|
|
Статьи Соросовского Образовательного журнала в текстовом формате
На примере простой модели стабилизации курса управляемого тела объясняются особенности динамики систем, фазовые портреты которых составлены из частей фазовых портретов динамических систем. Объясняется возникновение особых движений в такого рода системах, получивших название скользящих режимов, и описываемых в вероятностных терминах.
"СКЛЕЕННЫЕ" ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ, СКОЛЬЗЯЩИЕ РЕЖИМЫ И ВЕРОЯТНОСТЬВ. А. БРУСИН
Нижегородский государственный
архитектурно-строительный университет
ОБЩИЙ ВЗГЛЯД НА ВОЗНИКНОВЕНИЕ "ВЕРОЯТНОСТИ"
Как известно, о вероятности речь возникает в ситуациях, когда проводится (человеком или природой) серия из большого числа экспериментов (испытаний, измерений), независимых друг от друга, проводимых при одних и тех же условиях, в результате которых событие A может появиться или не появиться [1]. В конце каждой такой серии испытаний определяется величина n - частота появления этого события. Это будет случайная величина, которая в другой серии может принять другое значение. Событие A называется стохастически устойчивым, если при увеличении количества испытаний в серии эта величина становится сколь угодно близкой к некоторому числу p k [0, 1], которое и называется вероятностью события A.
До недавнего времени считалось, что событие стохастически устойчиво тогда, когда в его формировании участвует большое число независимо друг от друга действующих факторов [2]. Например, броуновское движение частицы создается благодаря очень большому числу столкновений с разными молекулами, совершающихся в каждый момент времени. По этой же причине молекулярная физика описывается вероятностными моделями и является составной частью статистической физики. Многие ученые (например, А. Эйнштейн) считали, что вероятностная природа квантовой механики объясняется теми же причинами. Хотя основная точка зрения в этом вопросе заключается в том, что "вероятность" лежит в основе "мироздания" и не является результатом процесса осреднения взаимодействий.
В современной математике господствует теория вероятностей, построенная на аксиоматике Колмогорова-Дуба. Она основана на том, что с каждым случайным событием или процессом связан некий абсолют - абстрактное топологическое пространство с мерой, которые изучались в функциональном анализе с момента его появления [1]. Однако в физических кругах эта аксиоматика не стала популярной. В последнее время и у математиков появилось желание изменить основы построения теории вероятностей. Во-первых, с точки зрения аксиоматики Колмогорова-Дуба к числу случайных процессов можно причислить и регулярные процессы. С житейской же точки зрения случайным мы считаем только такой процесс, который нельзя предсказать по известным его измерениям (настоящим и прошлым), причем увеличение этих измерений не приводит к уменьшению точности прогнозирования.
Во-вторых, с 60-х годов появились результаты теории динамических систем, из которых следовало, что такого рода нерегулярные процессы могут возникать в детерминированных динамических системах не очень большой размерности, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений, начиная с третьего порядка [3, 4]. Хотя эти примеры носили чисто математический характер и с реальными процессами в природе их связать было трудно, они произвели революцию в сознании как математиков, так и физиков в той части, которая касалась понимания возникновения случайностей.
Параллельно (возможно, даже немного раньше) был открыт и другой механизм возникновения вероятности в дифференциальных уравнениях, оставшийся в тени. Это так называемый скользящий режим в разрывных (мы их называем склеенными) системах, о котором будет идти речь ниже.
Существенным (может быть, и главным) обстоятельством этого механизма является то, что скользящий режим является рабочим режимом большого класса систем автоматического регулирования. Как показывают публикации и конференции последних лет по теории управления, исследования в области использования скользящих режимов не только не сокращаются, но в связи с обнаружением их новых возможностей и усиливаются.
Ниже в доступной форме на простом примере мы объясняем природу скользящих режимов, их вероятностные свойства и роль, которую они играют в системах управления.
Напомню, что мы придерживаемся следующей трактовки понятия вероятности. Обозначим через nN(A ) частоту появления события A серии из N независимых испытаний.
Событие A называется стохастически устойчивым, если при увеличении числа N частота nN(A ) приближается к некоторому числу p k (0, 1). Это число и будет вероятностью появления события A в данном испытании. Такое определение вероятности иногда называют эмпирическим.
"СКЛЕЕННАЯ" СИСТЕМА НА ПРИМЕРЕ АВТОРУЛЕВОГО
Простейшее уравнение динамики отклонения управляемого судна от заданного курса (рис. 1) имеет вид [5]
где x - угол отклонения оси судна от курса, отсчитываемый по часовой стрелке, j - угол отклонения руля от нейтрального положения, J - момент инерции судна относительно его центра масс, h - коэффициент момента сил сопротивления вязкой среды, Mp - вращающий момент, создаваемый поворотом руля.
Следует учитывать, что данная математическая модель описывает реальное движение судна только при относительно малых углах и скоростях. Следуя [5], будем предполагать, что момент Mp пропорционален углу:
Mp = - lj, l > 0.
Далее предположим, что движение руля управляется авторулевым по закону реле [5]
j0 > 0,
где a - некоторый положительный параметр, ? j0 - предельные углы поворота руля. Тем самым предполагается, что руль мгновенно перекладывается в правое крайнее положение, если s > 0, и в крайнее левое, если s < 0.
Мы хотим проследить динамику отклонения судна от его курса. Точнее, мы желаем выяснить, как будет вести себя процесс x(t), если он подчиняется уравнениям (1)-(3).
Систему (1)-(3) можно записать в упрощенном виде
где обозначено y = j / j0 , a = h / J, k = l / J.
Сразу же возникает вопрос о том, что система (4), (5) недоопределена, в ней есть неопределенность: в законе (5) отсутствует значение s = 0. Наша первая задача - раскрыть эту неопределенность на основе двух физически очевидных условий: процесс, описывающий динамику отклонения судна, должен быть непрерывным и угол отклонения руля должен находиться в интервале [- j0 , j0] и, следовательно, | y | # 1.
С этой целью рассмотрим фазовые портреты [5, 6] системы (4) на плоскости XOY, отдельно для случаев, когда y = +1 и y = -1. Разрежем эти плоскости по линии s = 0 и склеим так, чтобы траектории системы (4), y = +1, находились на полуплоскости s > 0, а траектории системы (4), y = -1, - на полуплоскости s < 0. Обозначим первую полуплоскость P+ , а вторую P- . Получим картину, изображенную на рис. 2.
Теперь, глядя на этот рисунок, зададимся вопросом: получается ли в результате такой процедуры склейки новый фазовый портрет, на котором можно проследить движение любой фазовой точки с произвольного начального положения до произвольного будущего, то есть при t + ?? Очевидно, нет: если фазовая точка приходит на отрезок [A, A '] прямой s = 0, дальнейшее ее движение не определено: выйти в полуплоскости P+ и P- ей не позволяют направления фазовых траекторий, идущих в этой зоне навстречу друг другу. Попытаемся раскрыть эту неопределенность. Для этого разрежем фазовую плоскость системы (4), y = +1, по линии s = - D, а систему (4), y = -1, по линии s = + D. Обозначим через P+ полуплоскость s $ - D с траекториями системы (4), y = +1, а через P- полуплоскость s # D с траекториями системы (4), y = -1, и перенесем их на одну плоскость XOY. При этом часть полуплоскости P+ наложится на часть полуплоскости P- (рис. 3). Таким образом мы приходим к двулистной фазовой плоскости [5], где верхним листом (условно) является P+ а нижним - P- (рис. 4).
Движение фазовой точки при этом определяется вполне однозначно по непрерывности: при движении ее по верхнему листу она может дойти до его края и перейти на нижний лист с сохранением текущих координат, и продолжить двигаться по траекториям нижнего листа опять до попадания на его границу и т.д.
Изучая движение фазовых точек, замечаем, что в окрестности отрезка [A, A '] прямой s = 0 образуется пограничный слой толщины 2D, в котором фазовая точка делает перескоки с одного листа на другой. Мы видим также, что при малых D частота таких колебаний-перескоков будет велика, а амплитуда мала. В то же время фазовая точка будет медленно перемещаться в направлении линии x + ay = 0. При очень малых D ! 1 глаз зафиксирует только это медленное движение вдоль линии x + ay = 0. Таким образом, в пределе при D 0 получается вполне определенное движение по линии склейки s = 0 - это и есть скользящий режим по терминологии А.А. Андронова [5].
Выведем теперь уравнение скользящего режима. Впервые для широкого класса систем автоматического управления такие уравнения получены Ю.И. Неймарком в 1955 году. Доступное изложение этих результатов можно найти в книге [3].
УРАВНЕНИЯ СКОЛЬЗЯЩИХ РЕЖИМОВ
И ВЕРОЯТНОСТЬ
Для определенности назовем систему, фазовый портрет которой представлен на рис. 3, допредельной. Уравнения допредельной системы можно записать в виде
где YD(J) - нелинейность гистерезисного типа, описывающая закон переключения в данной системе (рис. 5). Стрелками на рис. 5 обозначены направления переходов с одной ветви гистерезисной кривой на другую.
Введем оператор осреднения по интервалу длины d > 0 и будем его обозначать чертой сверху с индексом d:
и т.п. Эти функции назовем осредненными.
Применяя этот оператор к уравнению (6), приходим к уравнению
Если связать режим jD = 1 (рис. 4) с замыканием некоторого контакта А (событие А ), а режим jD = -1 с замыканием контакта Б (событие Б ), то функция будет представляться как осредненный процесс переключения контактов, а функция - как частота появления события А на временном интервале (t, t + d).
Другими словами, если бы мы проводили серию экспериментов по реализации одного и того же решения системы (6) и проводили бы измерение величины YD, d в один и тот же момент времени t, то, конечно, получили бы один и тот же результат: +1 или -1 (замкнут контакт А или Б). Но поскольку момент измерения абсолютно точно определить нельзя и он определяется с точностью до малой величины d, то в разных экспериментах мы обнаружили бы либо событие А, либо событие Б, причем частота появления события А определяется указанной выше функцией. Заметим, что вне гистерезисной петли эта вероятность будет равна либо 1, либо 0.
Теперь устремим величины D и d к нулю. Оказывается, и это устанавливается различными теориями, функция и другие осредненные функции из (7) будут иметь предельные значения, а уравнение (6) перейдет в уравнение
В предельных функциях в отличие от допредельных индексы D, d опущены. При этом функции , будут описывать осредненные процессы в предельной системе. Так, функция будет описывать вероятность появления события А в момент t в предельной (D = 0) системе.
Одновременно мы получаем, что в скользящем режиме осредненное решение предельной системы (D = 0) будет удовлетворять дифференциальному уравнению
откуда следует, что , t ?.
Уравнение (10) и есть уравнение скользящих режимов для рассматриваемой склеенной системы, изображенной на рис. 2. Если к траекториям из рис. 2 добавить траектории скользящих режимов, описываемых уравнением (10), то мы получим фазовый портрет склеенной системы. Эта система описывает динамику движения судна с авторулевым, в котором закон переключения определяется соотношением (5).
Подставляя соотношение (10) в уравнение (9), мы можем определить динамику изменения функции , а значит, и P(t). Нужно только помнить, что при переходе в обычный режим функция будет принимать постоянное значение, равное 1 или 0, а закон (10) уже не действует.
НЕЙТРАЛИЗАЦИЯ ПОСТОЯННО ДЕЙСТВУЮЩИХ НЕИЗВЕСТНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
В ЗАДАЧЕ С АВТОРУЛЕВЫМ
В заключение проиллюстрируем важное в системах автоматического регулирования свойство скользящих режимов нейтрализовать неизвестные постоянно действующие возмущения. Возьмем снова в качестве примера регулирование курса судна. Предположим теперь, что на судно действует внешнее возмущение, момент которого относительно центра масс описывается непрерывной функцией F (t). Уравнение движения в этом случае примет вид
или в упрощенном виде
где
Предположим, что интенсивность возмущения не может превысить некоторое значение, так что
| f (t) | # C,
где C - некоторая константа.
Задача авторулевого - стабилизировать курс и в этих условиях. Кажется, что это невозможно без измерения и прогноза функции f (t). И это будет верно, если иметь в виду классические решения дифференциальных уравнений и обычные режимы. Однако на помощь приходит скользящий режим. Сначала приведем уравнение (11) к виду
где
Выберем a так, что
Теперь определим алгоритм действия авторулевого:
где DC - произвольное неотрицательное число. Запишем уравнение движения системы (13), (14) в осредненных функциях
Так как f (t) - непрерывная функция, то ее осредненное значение равно ей самой. Из указанных выше свойств осредненной функции Y и из (16) следует
Умножим равенство (16) на и проинтегрируем по t в пределах от t = 0 до t = T > 0. Тогда с учетом (15), (17) приходим к соотношению
откуда, устремляя T ?, получаем (с учетом (14))
Соотношения (18), в свою очередь, влекут соотношение , t ? (см. по этому поводу приложение из [7]).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988. 446 с.
2. Эткинс П. Порядок и беспорядок в природе. М.: Мир, 1987. 244 с.
3. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. 471 с.
4. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976. 384 с.
5. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959. 926 с.
6. Белых В.Н. Элементарное введение в качественную теорию и теорию бифуркаций динамических систем // Соросовский Образовательный Журнал. 1997. ╧ 1. С. 115-121.
7. Брусин В.А. Об управлении динамическими системами в условиях неопределенности // Там же. 1996. ╧ 6. С. 115-121.
* * *
Владимир Александрович Брусин, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой высшей математики Нижегородского государственного архитектурно-строительного университета, член-корреспондент РАЕН. Область научных интересов - математические проблемы теории устойчивости и теории управления. Автор более 150 научных статей и учебного пособия.
