 = 2p / w2 = 2pL /3V. Смещение центра S2 = - 0,5VT2 = - pL /3.
ЗАДАЧА 3
Блок массы М может свободно вращаться относительно своей оси. Через блок переброшена очень легкая нерастяжимая нить, один конец нити закреплен, к другому привязан груз массы 4М. С какой силой нужно действовать на блок, чтобы его ускорение было направлено вверх и составляло по величине а? Вся масса блока сосредоточена в его оси. Свисающие концы нити вертикальны.
Масса блока сосредоточена в его оси, поэтому силы натяжения свисающих концов нити одинаковы. Обозначим каждую из них Т, тогда для оси блока массы М : F - Mg - 2T = Ma. Для груза 4М (его ускорение вдвое больше, чем ускорение блока) получим: T - 4Mg = 4M " 2a. Решая эту простую систему уравнений, получим F = 9Mg + 17Ma.
ЗАДАЧА 4
В кастрюле находилась порция воды при комнатной температуре. В воду опускают кипятильник мощностью 100 Вт, и вода нагревается на 1 градус за 20 секунд. Еще на 9 градусов вода нагрелась за следующие 4 минуты, а еще на 10 градусов - за следующие 10 минут. Какое количество теплоты ушло в окружающую среду за эти 14 минут 20 секунд? Испарение воды не учитывать.
Скорость нагревания уменьшается с ростом разности температуры воды в кастрюле и комнатной температуры, только в самом начале нагревания можно считать, что вся подведенная энергия идет на увеличение температуры воды. Если бы и дальше не было потерь, то вода за эти 14 минут и 20 секунд (то есть за 860 секунд) нагрелась бы на 43 градуса, получив энергию 86 кДж. С учетом потерь в окружающую среду она нагрелась только на 20 градусов, тогда можно найти величину потерь: 86 " 23/43 = 46 кДж.
ЗАДАЧА 5
Лампочка для фонаря рассчитана на напряжение 2,5 В, ток при этом составляет 0,2 А. В нашем распоряжении мощный источник напряжением 6 В и реостат на 10 Ом (у реостата сделаны выводы от краев обмотки и от "движка", который может контактировать с любым витком, такой прибор часто называют потенциометром). Как присоединить лампочку к источнику, чтобы она горела нормально? Где должен находиться движок реостата?
Не получится просто соединить последовательно лампочку и реостат - максимальное его сопротивление всего 10 Ом и при токе 0,2 А он "погасит" только 10 " 0,2 = 2 В, а нужно погасить не менее 6 - 2,5 = 3,5 В. Ясно, что часть потенциометра должна быть подключена параллельно лампочке, увеличивая ток в цепи, чтобы оставшаяся часть потенциометра могла погасить необходимые 3,5 В. Обозначим сопротивление "параллельной" части х, тогда "последовательная" составит 10 - х. Ток через "параллельную" часть при напряжении 2,5 В составляет 2,5/ х, вместе с током лампочки получится 0,2 + + 2,5/ х. Получим простое уравнение
после преобразований
0,2х2 + 4х - 25 = 0.
Положительный корень х = 5. Это означает, что "движок" потенциометра установлен как раз посредине.
ЗАДАЧА 1
Маленький мячик отпускают без начальной скорости, через время Т он ударяется упруго о гладкую наклонную плоскость, составляющую угол a с горизонтом. Через какое время он ударится об эту плоскость еще раз? Как это время зависит от угла a?
Можно записать уравнения движения мячика, например по горизонтали и вертикали, а затем решить систему уравнений, но в этом случае есть простой способ найти время до следующего удара. Рассмотрим движение мячика вдоль оси, которая перпендикулярна наклонной плоскости - ускорение вдоль этой оси равно проекции ускорения свободного падения. Ясно, что именно движение вдоль этой оси определяет время между ударами, а движение вдоль наклонной плоскости определяет лишь расстояния между точками ударов. Это все равно что отпустить мячик с некоторой высоты на горизонтальную плоскость - время между ударами постоянно и ровно в 2 раза больше времени падения с начальной высоты. Итак, искомое время равно 2Т и не зависит от угла наклона плоскости.
ЗАДАЧА 2
Динамометр состоит из массивной подставки и прикрепленной к ней однородной пружинки очень малой массы. Один крючок динамометра соединен с подставкой, другой - со свободным концом пружинки. Два таких динамометра соединены "последовательно" - сцеплены двумя крючками, а внешние силы приложены к свободным крючкам. Приложим к этим крючкам противоположно направленные силы F и f, при этом динамометры поедут по гладкой горизонтальной плоскости, вытянувшись вдоль направления сил. Считая, что пружинки не касаются витками оснований динамометров, определите показания приборов.
Разберемся вначале с одним динамометром (как и упомянутые в условии задачи, он состоит из легкой пружинки и массивного корпуса). Предположим, что к свободному концу пружинки приложена растягивающая сила f, а к корпусу - сила F в противоположном направлении. Тогда сила натяжения в любом месте легкой пружинки равна f и динамометр покажет именно эту силу. Понятно, что он будет двигаться с ускорением, задаваемым разностью приложенных сил и массой динамометра, однако это не помешает нам снять показания прибора - удлинение пружинки определяется именно силой ее натяжения, а показания динамометра - это именно растяжение пружинки. Интересно, что показания в этом случае не зависят от величины силы, приложенной к корпусу динамометра, однако для выбранной нами грубой модели (вся масса сосредоточена в корпусе, а пружинка совсем легкая) так и должно быть.
Вернемся теперь к случаю двух динамометров. Ясно, что ответ зависит от того, как именно соединены между собой крючки динамометров - тут возможны четыре разных случая. Первый - корпуса соединены между собой, а пружинки торчат наружу, в этом случае динамометры покажут F и f (понятно, какой сколько покажет). Второй - пружинки внутри, корпуса наружу. Тут нужно немного порассуждать: когда пружинки уже растянуты на нужную величину и дальше их длины не меняются, они ничем уже не отличаются от невесомой и нерастяжимой нити. Такую задачу (определить натяжение нити) все решали - натяжение это при равных массах корпусов равно полусумме сил: T = 0,5(F + f ), столько и покажут динамометры. Третий случай: пружинка одного присоединена к корпусу другого, к пружинке приложена сила F. В этом случае первый динамометр покажет F, а второй - полусумму сил 0,5(F + f ). И четвертый случай: все то же, но к пружинке приложена сила f. Тогда первый динамометр покажет f, а второй - полусумму сил.
ЗАДАЧА 3
Поверхность планеты, имеющей такие же размеры, массу и состав атмосферы, как Земля, была полностью покрыта океаном с одинаковыми всюду глубиной 230 м и температурой +10?С. В результате внутренних процессов температура поднялась всюду до +100?С, однако глубина океана осталась прежней. Считая, что размеры твердой части планеты совершенно не изменились при нагревании, определите средний коэффициент объемного расширения воды в указанном диапазоне температур. Площадь поверхности сферы радиуса R составляет S = 4pR 2, объем шара радиуса R можно найти по формуле V = 4pR 3 /3.
При температуре +100?С давление насыщенных паров воды равно 1 атм © 100 000 Па, такое давление создает столб воды высотой 10 метров. При начальной температуре +10?С давление насыщенных паров во много-много раз меньше 1 атм, будем считать, что испарившееся количество воды создает давление 1 атм, тогда испарился слой воды, занимавший до нагревания "верхние" 10 метров океана (толщина атмосферы во много раз меньше радиуса планеты, поэтому при испарении вес этого количества воды не изменился). Итак, при нагревании оставшийся слой толщины 220 м расширился и скомпенсировал испарившийся объем. Коэффициент теплового расширения определяется отношением приращения объема к начальному объему при увеличении температуры на градус, средний коэффициент теплового объемного расширения воды в указанном диапазоне температур:
ЗАДАЧА 4
При компьютерном моделировании смеси газов была выбрана следующая модель: половина "молекул" были шариками диаметра d и массы m, другая половина - шарики диаметра 3d и массы 30m. Средняя кинетическая энергия любого шарика U, шарики движутся хаотически и сталкиваются упруго друг с другом и со стенками "сосуда" объема V (объем сосуда во много раз превышает суммарный объем шариков) - в общем, как в обычной модели разреженного газа. Какое количество соударений с другими шариками испытает в среднем маленький шарик за большой интервал времени Т ? Сколько соударений за это же время испытает большой шарик? Полное число "молекул" в сосуде N.
Если шарики занимают малую часть объема сосуда, то при расчете, скажем, числа ударов маленьких шариков о маленькие можно вообще не учитывать наличия больших шариков - удар маленького шарика о большой только меняет направление движения, оставляя среднюю энергию маленького шарика неизменной. Обозначим буквой u1 "среднюю" величину скорости маленького шарика в промежутках между ударами, за время Т он пролетит "в длину" u1Т и испытает u1Т / l1 ударов с такими же маленькими шариками. Длина свободного пробега находится обычным способом:
В качестве оценки для скорости возьмем среднеквадратическое значение , тогда число ударов маленького шарика о маленькие будет
Число ударов больших шариков о большие можно найти аналогично, заменяя диаметр и массу на новые значения:
Эти оценки получились несколько заниженными - мы не учли, что шарик-мишень тоже движется и при этом число ударов должно увеличиваться (убегающие шарики дают мало соударений, а те, что движутся навстречу, дают за фиксированный интервал времени больше ударов) - эксперимент должен нас поправить. Для ударов маленьких шариков о большие получим
(мы учли "сумму" диаметров маленького и большого шариков), а удары больших о маленькие можно не рассчитывать - их будет столько же. Ясно, что при расчете "в лоб" числа ударов больших о маленькие мы получили бы сильно заниженное значение без учета движения "мишени", а так все получилось хорошо. Итак, маленький шарик за время Т испытает всего N11 + N12 ударов, а большой за то же время ударится N22 + N12 раз.
ЗАДАЧА 5
Найти показания амперметров в схеме на рисунке. Какой ток течет через батарейку? Сопротивления всех резисторов одинаковы - по 1 кОм. Напряжение батарейки составляет 6 В.
Это совсем простая задача. Уберем из схемы амперметры - ясно, что точки подключения выводов каждого из приборов имеют одинаковые потенциалы (это особенно хорошо понятно из симметрии) и при подключении амперметров токи через них не потекут. Полное сопротивление цепи - с амперметрами или без них - равно 1 кОм, ток через батарейку 6 мА.
ЗАДАЧА 1
Небольшое тело бросают параллельно поверхности Земли с высоты 1 км. Найти время полета тела до падения на Землю, если ему придали при броске скорость на 1% меньше первой космической. На каком расстоянии от места броска находится точка падения на Землю? Можно считать Землю идеальным шаром, на котором нет атмосферы.
Будем считать, что тело движется по круговой орбите с практически неизменной скоростью - это разумное упрощение, учитывая очень малое изменение расстояния до центра Земли. Выберем очень малый интервал времени t и вычислим уменьшение расстояния от тела до центра Земли за это время. Тело "падает" с ускорением g и смещается "вбок" со скоростью V = 0,99V1 (V1 - первая космическая скорость). Если бы мы бросали тело, придавая ему первую космическую скорость, то в результате оно вовсе не приближалось бы к центру и не удалялось от него. В нашем случае квадрат нового расстояния до центра составит
(R - 0,5gt2)2 + (Vt)2 = R 2 - Rgt2 + 0,25g2t4 + (0,99V1t)2.
После очевидных пренебрежений - с учетом малости интервала времени, а также с учетом известного соотношения для первой космической скорости
получим изменение расстояния до центра Земли
DR = 0,5gt2(1 - 0,992).
Видно, что движение "вниз" - это просто равноускоренное движение, ускорение при этом а = = 0,02g. Время падения с этим ускорением с высоты Н = 1000 метров составляет © 100 секунд. При этом тело пролетит вдоль окружности примерно 800 километров.
ЗАДАЧА 2
На какой высоте над Землей находится центр тяжести столба воздуха, "нависающего" над стадионом "Лужники"? Когда он расположен выше - летом или зимой? При расчете можно считать, что температура воздуха на любой высоте равна температуре земной поверхности.
Проведем несложный расчет. Пусть вначале температура газа была очень мала (около нуля по шкале Кельвина), при этом вся атмосфера просто "лежит" на поверхности шара и высота центра тяжести такого низкого столба воздуха равна нулю. Передадим теперь воздуху некоторое количество теплоты - воздух станет нагреваться и расширяться, причем каждая порция воздуха расширяется при своем неизменном давлении; это давление создается весом внешних для нашей порции слоев воздуха (нужно заметить, что толщина атмосферы во много раз меньше радиуса планеты и уменьшением ускорения свободного падения с высотой вполне можно пренебречь). При таких условиях определенная часть переданного тепла идет на повышение внутренней энергии воздуха, а остальное - на совершение механической работы, в данном случае на поднятие центра тяжести. Для моля газа
Q = A + DU = Cp " DT = (R + Cv) " DT.
В нашем случае температура увеличивается на Т, а работа одного моля газа при расширении А = RT. Для упомянутого в условии задачи столба воздуха можно записать: работа A = nMgH = nRT (здесь М - масса моля воздуха, Н - высота центра тяжести, n - число молей в указанном "столбе"). Из этого соотношения легко находим H = RT / Mg. Для летней температуры Т1 = 300 К получим: Н1 = 8,3 i i 300/(0,029 " 10) © 8,6 км. Для зимней температуры Т2 = 250 К будет Н2 © 7,2 км.
ЗАДАЧА 3
Конденсаторы 100 и 200 мкФ соединены параллельно при помощи проводов, имеющих различные сопротивления - от конденсатора меньшей емкости к точкам соединения ведут провода, имеющие общее сопротивление 1 Ом, а от второго конденсатора - сопротивлением 3 Ом. К точкам соединения конденсаторов подключили параллельно резистор, имеющий сопротивление 10 кОм, и батарейку напряжением 10 В. После того как конденсаторы зарядились, батарейку отключили. Какое количество теплоты выделилось после отключения батарейки в сопротивлениях проводов, при помощи которых конденсаторы подключены к резистору большого сопротивления?
При разряде конденсаторов после отключения батарейки через резистор большого сопротивления R (и через сопротивления проводов r1 и r2) токи, текущие по проводам, не больше тока через резистор - в нем токи суммируются. Сопротивления проводов во много раз меньше R, токи в проводах невелики, поэтому мы можем считать напряжения конденсаторов практически одинаковыми в любой момент - это означает, что ток разряда конденсатора емкости 200 мкФ в любой момент должен быть вдвое больше тока разряда конденсатора 100 мкФ. Обозначим ток разряда меньшего конденсатора I, тогда ток через второй конденсатор 2I, а ток через R равен 3I. Отношение тепловой мощности в сопротивлении проводов 1 Ом к мощности в резисторе R (практически к полной мощности) составит 1 : 90 000. То же для сопротивления 3 Ом - 12 : 90 000. Полное количество теплоты в системе равно суммарной энергии конденсаторов к моменту отключения батарейки:
Дж.
Тогда в сопротивлениях проводов выделится W1 = = 0,015/90 000 © 1/6 мкДж и W2 = 12 " 0,015/90 000 = = 2 мкДж, всего в проводах выделится 13/6 мкДж.
ЗАДАЧА 4
Катушка индуктивности содержит N витков, намотанных на цилиндрический каркас из бумаги ("немагнитный" материал) диаметра D. Витков очень много, и они намотаны очень близко друг к другу - расстояние между самыми удаленными друг от друга витками во много раз меньше диаметра витка. Индуктивность этой катушки L. Вторая катушка намотана на такой же каркас и содержит вдвое больше витков - ее индуктивность при этом в 4 раза больше. Катушки соединены параллельно, к ним параллельно подключен конденсатор большой емкости С. К первой катушке быстро подносят магнит, в контуре возникают медленно затухающие колебания. Максимальное значение заряда конденсатора при этом оказывается равным Q. После затухания колебаний быстро передвинем магнит ко второй катушке (так, чтобы он занял относительно нее такое же положение, какое имел относительно первой катушки). Каким теперь будет максимальное значение заряда конденсатора? Считать элементы контура идеальными, а сопротивление соединяющих проводов очень малым (но не нулевым). Катушки расположены вдали друг от друга.
Обозначим буквой F поток, создаваемый поднесенным к первой катушке магнитом, если поднести описанным в условии способом магнит ко второй катушке, содержащей вдвое большее количество витков, получится вдвое больший поток. Сразу после того, как мы поднесли магнит к первой катушке, в ней возник ток I1 = F / L. Далее этот ток начнет уменьшаться, одновременно будет увеличиваться ток через вторую катушку и возрастать заряд конденсатора. Максимальный заряд конденсатора получится в момент компенсации токов катушек - в этот момент ток течет только в контуре из катушек, а в подключенных к конденсатору проводах ток в этот момент обращается в нуль. Э.д.с. индукции катушек в любой момент одинаковы - изменения токов катушек оказываются при этом обратно пропорциональными индуктивностям, в катушке с индуктивностью 4L ток возрастает вчетверо медленнее, чем убывает в катушке L. Ясно, что "равновесие" наступит при токе в контуре J1 = I1 /5. В условии сказано, что колебания затухают медленно, будем считать потери энергии контура за часть первого периода колебаний пренебрежимо малыми, по закону сохранения энергии для максимального значения заряда конденсатора Q1 можно записать:
Сразу после того, как мы перенесем магнит к другой катушке, ток через первую станет равным - I1 (направление тока противоположно!), а через вторую I2 = 2F /4L = 0,5I1 . Ясно, что тут возможны два случая - в зависимости от варианта подключения катушек токи эти могут либо течь "в одном направлении", суммируясь в точках подключения конденсатора, либо один ток будет вычитаться из другого. Повторяя те же рассуждения для э.д.с. и индуктивностей, получим для кольцевого тока J2 = = 0,2I1(2 ? 1). Далее опять воспользуемся законом сохранения энергии:
Отсюда мы получим два значения для максимального заряда конденсатора: Q /2 и 3Q /2.
ЗАДАЧА 5
Цепь из двух одинаковых конденсаторов по 10 мкФ и двух резисторов по 1 кОм подключена к источнику переменного напряжения 220 В, 50 Гц. Что покажет вольтметр, подключенный между точками А и Б ? А если вместо вольтметра подключить амперметр, какой ток он покажет? А что, если подключить в цепь ваттметр - высокоомную его обмотку (обмотку напряжения) - непосредственно к сети 220 В, а низкоомную (токовую) - между точками А и Б, что он покажет?
Вольтметр покажет 220 В - его показания равны разности напряжений конденсатора и резистора (с учетом фазового сдвига 90?), сумма таких двух напряжений равна напряжению сети 220 В, а при таком фазовом сдвиге сумма и разность векторов равны по величине (это получается только при одинаковых парах элементов в цепи - мы прибавляем к напряжению на резисторе напряжение одного из конденсаторов, а вычитаем напряжение другого конденсатора). С амперметром немного сложнее - считая его сопротивление очень малым, получаем два одинаковых "блока" резистор-конденсатор, соединенных последовательно. Напряжения на каждой из пар равны половине напряжения сети, тогда ток любого резистора равен 110/1000 = 0,11 А. Ток конденсатора найдем, воспользовавшись величиной его "реактивного" сопротивления Х = (2pfC)-1 = 318 Ом, он составляет 110/318 © 0,35 А. С учетом сдвига фаз найдем ток через амперметр: = = 0,36 А. Показания ваттметра определяются средним по времени значением произведения тока низкоомной обмотки, включенной как амперметр ("действующее" значение этого тока Ia © 0,36 A), и напряжения высокоомной обмотки ("действующее" значение 220 B). В нашем случае токи резисторов совпадают по фазе с напряжением сети, ток низкоомной обмотки сдвинут по фазе на угол j = = arccos (IR / Ia). Тогда среднее значение произведения напряжения и тока 220Ia cos j = 220 " 110/1000 = = 24,2 Вт.
Авторы задач А. Зильберман, С. Варламов,
А. Чувиков.
