|
|
Статьи Соросовского Образовательного журнала в текстовом формате
Обсуждаются основные понятия теории меры и интеграла.
О ТЕОРИИ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛЕА. Г. БАСКАКОВ
Воронежский государственный университет
Проблема измерения величин областей на плоскости и в трехмерном пространстве, состоящая в приписывании этим областям чисел, выражающих их площади и объемы, восходит к истокам математики. Первые понятия длины, площади и объема появились в самых ранних математических работах вавилонян, египтян, греков и во многом определили дальнейшее развитие математики. С помощью интегрального исчисления, берущего начало в некоторых исследованиях Архимеда, удается перенести теорию измерений на более широкий класс областей, ограниченных кривыми линиями и искривленными поверхностями. К сожалению, это интегральное исчисление позволяет производить вычисления для достаточно хороших множеств. Оно не дает возможности измерить множества более сложной природы. Например, с его помощью нельзя измерить площадь множества точек плоскости (x, y), имеющих рациональные координаты, заключенные между 0 и 1. Впрочем, такой вопрос и не поднимался. Однако в конце XIX века возникли задачи, для решения которых понадобилось приписывать численную меру более широкому классу множеств. Например, такие задачи появились в связи с исследованием множеств сходимости тригонометрических рядов. Именно, занимаясь такими множествами, немецкий математик Георг Кантор и создал основы теории множеств. В свою очередь, приобщение математиков к теории множеств способствовало созданию современной теории меры.
В статье принят аксиоматический подход при изложении элементов теории меры. В частности, определяется пространство с мерой и для достаточно широкого класса функций определяется интеграл. Приводятся приложения к теории вероятностей. Цель статьи - дать некоторое представление о теории меры и более современном способе построения интеграла.
МЕРА
Определение меры состоит в приписывании некоторым (измеримым) множествам числа так, чтобы выполнялись некоторые естественные условия, имеющие место при определении длины, площади и объема. Для определения меры рассмотрим непустое множество X, природа элементов которого может быть совершенно произвольна (отметим здесь замечательную особенность математики оперировать объектами, не определяя их). Например, X может быть отрезком, плоскостью, множеством автомобилей и т.д.
Непустое семейство ^ подмножеств множества X называется s-алгеброй, если выполняются следующие условия:
1) пустое множество и само множество X содержатся в ^;
2) объединение A1 > A2 > _, то есть множество, состоящее из элементов всех множеств A1 , A2 , _, входит в ^ при условии, что Ak k ^ при всех k $ 1;
3) дополнение X \ A, то есть множество, состоящее из всех элементов множества X, которые не принадлежат A, принадлежит ^ для любого A k ^.
Подмножества из X, входящие в семейство ^, называются измеримыми.
Если каждому измеримому множеству E поставлено в соответствие число m(E ), возможно и ?, то есть задано отображение m: ^ R > {?}, со свойствами: 1) m(E ) $ 0, E k ^; 2) m(A1 > A2 > _) = m(A1) + + m(A2) + _, где множества Ai , i $ 1, измеримы и взаимно не пересекаются, то есть Ai < Aj = при i ? j, то говорят, что на ^ задана мера m.
Тройка (X, ^, m), то есть непустое множество X, выделенная s-алгебра ^ измеримых подмножеств множества X и мера m: ^ R > {?}, называется пространством с мерой.
Рассмотрим примеры мер (пространств с мерой).
Пример 1. Мера Лебега. Пусть X = R = (- ?, + ?). Построим s-алгебру ^ измеримых (по Лебегу) множеств из R и меру Лебега l : ^ R > {?} следующим образом. Любой интервал E = (a, b) включим в ^ и его длиной назовем число l(E ) = b - a. Любое открытое множество G ? R, то есть множество, представимое в виде объединения G = (a1 , b1) > (a2 , b2) > _ конечного или бесконечного числа взаимно непересекающихся интервалов, включим в ^ и положим l(G ) = (b1 - a1) + (b2 - a2) + _ Теперь рассмотрим произвольное подмножество E из R. Его внешней длиной l*(E ) назовем число l*(E ) = inf l(G ), где точная нижняя грань берется по всем открытым множествам G из R, содержащим E. Если E ограничено (то есть E содержится в некотором отрезке [a, b]) и замкнуто (то есть [a, b]\ E - открытое множество), то нижней длиной множества E назовем число l*(E ) = b - a - l*([a, b]\ E ). Для произвольного множества F из R положим l*(F ) = sup l(E ), где точная верхняя грань берется по всем замкнутым ограниченным множествам, содержащимся в F.
Множество E из R назовем измеримым (по Лебегу) и включим его в ^, если l*(E ) = l*(E ). Это общее число обозначим l(E ) и назовем длиной множества E (или мерой Лебега множества E ).
Теорема 1. Имеют место следующие утверждения:
1) ^ есть s-алгебра;
2) l : ^ R > {?} является мерой;
3) l(E + h) = l(E ), E k ^, то есть для любого измеримого множества E его сдвиг на любое число h k R является измеримым множеством и его длина совпадает с длиной множества E.
Множество Y назовем счетным, если его элементы можно записать в виде последовательности y1 , y2 , _
Непосредственно из определения меры Лебега следует, что длина любого одноточечного множества равна нулю и поэтому (ввиду свойств измеримых множеств и меры) измеримыми являются конечные и счетные множества, а их длина равна нулю. Например, множество рациональных чисел Q счетно [1] и поэтому измеримо, l(Q) = 0.
Важно отметить, что не только счетные множества из R имеют нулевую меру Лебега. Примером измеримого несчетного множества, имеющего нулевую меру Лебега, является канторово множество K из отрезка [0, 1], которое строится следующим образом: оно состоит из всех чисел отрезка [0, 1], которые можно записать в виде троичной дроби, не используя цифру 1. Это множество K можно построить выбрасывая из отрезка [0, 1] открытый интервал (1/3, 2/3), являющийся средней частью отрезка. Затем выбрасываются открытые части у каждого из отрезков [0, 1/3], [2/3, 1] (то есть интервалы (1/9, 2/9), (7/9, 8/9)) и т.д. Оставшееся множество и есть множество K. Просуммировав сумму длин, оставшихся на n-м шаге, получим, что она равна (2/3)n. Поэтому
При построении мер Лебега на плоскости и в трехмерном пространстве, обобщающих понятие площади и объема, можно следовать схеме построения меры Лебега на s-алгебре ^ из R (см. пример 1) с использованием вместо интервалов таких элементарных множеств, как квадраты и кубы. Полученная таким образом мера также называется мерой Лебега (подробное построение таких мер см. в [1]).
Пример 2. Мера Дирака. Рассмотрим произвольное множество X и выделим некоторую точку x0 из X. Пусть ^ - всевозможные подмножества из X. Ясно, что они образуют s-алгебру. Определим отображение m0: ^ R соотношениями
Легко видеть, что m0-мера (проверьте!) называется мерой Дирака, сосредоточенной в точке x0 .
НЕИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА
Если в примере 2 любое подмножество из X является измеримым, то не всякое подмножество из R является измеримым по Лебегу. Неизмеримое множество построим не на прямой, а на окружности S длины 1; существо дела от этого не меняется. При этом следует заметить, что приведенный в примере 1 способ построения меры Лебега переносится на окружность, причем указанное в теореме 1 свойство 3 будет теперь означать равноизмеримость конгруэнтных множеств из S и совпадение их длин.
Приступим к построению измеримого множества из окружности S, которое называется множеством Витали. Пусть a - некоторое иррациональное число. Отнесем к одному множеству Sa те точки окружности S, которые могут быть переведены одна в другую поворотом окружности на угол nap, n - целое число. Это множество Sa будет счетным. Выберем теперь из каждого такого множества ровно по одному элементу и образуем из них множество из S, которое обозначим E0 . Докажем, что оно неизмеримо по Лебегу. Через En обозначим множество тех точек из S, которые получены из E0 поворотом на угол nap. Легко видеть, что все множества En взаимно не пересекаются, а их объединение совпадает с окружностью S. Если бы множество E0 было измеримо, то все конгруэнтные ему множества En также измеримы и, следовательно, все их длины совпадают. В силу свойства 2 мер получаем, что
Такое равенство невозможно. Поэтому E0 - неизмеримое множество.
При построении неизмеримого множества E0 использовался неконструктивный прием, когда выбиралось по одному элементу из множеств Sa , которые определены слишком неявно. Узаконить такую процедуру построения новых множеств предложил Эрнест Цермело, сформулировав следующую аксиому теории множеств (называемую аксиомой выбора).
Если дана некоторая совокупность C множеств, то можно образовать множество E взяв по одному элементу из каждого множества совокупности.
Эта аксиома, хотя и выглядит вполне естественно, стала предметом острых дискуссий, так как некоторые ее следствия кажутся парадоксальными. Например, С. Банах и А. Тарский доказали, что сферы S1 и S2 различных радиусов можно представить в виде попарно непересекающихся множеств:
S1 = A1 > A2 > _ > An ,
S2 = B1 > B2 > _ > Bn ,
где множество Ak конгруэнтно множеству Bk при любом k = 1, 2, _, n. Этим частям сфер нельзя приписать никакую меру (площадь), иначе, составляя их вместе одним способом, получим одну большую сферу, а используя другое разбиение - меньшую.
ИНТЕГРАЛ
Классический подход построения определенного интеграла (интеграла Коши-Римана) от функции f, определенной на отрезке [a, b], основан на понятии нижней и верхней сумм Дарбу. Они строятся по заданному разбиению отрезка a = x0 < x1 < _ _ < xn = b и записываются соответственно в виде
где Dxi = xi - xi - 1 , i = 1, 2, _, n, и
При этом функция f называется интегрируемой, если при неограниченном измельчении отрезка [a, b] точками x0 , _, xn (то есть при стремлении к нулю длины наибольшего из отрезков разбиения) выполняется равенство . Общее значение этих пределов называется интегралом Коши-Римана и обозначается символом .
Если следовать геометрической трактовке интеграла как площади фигуры, заключенной между графиком интегрируемой функции и осью абсцисс, то описанный выше способ построения интеграла можно рассматривать как один из способов построения площади фигуры. Из определения интеграла Коши-Римана видно, что оно плохо учитывает те или иные особенности функции. В качестве примера рассмотрим функцию Дирихле c: [0, 1] R, которая определяется по правилу
Поскольку для любого разбиения 0 = x0 < x1 < _ _ < xn = 1 отрезка [0, 1] имеют место равенства mi = 0, Mi = 1, i = 1, 2, _, n, то sn = 0 и Sn = Dx1 + _ + Dxn = 1. Отсюда следует, что последовательности (sn) и (Sn) не имеют общего предела, поэтому функция c неинтегрируема (по Коши-Риману). К тому же площадью фигуры, заключенной между графиком функции Дирихле и осью абсцисс, естественно считать произведение длины множества рациональных чисел, расположенных на отрезке [0, 1], на единицу, то есть нулевое число.
Современная теория интеграла учитывает недостатки классической теории и основана на разбиении не области определения функции, а ее области значений. Такой подход потребовал привлечения теории меры. Ниже приводится конструкция построения интеграла по произвольной мере.
Пусть (X, ^, m) - пространство с мерой и E - измеримое множество из X конечной меры m(E ). Функцию f : E R назовем ступенчатой, если множество E можно представить в виде E = E1 > _ _ > En объединения взаимно непересекающихся измеримых множеств E1 , _, En , на каждом из которых функция f принимает постоянное значение. Если f (x) = ai , x k Ei , то интегралом от функции f по мере m называется число
a1m(E1) + _ + anm(En),
которое обозначается символом .
Рассмотрим класс функций, для которых определим интеграл. Неотрицательную функцию j: E R назовем измеримой, если существует монотонно возрастающая последовательность ступенчатых функций jk: E R+ = [0, ?) и при любом x k E. В этом случае существует предел
возможно равный ?, который называется интегралом от функции j и обозначается символом .
Функцию f : E R назовем измеримой, если измеримы функции f+ , f- : E R+ , имеющие вид
Ясно, что | f (x) | = f+(x) + f-(x), x k E.
Другое эквивалентное определение измеримой функции: функция f : E R называется измеримой, если для любых чисел a < b множество {x k E : a < f (x) < b} измеримо.
Отметим, что множество измеримых на множестве E функций обладает следующими свойствами:
1) сумма, произведение измеримых функций являются измеримыми функциями;
2) , - предел последовательности измеримых функций fn : E R, n $ 1, является измеримой функцией.
Измеримую функцию f : E R назовем интегрируемой, если конечен интеграл от одной из функций f+ , f- : E R+ . Интеграл от такой функции определяется равенством
Имеют место следующие свойства интеграла от интегрируемых функций:
1)
2)
3) , если E = E1 > _ > En , где E1 , E2 , _ - взаимно непересекающиеся измеримые подмножества из E ;
4) если f(x) = | f n(x) | # j(x), x k E, где j: E R+ - измеримая функция и
5) если m(E ) = 0.
Свойство 3 позволяет по любой неотрицательной измеримой функции f : E R построить новую меру mf : ^ R по формуле mf (E ) = .
В частном случае если X = R, ^ - s-алгебра измеримых по Лебегу множеств из R и l: ^ R - мера Лебега, то для интеграла от любой интегрируемой функции f : E R используется запись
Теорема 2. Для того чтобы функция f : [a, b] R была интегрируема по Коши-Риману, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена и множество точек ее разрыва имело меру Лебега, равную нулю.
Рассмотренная ранее неинтегрируемая по Коши-Риману функция Дирихле c: [0, 1] R является ступенчатой. Действительно, [0, 1] = E1 > E2 , где E1 - множество рациональных чисел из отрезка [0, 1] и E2 - множество иррациональных чисел, l(E1) = 0, l(E2) = 1, c(x) = 1 для x k E1 и c(x) = 0 для x k E2 . Поэтому
Пусть теперь (X, ^, m0) - пространство с мерой Дирака (из примера 2), E - произвольное множество из X, содержащее выбранную точку x0 , и f : E R - некоторая функция. Поскольку любое подмножество из X измеримо, то E измеримо и измерима функция f.
Для подсчета интеграла множество E представим в виде E = E0 + E1 , где E0 = {x0} и E1 = = E \ E0 . Тогда из свойства 3 интеграла получаем
При этом учитывается, что функция f постоянна на множестве E0 и мера m(E1) на множестве E1 нулевая.
ЛИТЕРАТУРА
1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Физматгиз, 1976.
2. Соболев В.И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. М.: Наука, 1968.
* * *
Анатолий Григорьевич Баскаков, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой математических методов исследования операций Воронежского государственного университета. Автор двух книг и 85 научных статей.
