|
|
Статьи Соросовского Образовательного журнала в текстовом формате
Описаны основные понятия теории изгибаний поверхностей евклидова пространства. Приведено гильбертово доказательство однозначной определенности сферы. Доказано, что поверхности постоянной гауссовой кривизны с краем допускают непрерывные изгибания.
ИЗГИБАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙВ. Т. ФОМЕНКО
Таганрогский государственный педагогический институт
ВВЕДЕНИЕ
В школьном курсе стереометрии изучаются такие регулярные поверхности, как плоскости, сферы, цилиндры, конусы, а также поверхности, составленные из их кусков, например многогранники. Вопросам изгибания многогранников посвящена статья [1]. Предметом нашего рассмотрения будут изгибания регулярных поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве E 3, в частности изгибания сферических, цилиндрических и конических поверхностей.
Поверхности S1 и S2 будут называться изометричными, если существует взаимно однозначное отображение поверхности S1 на поверхность S2 , при котором соответствующие кривые на этих поверхностях имеют одинаковые длины. Если для поверхности S любая изометричная ей поверхность из некоторого класса поверхностей в E 3 получена движением (в том числе и зеркальным отражением) S, то говорят, что S однозначно определена в этом классе поверхностей.
Непрерывная деформация St поверхности S называется изгибанием поверхности S, если она содержит исходную поверхность и если в процессе этой деформации поверхности St для любого значения t остаются изометричными поверхности S. Поверхность S называется неизгибаемой, если все ее изгибания сводятся к движению S в пространстве E 3.
Поверхности S1 и S2 называют наложимыми друг на друга, если их можно соединить изгибанием St , 0 # t # 1.
Проблема изгибаний поверхностей заключается в отыскании в указанном классе всех поверхностей, изометричных рассматриваемой, в частности в ответе на вопрос, при каких условиях заданная поверхность допускает изгибания либо является неизгибаемой.
Обратимся к жизненному опыту. Представим себе поверхность в виде тонкой пленки или оболочки, изготовленной из гибкого нерастяжимого материала, толщиной которой можно пренебречь по сравнению с другими ее линейными размерами (длиной, шириной), например лист бумаги либо шарик для игры в настольный теннис. Если последний слегка сдавить, то форма шарика останется неизменной, то есть можно предположить, что этот шарик неизгибаем. При более сильном сжатии у шарика возникнут вдавливания, которые можно описать следующим образом. Пусть S - сфера единичного радиуса с центром на оси Oz в пространстве E 3, проходящая через начало координат. Рассмотрим плоскость p, заданную уравнением z = t, где t - фиксированное число из промежутка [0, 1], и разбивающую поверхность S на две части F1 и F2 . Пусть - зеркальное относительно плоскости p отражение F1 . Тогда замкнутая поверхность St , составленная из куска F2 и поверхности , изометрична поверхности S. Изометрическое соответствие состоит в сопоставлении каждой точке Р поверхности S, принадлежащей F2 , совпадающей с ней точки поверхности Ft , а точке Р, принадлежащей F1 , - точки Р *, являющейся зеркальным изображением точки Р относительно плоскости p. Поверхности S и St заведомо неравны, ибо не существует такого движения или движения и зеркального отражения на всей поверхности S (а не отдельных ее частей), которые совместили бы ее с поверхностью St . Заметим, что при непрерываемом изменении t указанный процесс построения изометрической поверхности описывает непрерывные изгибания поверхности S в классе непрерывных поверхностей (рис. 1). Это означает, что при сильном нажатии на шарик для игры в настольный теннис он будет допускать изгибания с появлением на нем линии нарушения гладкости, которая будет перемещаться по поверхности в процессе изгибания.
Рассмотрим еще примеры. Лист бумаги можно наложить на поверхность круглого цилиндра, а сферический сегмент можно легко изогнуть в веретенообразную поверхность, напоминающую по форме поверхность волчка (рис. 2, 3). Это наблюдение дает основание предположить, что поверхности с краем допускают изгибания в том же классе регулярности, что и исходные поверхности. Ниже дадим аналитические доказательства этих предложений и укажем некоторые основные результаты теории изгибаний поверхностей и нерешенные задачи.
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Будем считать, что поверхность S задана векторным уравнением , (u, u) k $, где $ - некоторая область параметрической плоскости (u, u); - трижды непрерывно дифференцируемая функция, такая, что где
Определим первую квадратичную форму поверхности по формуле
I = E du2 + 2F du du + G du2,
где
По геометрическому смыслу форма I совпадает с квадратом элемента длины ds дуги кривой на поверхности, проведенной в направлении {du : du}. Поэтому форму I часто называют метрической. Поверхности изометричны тогда и только тогда, когда они могут быть параметризированы так, что их метрические формы совпадают.
Важную роль в теории поверхностей играет вторая квадратичная форма поверхности, определяемая формулой
II = L du2 + 2M du du + N du2,
где
- единичный вектор нормали поверхности. Геометрический смысл формы II заключается в том, что она характеризует отклонение поверхности от касательной плоскости в направлении {du : du}.
Величина kn = II / I - нормальная кривизна поверхности - либо не зависит от выбора направления в данной точке (и тогда точка называется омбилической), либо достигает своего наибольшего и наименьшего значений k1 и k2 по двум ортогональным направлениям - главным направлениям. Величина K = k1 " k2 называется гауссовой кривизной и вычисляется по формуле
Два семейства кривых на поверхности, каждая кривая из которых в каждой своей точке касается главного направления, называют линиями кривизны. Известно, что поверхности можно параметризировать так, чтобы линии кривизны играли роль координатных линий. В этом и только этом случае имеем F = М = 0.
Так как по предположению вектор-функция является трижды непрерывно дифференцируемой, то выполняются равенства
Отсюда следует, что коэффициенты первой и второй квадратичных форм связаны между собой соотношениями
Уравнения (1) называют основными уравнениями теории поверхностей; первое из них - уравнение Гаусса, два других - уравнения Петерсона-Кодацци.
ОДНОЗНАЧНАЯ ОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ЗАМКНУТЫХ ВЫПУКЛЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Изложенные факты теории поверхностей оказываются достаточными для того, чтобы привести здесь в доступной форме принадлежащее Д. Гильберту доказательство следующего утверждения.
Теорема. В классе трижды непрерывно дифференцируемых поверхностей в E 3 сфера является однозначно определенной.
Пусть S * - замкнутая поверхность, изометричная сфере S единичного радиуса. Так как на S имеем K ╞ 1, то на поверхности S * справедливо соотношение k1k2 ╞ 1, где k1 , k2 - главные кривизны поверхности S *.
Если в каждой точке поверхности S * обе главные кривизны равны единице, то все точки поверхности S * являются омбилическими и поэтому S * будет сферой. Пусть на S * существуют точки, в которых одна главная кривизна будет больше единицы, например k1 = k > 1, а другая главная кривизна будет меньше единицы: k2 = < 1.
Воспользуемся теоремой из курса математического анализа, утверждающей, что всякая непрерывная функция точки на любой замкнутой поверхности в некоторой точке принимает свое максимальное значение.
Так как S * является замкнутой поверхностью, то на S * существует точка Р, в которой большая из главных кривизн k1 достигает своего максимального значения k1 = k0 > 1. Точка Р не является омбилической, и поэтому в окрестности этой точки поверхность S * можно параметризировать, приняв линии кривизны в качестве координатных линий. Тогда в окрестности точки Р имеем F = М = 0 и имеют место уравнения (1). Так как L = kE, N = G, то систему (1) можно записать в виде
Так как в точке Р величина k достигает своего максимального значения k = k0 > 1, то в точке Р имеем ku = ku = 0, kuu # 0, kuu # 0. Из второго и третьего уравнений системы (2) в точке Р находим
Но тогда из первого уравнения системы (2) получаем что невозможно. Следовательно, S * также является сферой, что и доказывает теорему.
Полное решение проблемы об однозначной определенности выпуклых поверхностей было дано А.В. Погореловым [2], который показал, что замкнутые изометричные выпуклые поверхности равны. Таким образом, теоремой А.В. Погорелова полностью решена проблема изометрических преобразований выпуклых замкнутых поверхностей в классе выпуклых замкнутых поверхностей. Д. Нэш показал, что в классе замкнутых непрерывно дифференцируемых поверхностей сфера допускает непрерывные изгибания. Однако до сих пор остается вопрос, может ли замкнутая трижды непрерывно дифференцируемая поверхность допускать непрерывные изгибания в классе замкнутых поверхностей той же гладкости. Обзор работ по изгибаниям поверхностей содержится в [3].
ИЗГИБАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ С КРАЕМ
К настоящему времени известно, что поверхности с краем ведут себя по отношению к изгибаниям по-разному. Наиболее общий результат получен А.В. Погореловым [2], установившим, что изометричные выпуклые поверхности с краем, имеющие полную кривизну , равны между собой. Если же из замкнутой выпуклой поверхности удалить область положительной кривизны K > 0, то полученная поверхность не будет однозначно определенной. Н.В. Ефимов доказал существование аналитических поверхностей, любая окрестность которых для некоторой точки является неизгибаемой. Известно также [3], что любая односвязная трижды непрерывно дифференцируемая поверхность положительной гауссовой кривизны K $ c0 > 0 с достаточно гладким краем допускает непрерывные изгибания, при этом приращение кривизны края имеет по крайней мере четыре перемены знака. Для решения задач теории изгибаний поверхности привлекаются методы дифференциальных уравнений, функционального анализа и топологии.
Ниже элементарными рассуждениями покажем, что односвязные куски не слишком больших размеров поверхностей K ╞ const допускают непрерывные изгибания. Напомним некоторые понятия внутренней геометрии теории поверхностей.
Длина кривой +, заданной на поверхности уравнениями +: u = u(t), u = u(t), t k [t1 , t2], вычисляется по формуле
Среди кривых, соединяющих точки М1 и М2 на поверхности, существует кривая наименьшей длины - кратчайшая между точками М1 и М2 . Линия на поверхности называется геодезической, если она является локально кратчайшей, то есть в окрестности каждой своей точки она является кратчайшей. Геодезические линии играют во внутренней геометрии поверхности ту же роль, что и прямые в геометрии Евклида на плоскости. Через каждую точку достаточно гладкой поверхности в любом заданном направлении всегда можно провести единственную геодезическую. Введем на поверхности координаты, обобщающие декартовы прямоугольные координаты на плоскости в E 3. Возьмем некоторую точку О на поверхности S и назовем ее началом координат. Зададим в точке О на поверхности некоторое направление l. Проведем через точку О в направлении l геодезическую +0 , которую назовем линией u = 0, и определим на +0 направление обхода. Каждая точка Р на кривой +0 однозначно определяется длиной u дуги , взятой со знаком плюс, если направление дуги совпадает с направлением обхода +0 , и со знаком минус в противном случае. Через каждую точку Р кривой +0 ортогонально к +0 проведем геодезическую +. Ориентируем кривую + и будем считать, что ориентация + непрерывно зависит от точки Р. Будем считать, что геодезические + для различных точек Р на +0 не пересекаются между собой. Тогда каждая точка М поверхности, через которую проходит одна из геодезических +, может быть однозначно определена длиной дуги , взятой со знаком плюс или минус. Пара (u, u) однозначно определяет точку М на поверхности S и наоборот, то есть их можно считать координатами на поверхности. Построенную параметризацию будем называть специальными полугеодезическими координатами на поверхности. Известно, что координаты (u, u) на поверхности S будут специальными полугеодезическими координатами тогда и только тогда, когда метрическая форма поверхности имеет вид ds2 = du2 + G du2, где G > 0; G(0, u) = 1, Gu(0, u) = = 0, (u, u) k $, $ - некоторая область параметрической плоскости (u, u). Используя уравнение Гаусса и формулу для вычисления гауссовой кривизны нетрудно получить выражение для вычисления гауссовой кривизны в полугеодезических координатах
Найдем метрическую форму поверхности постоянной гауссовой кривизны K = const в специальных полугеодезических координатах.
Пусть K = a2 > 0. Тогда, полагая для нахождения y имеем задачу Коши:
Легко видеть, что решение этой задачи имеет вид y = cos au.
Пусть K = - a2 < 0. Тогда для функции имеет место задача Коши
Решение этой задачи имеет вид y = ch au, где через ch обозначен гиперболический косинус.
Наконец в случае K ╞ 0 находим, что Таким образом, метрическая форма поверхности постоянной гауссовой кривизны в специальных полугеодезических координатах имеет вид
где параметры (u, u) изменяются в некоторой области $ плоскости (u, u).
Из сказанного вытекает следующая
Теорема. Все поверхности одинаковой постоянной гауссовой кривизны K, которые допускают специальную полугеодезическую параметризацию (u, u), (u, u) k $, где $ - некоторая плоская область, изометричны между собой. Более того, если S1 и S2 - поверхности постоянной гауссовой кривизны K, Р1 и Р2 - произвольные точки на этих поверхностях, l1 и l2 - произвольные направления в этих точках, то существует изометрическое отображение окрестности точки Р1 поверхности S1 на окрестность точки Р2 поверхности S2 , при котором направлению l1 поверхности S1 в точке Р1 соответствует направление l2 на поверхности S2 в точке Р2 .
Укажем теперь некоторые поверхности постоянной гауссовой кривизны, отличные от сферы. С этой целью будем отыскивать поверхности вращения постоянной гауссовой кривизны.
Поверхностью вращения называют поверхность, образованную вращением некоторой лежащей в плоскости p кривой + вокруг прямолинейной оси, принадлежащей плоскости p. Кривую + называют меридианом поверхности вращения. Если в пространстве E 3 ввести прямоугольные декартовы координаты Oxyz так, чтобы начало О лежало на оси вращения, а ось Oz совпадала с осью вращения, то уравнения поверхности вращения можно записать в виде
x = j(u) cos u,
y = j(u) sin u,
z = u,
где для определенности можно считать, что u принадлежит некоторому числовому отрезку (u1 , u2), а u изменяется от 0 до 2p. Функция r = j(z) определяет форму меридиана в плоскости p с координатами Orz. Используя приведенные выше формулы легко подсчитать гауссову кривизну поверхности вращения. Имеем Считая, что величина K = const задана, отсюда интегрированием находим где t - произвольная постоянная. Находя и замечая, что получаем в квадратурах уравнение меридиана
где r0 - значение радиуса параллели поверхности вращения при z = 0. Изменение r0 влечет за собой сдвиг поверхности вращения вдоль оси Oz. Отметим, что при K = a2 > 0 и при t = 0 уравнение (3) изображает окружность, а соответствующая поверхность вращения есть сфера радиуса a-1. При заданном значении K ╞ const изменение параметра t влечет за собой непрерывную деформацию поверхности вращения (рис. 3). Все полученные в процессе деформации поверхности локально изометричны и локально наложимы друг на друга. Этим доказано, в частности, что кусок единичной сферы меньше полусферы допускает непрерывные изгибания.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Многие вопросы теории изгибаний поверхностей с краем до сих пор остаются нерешенными. В качестве примера сформулируем задачу, поставленную С.Э. Конфоссеном еще в 1936 году: найти зависимость между размерами заданного куска сферы и его изгибаемостью. В частности, можно ли изогнуть кусок сферы с двумя отмеченными точками таким образом, чтобы пространственное расстояние между ними уменьшилось в 2 раза?
Ряд задач, многие из которых до сих пор полностью еще не решены, приводится в [2]. Одну из них можно сформулировать следующим образом: пусть в пространстве E 3 даны поверхность S с краем ?S и некоторая поверхность S; спрашивается, можно ли поверхность S изогнуть в пространстве E 3 таким образом, чтобы край ?S целиком лежал на поверхности S?
ЛИТЕРАТУРА
1. Александров В.А. Изгибаемые многогранные поверхности // Соросовский Образовательный Журнал. 1997. ╧ 5. С. 112-117.
2. Погорелов А.В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. М.: Наука, 1969. 760 с.
3. Иванова-Каратопраклиева И., Сабитов И.Х. Изгибание поверхностей // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. 1991. Т. 23. С. 121-184.
* * *
Валентин Трофимович Фоменко, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой алгебры и геометрии Таганрогского государственного педагогического института, член-корреспондент Российской академии естествознания, заслуженный деятель науки Российской Федерации. Область научных интересов: геометрия, дифференциальные и интегральные уравнения. Автор и соавтор более 150 научных работ, одной монографии и четырех учебных пособий для студентов.
