|
|
Статьи Соросовского Образовательного журнала в текстовом формате
Ветвящиеся структуры часто встречаются в живой природе и технике: кровеносные системы людей и животных, кроны деревьев, трубопроводы и др. Исследуются два класса оптимальных (в определенном смысле) ветвящихся структур, а именно: оптимальные ветвящиеся трубопроводы и оптимальные ветвящиеся упругие стержни. Полученные математические результаты сравниваются с экспериментальными данными.
ОПТИМАЛЬНЫЕ ВЕТВЯЩИЕСЯ СТРУКТУРЫФ. Л. ЧЕРНОУСЬКО
Московский физико-технический институт,
Долгопрудный Московской обл.
ВВЕДЕНИЕ
В живой природе широкое распространение имеют разнообразные ветвящиеся структуры: кровеносные системы, дыхательные пути, кроны деревьев, корневые системы растений и др. Функциональное назначение этих структур состоит в том, чтобы доставлять (или выводить) жидкость или газ (кровь, воздух, воду) в точки, достаточно густо покрывающие некоторую область. Так, капилляры должны снабжать кровью все участки тела, а крона дерева обеспечивает соками всю его листву. Помимо решения этой основной задачи (доставки или выведения вещества) ветвящиеся структуры должны удовлетворять еще многим условиям по прочности, объему, гидравлическому сопротивлению системы и т.д. В данной статье исследуются некоторые оптимальные ветвящиеся структуры, обладающие при наложенных ограничениях наилучшими (в том или ином смысле) характеристиками. Эти оптимальные структуры могут представлять интерес и для техники, например для трубопроводов и несущих конструкций.
ОПТИМАЛЬНЫЕ ТРУБОПРОВОДЫ
Рассмотрим ветвящийся трубопровод, который должен доставлять (или выводить) жидкость или газ в некоторую плоскую или пространственную область D0 . Размерность пространства обозначим через n, где n = 2 отвечает плоской, а n = 3 - пространственной области. Трубопровод начинается в некоторой точке (источнике, стоке), а после разветвлений его концы должны достаточно густо покрывать область D0 , обеспечивая доставку транспортируемой жидкости в окрестность любой точки области. Примем следующие исходные гипотезы.
1. Трубопровод построен по иерархическому принципу: каждая труба n-го порядка разветвляется на две трубы (n + 1)-го порядка, n = 0, 1, _ Другими словами, трубопровод есть дихотомическое дерево.
2. Все 2n труб n-го порядка имеют одинаковые длины ln и площади поперечного сечения sn , n = 0, 1, _
3. Область Dn , питаемая трубой n-го порядка, делится при ветвлении этой трубы на две равные и симметричные друг другу области Dn + 1 , питаемые трубами (n + 1)-го порядка. Области Dn + 1 подобны области Dn , а точка ветвления лежит в плоскости симметрии области Dn .
4. Трубопровод обладает следующим свойством оптимальности: его полное гидравлическое сопротивление минимально среди всех трубопроводов, удовлетворяющих гипотезам 1-3 и имеющих заданный полный объем W.
Отметим, что выполнение гипотезы 3 обеспечивает при достаточно большом числе ветвлений n доставку транспортируемой жидкости в сколь угодно малую окрестность любой точки области Dn . Из гипотезы 4 следует, что все трубы - отрезки прямых. В самом деле, при любом заданном положении точек ветвления именно прямые трубы, соединяющие эти точки, обладают наименьшим гидравлическим сопротивлением при заданном объеме.
Определим конфигурацию трубопровода, формы областей Dn , длины труб ln и площади их поперечного сечения sn . Форму сечения считаем круглой.
Отметим, что геометрия трубопроводов исследовалась в работах [1-3] и других, где было наложено условие равенства углов между каждой трубой и обоими ее ответвлениями. При этом, однако, не выполняется условие 3 подобия областей, принятое выше. Полное доказательство излагаемых в данном разделе результатов содержится в работе [4].
Используя гипотезу подобия 3, можно определить форму областей Dn . Оказывается, что в плоском случае эти области могут быть либо прямоугольными с отношением сторон 21/2, либо равнобедренными прямоугольными треугольниками. В пространственном случае области Dn - прямоугольные параллелепипеды с отношением ребер 22/3 : 21/3 : 1. Пусть Ln - характерный линейный размер области Dn , например наибольшая сторона прямоугольника (в плоском случае) или наибольшее ребро параллелепипеда (в пространственном случае). Имеем
ln = Lnjn , Ln = 2- n / nL0 , n = 0, 1, _, N.
Величина jn зависит от n, n, от формы области и положения точек ветвления. Так, для прямоугольников с отношением сторон 21/2 имеем
Здесь xn - отношение, в котором начало трубы n-го порядка делит наибольшую сторону прямоугольника Dn (рис. 1). Аналогичные формулы можно записать для областей в форме треугольников и параллелепипедов. Если принять, что не только области Dn подобны друг другу при различных n, но и точки ветвления занимают подобные положения относительно соответствующих областей, то в формуле (2) имеем
xn = x*, jn = j(x*, x*) = j*;
здесь x*, j* - постоянные. Такие трубопроводы назовем правильными.
Представляет интерес такое значение x* для правильного трубопровода, при котором j* из (3) минимально. При этом условии длина труб и их сопротивление минимальны среди всех правильных трубопроводов. Вычисляя минимум исходя из соотношений (2) и (3), найдем параметры оптимального правильного трубопровода, изображенного на рис. 1: x* = 1/3, j* © 0,2887. Оптимальные правильные трубопроводы рассчитаны также для областей в виде треугольников и параллелепипедов. Так как в плоском случае возможны две конфигурации, то интересно сопоставить оптимальные правильные трубопроводы, отвечающие прямоугольникам и треугольникам. Для этого вычислим безразмерное отношение , где Sn - площадь области Dn . Оказывается, что для прямоугольников с отношением сторон 21/2 имеем s © 0,3423, а для областей Dn в виде равнобедренных прямоугольных треугольников s © 0,4472.
Таким образом, оптимальный правильный трубопровод, соответствующий прямоугольным областям, выгоднее: он отвечает меньшей длине труб на единицу площади, чем аналогичный трубопровод для треугольных областей.
Объем всего трубопровода с учетом формулы (1)
Пусть pn - давление в начале трубы n-го порядка, Q - полный расход жидкости. Предположим, что перепад давления в одной трубе описывается законом Пуазейля для ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости:
Здесь c - коэффициент, qn - расход жидкости через одну трубу n-го порядка. Гидравлическое сопротивление, то есть отношение суммарного перепада давления p0 - pN + 1 к расходу Q через трубопровод, согласно (5), (1), с точностью до постоянного множителя
Рассмотрим сначала предельный случай N ?. Предположим, что величины jn в (1), (4), (6) ограничены (например, равны постоянной j*). Для сходимости рядов (4), (6) необходимо, но не достаточно, чтобы их n-е члены стремились к нулю. Обозначая n-е члены рядов (4) и (6) (с точностью до постоянных коэффициентов j*) через an и соответственно, получаем условия
где an , bn бесконечно малы. Для трубопровода, питающего пространственную область, имеем n = 3, и условие (7) здесь нарушается. Следовательно, для таких трубопроводов гидравлическое сопротивление R при конечном объеме W и N ? неограничено. Для трубопровода, питающего плоскую область (n = 2), условие (7) удовлетворяется, и в этом случае возможен бесконечно ветвящийся трубопровод ограниченного объема и конечного гидравлического сопротивления. Если положить sn = s0 " 2- gn ; n = 0, 1, 2, _; n = 2; 0,5 < g < 0,75, то оба ряда (4), (6) будут сходиться. Таким образом, для доставки жидкости в плоскую область можно построить трубопровод, имеющий сколь угодно большое число ветвлений и обладающий конечным гидравлическим сопротивлением. Такой трубопровод требует для своего функционирования насоса ограниченной мощности. В пространственном случае ситуация иная: при росте числа ветвлений сопротивление трубопровода растет неограниченно.
В случае конечного N найдем сечения sn из гипотезы 4, согласно которой гидравлическое сопротивление (6) минимально по sn при выполнении ограничения на объем (4). Применяя метод множителей Лагранжа и вычисляя минимум R из (6) по sn при условии (4), получим
sn = s0 " 2- 2n / 3, n = 0, 1, _
Отметим, что соотношения (8) не зависят от значений jn .
Оптимальный правильный трубопровод для прямоугольных областей показан на рис. 1. Здесь источник O лежит на большей стороне прямоугольника и делит ее в отношении 1 : 3. Если на рис. 1 изъять трубу OA и в качестве источника рассматривать точку А ветвления этой трубы, то получим оптимальный правильный трубопровод с источником на оси симметрии. Точка источника и все точки ветвления делят соответствующие стороны прямоугольников в отношении 1 : 3. Длины ln и сечения sn труб даны соотношениями (1), (8), где jn = j* © 0,2887.
Рассмотренные трубопроводы обладают свойством подобия областей (гипотеза 3), а правильные трубопроводы - еще и подобием расположения ветвей трубопровода относительно этих областей. Данные свойства могут строго выполняться лишь для некоторых частных форм областей. Для областей иной формы такое построение невозможно. Однако найденные конфигурации, по-видимому, имеют некоторый предельный смысл для областей произвольной формы. Если после многих ветвлений зависимость конфигурации трубопровода от формы исходной области становится несущественной, а это предположение представляется естественным, то конфигурация будет приближаться к найденной выше.
Ограничение (4) на объем трубопровода W можно заменить ограничением на суммарное количество материала. Если предположить, что толщина стенок труб пропорциональна площади их сечения, то ограничение на количество материала будет иметь тот же вид (4).
В естественных системах обычно не выполняется строгая иерархия ветвей, поэтому ветви разных порядков условно объединяют в один по некоторому принципу. Это сводится к тому, что в каждом порядке труба делится не на две, а на m ветвей, где m, вообще говоря, дробное число. Подобия областей в этом случае не будет, однако можно получить аналогичные соотношения для длин и сечений, справедливые в среднем. Так как при ветвлении труб соответствующие области уменьшаются в среднем в m раз, то для длин труб получим аналогично (1)
ln = l0m- n / n, n = 0, 1, _, N.
Формулы для объема W и гидравлического сопротивления R примут вид, подобный формулам (4), (6):
Условие минимума R по sn при фиксированном объеме (10) дает соотношение, аналогичное (8)
sn = s0m- 2n /3, n = 0, 1, _, N.
Сравним полученные соотношения с экспериментальными данными по ветвлению артерий в легких человека, приведенными в статье [1]. В результате обработки большого числа наблюдений в [1] получено, что для рассмотренных артерий
m = 3,096; lg ln = - 0,172n + const;
lg dn = - 0,2015n + const.
Здесь использованы принятые выше обозначения; dn - диаметр артерий.
Подставляя в формулы (9), (11) число m из (12), а также n = 3, получим
Различие в коэффициентах формул (12), (13) составляет 5% для длин и 23% для диаметров сосудов. Учитывая простоту теоретической модели, полученное согласие теории и эксперимента следует считать вполне удовлетворительным.
ОПТИМАЛЬНЫЕ СТЕРЖНЕВЫЕ КОНСТРУКЦИИ
Рассмотрим стержневую конструкцию (горизонтальную ветвь) из трех однородных упругих стержней (рис. 2). Стержень OX расположен вдоль горизонтальной оси Ox, стержни XP и ХР ' лежат в горизонтальной плоскости Оху, одинаковы и симметричны друг другу относительно вертикальной плоскости. Координаты точек О, Х, Р, Р ' в плоскости Оху равны (0, 0), (х, 0), (a, b), (a, - b) соответственно, где a $ 0 и b $ 0 - заданные числа, а координата развилки х заключена в пределах 0 # x # a. Все стержни имеют круглые поперечные сечения, причем r1 - радиус стержней ХР и ХР ', а r2 - радиус стержня ОХ. В точке О стержень ОХ жестко заделан, в точке Х все стержни жестко соединены между собой. Рассматриваем два варианта нагрузки, перпендикулярной горизонтальной плоскости Оху: 1) на конструкцию действуют две разные сосредоточенные силы F, приложенные на концах стержней P, P '; 2) конструкция нагружена собственной массой. Случай 1 отвечает ситуации, когда масса грузов, расположенных в точках Р и Р ', много больше собственной массы конструкции.
Определим оптимальную конфигурацию стержневой системы ОХРР ', обладающую наименьшим объемом W и удовлетворяющую ограничению по прочности, при котором максимальное напряжение в конструкции не превосходит заданной величины s0 . Объем конструкции
Ограничение по прочности можно, используя известные формулы сопротивления материалов, представить в виде двух неравенств на изгибающие моменты в наиболее опасных сечениях: в точке Х для стержней ХР, ХР ' и в точке О для стержня ОХ. Получим для вариантов 1, 2 соответственно неравенства
Здесь r - объемная плотность материала, g - ускорение силы тяжести.
Задача свелась к определению величин x, r1 , r2 , доставляющих минимум объему (14) при ограничениях (15). Опуская ход решения, приведем окончательные результаты - параметры оптимальной конструкции.
Введем безразмерные величины (см. рис. 2)
Здесь W - объем оптимальной конструкции; W0 - объем конструкции из двух отдельных стержней OР и OР ', удовлетворяющих условию прочности (то есть W0 - объем конструкции при отсутствии развилки, когда x = x = 0). На рис. 3 представлены полученные зависимости x(a), h(a) и n(a) для обоих случаев нагрузки 1, 2.
Отметим некоторые качественные особенности оптимальных конструкций. При возрастании угла a в случае 1 величина x монотонно убывает, то есть развилка смещается ближе к началу координат. В случае 2 зависимость x(a) немонотонна и имеет максимум, несколько меньший 0,7 (см. рис. 3, а). Зависимости h(a) и n(a) в обоих случаях монотонны. При некотором значении a0 угла a величина x становится равной нулю, а n - равной единице. Это означает, что при a < a0 оптимальная конструкция имеет развилку, а при a > a0 оптимальная конструкция состоит из двух отдельных стержней ОР и ОР ', здесь точка Х на рис. 2 совпадает с О. Угол a0 весьма близок к 90? и равен 83,8? в случае 1 и 89,8? в случае 2, так что оптимальной практически всегда будет конструкция с развилкой.
Оценим максимальную относительную экономию материала для оптимальной ветвящейся конструкции по сравнению с конструкцией без развилки. Эта экономия равна 1 - n(0) и составляет свыше 31% в случае 1 и свыше 91% в случае 2 (см. рис. 3, в). Приведенные результаты делают понятной выгодность ветвящихся конструкций и качественно объясняют структуру горизонтальных ветвей деревьев. Полное изложение результатов второй части исследования дано в работе [5].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Приведенные результаты иллюстрируют некоторые качественные и количественные особенности оптимальных ветвящихся структур. Оптимальные ветвящиеся трубопроводы являются примером фрактальных структур, которые в последние годы являются предметом пристального внимания и глубокого изучения [6]. Отметим, что более подробно с данными по оптимальным биомеханическим структурам можно ознакомиться по книге [7].
ЛИТЕРАТУРА
1. Singhal S., Henderson R., Horsfield K. et al. Morphometry of the Human Pulmonary Arterial Tree // Circulat. Res. 1973. Vol. 33, ╧ 2. P. 190-197.
2. Horsfield K., Cumming G. Angles of Branching and Diameters of Branches in the n h Human Bronhial Tree // Bull. Math. Biophys. 1967. Vol. 20. P. 245-259.
3. Werner W.N., Wilson T.A. Distribution of End-Points of a Branching Network with Decaying Branch Length // Bull. Math. Biol. 1976. Vol. 38, ╧ 3. P. 219-237.
4. Черноусько Ф.Л. Оптимальная структура ветвящихся трубопроводов // Прикл. математика и механика. 1977. Т. 41, вып. 2. C. 376-383.
5. Черноусько Ф.Л. Некоторые оптимальные конфигурации ветвящихся стержней // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. ╧ 3. С. 174-181.
6. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов: Образы комплексных динамических систем. М.: Мир, 1993. 176 с.
7. Образцов И.Ф., Ханин М.А. Оптимальные биомеханические системы. М.: Медицина, 1989. 272 с.
* * *
Феликс Леонидович Черноусько, доктор физико-математических наук, профессор Московского физико-технического института, главный научный сотрудник Института проблем механики РАН, академик РАН, лауреат Государственной премии СССР, премии Ленинского комсомола и международной премии Кербера за развитие европейской науки (Германия). Область научных интересов: теория управления, механика, прикладная математика. Автор девяти монографий и более 250 научных статей.
