|
|
Статьи Соросовского Образовательного журнала в текстовом формате
6 КЛАСС
ЗАДАЧА 1
Числитель дроби увеличили на 20%. На сколько процентов надо уменьшить ее знаменатель, чтобы в итоге дробь возросла вдвое?
Для начала рассмотрим какой-нибудь пример, скажем дробь 100/100 = 1. После увеличения в числителе будет 120, поэтому в знаменателе после уменьшения должно остаться 60. Другими словами, надо уменьшить знаменатель на 40%.
Проверим ответ для общего случая: пусть есть дробь a / b. После увеличения числителя на 20% он станет равным 1,2a; если уменьшить знаменатель на 40%, то он станет равным 0,6b. Тогда дробь станет равной , что и требуется.
Ответ: на 40%.
ЗАДАЧА 2
Из точки O на плоскости выходят четыре луча OA, OB, OC и OD (необязательно в этом порядке). Известно, что - AOB = = 40?, - BOC = 70?, - COD = 80?. Какие значения может принимать величина угла между лучами OA и OD ? (Величина угла между лучами - от 0? до 180?.)
Пусть два угла a и b имеют общую сторону. Каким будет угол между двумя другими их сторонами? Это зависит от взаимного расположения углов. Если углы расположены по разные стороны от их общей стороны, то они складываются и вместе дают угол a + b (рис. 1). Впрочем, тут необходима оговорка: если a + b > 180?, то надо взять дополнительный (до 360?) угол, величина которого 360? - a - b (рис. 2).
Если углы a и b расположены по одну сторону от их общей стороны, то угол между двумя другими их сторонами равен | a - b | (рис. 3).
Имея это в виду, легко указать все варианты для нашей задачи: есть две возможности 70? - 40? = 30? и 70? + 40? = 110? для угла AOC. Каждая из них дает по две возможности для угла AOD, так что всего будут четыре варианта: 80? - 30? = 50?, 80? + 30? = 110?, 110? - 80? = 30? и 360? - 110? - 80? = 170?.
Ответ: 50?, 110?, 30?, 170?.
ЗАДАЧА 3
Три равных круга имеют общую внутреннюю точку. Доказать, что существует круг того же радиуса, содержащий центры этих трех кругов.
В качестве центра этого круга можно взять ту самую общую внутреннюю точку: поскольку расстояние от этой точки до центра любого из трех кругов не превосходит радиуса кругов, все три центра попадут внутрь нового круга.
ЗАДАЧА 4
Два невисокосных года идут подряд. В первом из них больше понедельников, чем сред. Какой из семи дней недели чаще всего встретится во втором году?
В невисокосном году 365 = 52 " 7 + 1 дней, то есть 52 недели и один день. Тем самым ровно один день недели встречается чаще других - тот самый, который будет первым и последним днем года. Если в первом году таким днем был понедельник, то во втором это будет вторник.
Ответ: вторник.
ЗАДАЧА 5
Разность двух четырехзначных чисел равна 7. На сколько могут отличаться суммы их цифр?
Если при добавлении 7 последняя цифра увеличивается на 7 и не происходит переноса в другой разряд, то сумма всех цифр также увеличивается на 7. Например, число 1001 после увеличения на 7 становится равным 1008 и сумма цифр возрастает на 7 (была 2 - стала 9).
Однако надо учесть и возможности переноса в следующий разряд. Поскольку оба числа четырехзначные, то возможно от одного до трех переносов (из разряда единиц в разряд десятков, из десятков в сотни и из сотен в тысячи).
Перенос уменьшает сумму всех цифр на 9 (в одном разряде становится на 10 меньше, в другом - на 1 больше), поэтому если при увеличении на 7 будет один перенос, то в итоге сумма уменьшится на 2. Например, число 1009 после увеличения на 7 превращается в 1016 и сумма цифр из 10 стала 8. При двух переносах сумма цифр уменьшится на 11. Например, число 1099 превращается в 1106 и сумма из 19 стала 8. При трех переносах сумма уменьшается на 20. Например, число 1999 превращается в 2006 и сумма из 28 стала 8.
Ответ: сумма цифр может увеличиться на 7,
уменьшиться на 2, на 11 или на 20.
ЗАДАЧА 6
На доске написаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. За один ход можно увеличить любое из чисел на 3 или на 5. Какое минимальное число ходов нужно сделать, чтобы все числа стали равными?
Давайте посмотрим, на сколько можно увеличить каждое число за один, два, три и более ходов. За один ход можно увеличить число на 3 или на 5. За два хода можно увеличить число на 6 = 3 + 3, 8 = = 3 + 5 или 10 = 5 + 5. За три хода можно увеличить число на 9 = 3 + 3 + 3, 11 = 3 + 3 + 5, 13 = 3 + 5 + 5 или 15 = 5 + 5 + 5. Рассуждая аналогичным образом, можно составить таблицу (верхняя строка - на сколько увеличивается число, нижняя - число ходов). Отметим, что в этой таблице указано минимальное число ходов, если возможны несколько вариантов (например, увеличить число на 15 можно и за 3, и за 5 ходов, так как 15 = 5 + 5 + 5 = 3 + 3 + 3 + + 3 + 3).
Нам нужно увеличивать числа от 1 до 9 и получить одно и то же число - назовем его a - во всех случаях. Значит, мы должны увеличить число 1 на a - 1, число 2 на a - 2 и т.д. (последнее число 9 надо увеличить на a - 9). Таким образом, нам понадобятся добавки a - 9, a - 8, _, a - 2, a - 1 - девять идущих подряд добавок. Посмотрев на таблицу, мы видим, что это возможно при a = 17 или более. В каждом из случаев минимальное число ходов можно получить сложив соответствующие числа в нижнем ряду. При a = 17 мы получаем 2 + 3 + 2 + 3 + 4 + 3 + 4 + 3 + 4 = 28, при a = 18 получается 3 + 2 + 3 + 4 + 3 + 4 + 3 + 4 + + 5 = 31, при a = 19 получается 32, при a = 20 получается 35 и т.д. Наименьшее число ходов будет при a = 17 и равно 28.
Последняя фраза, строго говоря, требует дополнительного обоснования: почему большие значения a не приведут к экономии общего числа ходов. Это надо проверить по таблице для нескольких ближайших значений a, пока все слагаемые не станут больше 3 (дальше экономии точно не будет).
Ответ: надо сделать все числа равными 17,
для чего потребуется 28 ходов.
ЗАДАЧА 1
В правильном тождестве
(x2 - 1)(x + _) = (x + 3)(x - 1)(x + _)
два числа заменили многоточиями. Что это были за числа?
Представив x2 - 1 в виде (x - 1)(x + 1), получим тождество
(x - 1)(x + 1)(x + _) = (x + 3)(x - 1)(x + _).
Теперь очевидно, что в левой части вместо многоточия надо поставить 3, а в правой части 1.
ЗАДАЧА 2
Купец везет деньги из пункта А в пункт Б. На дорогах водятся разбойники, которые грабят проезжающих: на одной дороге разбойники забирают 10% имеющейся в данный момент суммы, на другой - 20% и т.д. (рис. 1). Как должен ехать купец, чтобы довезти в Б как можно большую часть денег? Какую часть исходной суммы он при этом довезет до Б?
Заметим, что ехать в обход по двум дорогам, на которых отбирают a и b% соответственно, выгоднее, чем напрямик по дороге, на которой отбирают (a + b)%: в первом случае у купца остается (1 - - a /100)(1 - b /100) часть исходной суммы, а во втором - (1 - (a + b)/100) часть, что меньше (проверьте самостоятельно!); можно объяснить это и так: при поездке в обход отберут сначала a% от всей суммы, а затем b% от оставшейся (меньшей) суммы, а при поездке напрямик отберут (a + b)% от всей суммы, то есть a% от всей суммы и b% опять же от всей суммы.
Заметим теперь, что начать надо с дороги, отмеченной числом 10: в противном случае придется ехать прямо в центр квадрата, а из сказанного выше вытекает, что дорогу из A в центр выгоднее объехать. Далее надо ехать в центр по дороге, на которой отберут еще 10%: в противном случае придется ехать по дороге, на которой отбирают 40%, а вместо этого выгоднее ехать через центр, по дорогам с отметками 10 и 30. Рассуждая дальше в том же духе, получаем, что оптимальный маршрут такой, как показано на рис. 2. Изображенный на рисунке маршрут неединствен: ввиду симметрии весь маршрут или его части можно симметрично отразить относительно диагонали АБ. В любом случае самый выгодный маршрут из A в Б проходит по дорогам с отметками 10, 10, 30, 20 и 20; при этом у купца останется 0,9 " 0,9 " 0,7 " 0,8 " " 0,8 = 0,36288 исходной суммы, или 36,288%.
ЗАДАЧА 3
Найти угол между часовой и минутной стрелками в 7 часов 38 минут.
За час минутная стрелка проходит полный круг (360?), а часовая - в 12 раз меньше, то есть 30?. Поэтому в 7 часов минутная стрелка будет отставать от часовой на 210? (рис. 1). Через 38 минут минутная стрелка повернется на (38/60) " 360? = 228?, а часовая - на угол, в 12 раз меньший (то есть 19?). Следовательно, в 7 часов 38 минут угол между стрелками будет равен 210? + 19? - 228? = 1?.
ЗАДАЧА 4
Игра-лотерея проводится следующим образом. Выбирается случайное число от 1 до 1000. Если оно делится на 2, платят рубль, если делится на 10 - два рубля, на 12 - четыре рубля, на 20 - восемь, если оно делится на несколько этих чисел, то платят сумму. Сколько можно выиграть (за один раз) в такой игре? Указать все варианты.
Запишем всевозможные варианты в виде следующей таблицы (знак + означает "делится", знак - означает "не делится"):
Других вариантов быть не может: если число не делится на 2, то оно и подавно не делится ни на 10, ни на 12, ни на 20; если число делится на 20, то оно делится и на 10; если, наконец, число делится на 10 и на 12, то оно делится и на 20.
ЗАДАЧА 5
Сумма цифр целого положительного числа x равна n. Доказать, что между x и 10x можно найти целое число, сумма цифр которого равна n + 5.
Пусть a - последняя цифра числа x. Разберем два случая.
1) a < 5. В этом случае число y = x + 5 является искомым: его последняя цифра равна a + 5, а остальные цифры такие же, как у числа x.
2) a $ 5. В этом случае искомым является число y = 10x - 4. В самом деле, приписывая к числу x нуль справа и вычитая "столбиком" 4, получаем, что y можно получить из x следующим образом: уменьшить последнюю цифру на 1 и приписать справа 6. Сумма цифр при этом увеличится на 5.
ЗАДАЧА 6
В походе, который длился 12 дней, участвовали 9 человек. Каждый день дежурило 3 человека. При этом дежурные ссорились друг с другом и никакие двое из них не хотели больше ни разу дежурить вместе. Тем не менее участники похода утверждают, что все 12 дней им удавалось назначать тройки дежурных с учетом этого требования. Могло ли так быть?
Ответ: расписание дежурств составить можно. Вот пример (участники похода обозначены цифрами от 1 до 9, каждый столбец соответствует тройке дежурных):
Можно также изобразить разбиение на тройки дежурных, как на рис. 1: участники похода обозначены точками, каждое дежурство обозначено своим цветом.
ЗАДАЧА 1
а) Имеются бочки весом в 1, 2, 3, 4, _, 19, 20 пудов. Можно ли разложить их в три грузовика поровну (по весу)?
б) Тот же вопрос для бочек весом в 1, 2, 3, 4, _, 9, 10 пудов.
а) Можно поместить в первый грузовик бочки весом в 1, 4, 5, 8, 9, 12, 14, 17 пудов; во второй - 2, 3, 6, 7, 10, 11, 15, 16 пудов; в третий - 13, 18, 19, 20 пудов. В каждом грузовике получится 70 пудов.
б) Докажем, что этого сделать нельзя. Если бочки разложены по грузовикам поровну по весу, то во всех грузовиках имеется одно и то же целое число пудов, поэтому суммарный вес всех бочек (в пудах) делится на 3. Однако в данном случае суммарный вес бочек равен 1 + 2 + 3 + 4 + _ + 9 + 10 = 55 пудов. Поэтому разложить бочки поровну (по весу) нельзя.
Ответ: а) можно,
б) нельзя.
ЗАДАЧА 2
В корзине лежат яблоки и груши. Если добавить туда столько же яблок, сколько сейчас там груш (в штуках), то процент яблок будет вдвое больше, чем получится, если добавить в корзину столько груш, сколько сейчас там яблок. Какой процент яблок сейчас в корзине?
Пусть я - количество яблок, а г - количество груш в корзине. Если добавить столько же яблок, сколько сейчас там груш, то всего будет я + г яблок из я + 2г фруктов и доля яблок будет (я + г)/(я + 2г). Если добавить столько груш, сколько сейчас яблок, то будет я яблок из 2я + г фруктов и доля яблок будет я /(2я + г). В первом случае по условию процент яблок вдвое больше и мы получаем пропорцию
Из этой пропорции получаем
(я + г)(2я + г) = 2я(я + 2г),
или
2я2 + 3яг + г2 = 2я2 + 4яг,
откуда г2 = яг. Поскольку по условию число груш в корзине больше нуля, на него можно разделить обе части равенства и получить, что яблок и груш в корзине поровну.
Ответ: 50%.
ЗАДАЧА 3
Какое наименьшее количество целых чисел от 1000 до 1500 нужно отметить, чтобы любое число x от 1000 до 1500 отличалось от одного из отмеченных чисел не более чем на 10% от величины x?
Если x - некоторое число, то в интервале от 0,9x до 1,1x должно быть хотя бы одно отмеченное число. Значит, отношение соседних отмеченных чисел не превосходит 11/9. Первое отмеченное число должно быть не больше 1100 (положим x = 1000), а последнее - не меньше 1350 (положим x = 1500). Поскольку 1350/1100 чуть больше 11/9, двух отмеченных чисел не хватит. А трех хватает с запасом. Например, можно отметить числа 1100, 1250, 1400 - тогда любое число от 1000 до 1500 отличается от одного из отмеченных не более чем на 100.
Ответ: необходимо отметить как минимум три числа.
ЗАДАЧА 4
Опустить из данной точки перпендикуляр на данную прямую, имея циркуль и короткую линейку (длина линейки значительно меньше расстояния от точки до прямой; циркуль достает от точки до прямой "с запасом").
Установим раствор циркуля чуть большим расстояния от данной точки (назовем ее O ) до прямой и сделаем на прямой две засечки в точках A и B (рис. 1). Получим равнобедренный треугольник OAB. Высота этого треугольника, опущенная из точки O, одновременно является медианой и потому будет серединным перпендикуляром к отрезку AB. Этот серединный перпендикуляр можно построить обычным способом, так как точки A и B близки друг к другу (мы выбрали раствор циркуля лишь немного превосходящим расстояние от точки O до прямой). Далее с помощью короткой линейки можно постепенно продлевать этот перпендикуляр в направлении точки O, пока он не дойдет до этой точки.
ЗАДАЧА 5
На шахматной доске лежит треугольник (рис. 1). Разрешается перекатывать его вокруг сторон (при этом треугольник симметрично отражается относительно стороны, вокруг которой он перекатывается). Может ли он через несколько шагов занять положение, показанное на рис. 2?
Будем рисовать возможные положения треугольника после перекатываний. Получится паркет из треугольников (рис. 3). При этом видно, что любой из треугольников паркета после перекатывания совмещается с некоторым другим треугольником паркета. Поэтому возможны только положения, входящие в этот паркет, а положение на рис. 2 таковым не является.
Ответ: треугольник не может оказаться
в положении рис. 2.
ЗАДАЧА 6
Натуральное число a меньше натурального числа b. При этом сумма цифр числа a на 100 меньше суммы цифр числа b. Доказать, что между числами a и b есть число, сумма цифр которого на 43 больше суммы цифр числа a.
Заметим, что при увеличении числа на 1 сумма цифр либо увеличивается на 1 (в случае, если число оканчивается не на девятку и тем самым переносов в другой разряд при прибавлении единицы не происходит), либо уменьшается на 8, 17, 26, _ в зависимости от того, на сколько девяток оканчивается число. В любом случае увеличиться сумма цифр может только на единицу; стало быть, если мы, прибавляя к числу a по единице, увеличили в результате его сумму цифр от s(a) до s(a) + 100, то в какой-то момент сумма цифр должна была равняться s(a) + 43 - проскочить это значение снизу вверх сумма не сможет.
ЗАДАЧА 1
Футбольный турнир проходил в один круг. За победу давалось 3 очка, за ничью - 1 очко, за поражение - 0 очков. Могло ли так случиться, что команда, занявшая первое место, при старой системе подсчета очков (победа - 2 очка, ничья - 1 очко, поражение - 0) была бы последней?
Такой случай возможен. Например, в турнире участвовали 13 команд. Одна из них (команда А) выиграла 5 матчей и 7 проиграла. Все оставшиеся игры закончились вничью. Команда А по новой системе набирает 5 " 3 = 15 очков. Каждая из оставшихся может набрать не более 3 + 11 = 14 очков. По новой системе подсчета очков команда А занимает первое место. По старой системе у команды А было бы 5 " 2 = 10 очков, а у каждой из оставшихся не менее 11 очков. В этом случае команда А была бы последней.
ЗАДАЧА 2
Найдите все значения параметра a, при которых существуют ровно два целых значения х, удовлетворяющие неравенству .
Рассмотрим функцию у = . Ее графиком является парабола с вершиной в точке прямая х = х0 является осью симметрии этой параболы. Рассмотрим целочисленные точки оси х и расположим их в порядке возрастания расстояния до оси симметрии параболы. Поскольку 3,5 < < 4, получим последовательность: - 4, - 3, - 5, _ Значения рассматриваемого квадратного трехчлена в этих точках образуют возрастающую последовательность. Таким образом, неравенство должно выполняться лишь для х = - 4 и х = - 3. Значит, при х = - 3 имеет место неравенство + + a < 0, а при х = - 5 - неравенство + a $ 0.
Ответ:
ЗАДАЧА 3
Чему равен угол В треугольника АВС, если известно, что высоты, выходящие из А и С, пересекаются внутри треугольника и одна из них делится точкой пересечения на равные части, а другая - в отношении 2 : 1, считая от вершины?
Обозначим через К точку пересечения высот АА1 и СС1 . Пусть АК = КА1 , СК = 2КС1 (рис. 1). Если М - середина СК, то ввиду равенства треугольников КМА1 и КАС1 АС1 = МА1 . Но по свойству медианы к гипотенузе прямоугольного треугольника Таким образом, АС1 = МК =КС1 . Треугольник КАС1 прямоугольный и равнобедренный, - КАС1 = 45?.
Ответ: - АВС = 45?.
ЗАДАЧА 4
Решите уравнение: (х2 - х - 1)2 - х3 = 5.
Имеем (х2 - х - 1)2 - 4 - х3 - 1 = 0,
(х2 - х + 1)(х2 - х - 3) - (х + 1)(х2 - х + 1) = 0,
(х2 - х + 1)(х2 - 2х - 4) = 0.
Ответ:
ЗАДАЧА 5
Все обыкновенные правильные несократимые дроби, числители которых - двузначные числа, упорядочили по возрастанию. Между какими двумя последовательными дробями расположено число 5/8?
Рассмотрим на координатной плоскости две прямые l и l1 , задаваемые соответственно уравнениями 8у - 5х = 0 и 8у - 5х = 1. Прямая l проходит через О - начало координат и точку А(8; 5). Прямая l1 параллельна прямой l, и между ними нет точек с целочисленными координатами. Нетрудно убедиться, что l1 проходит через точку (3; 2). Все точки с целочисленными координатами, принадлежащие этой прямой, имеют координаты: х = 3 + 8k, y = 2 + 5k, где k - произвольное целое число. (Убедиться в этом можно, например, просто построив график прямой l1 .) Для всех точек на прямой l1 выполняется неравенство Среди точек вида х = 3 + 8k, y = = 2 + 5k, которые, как мы знаем, лежат на рассматриваемой прямой, возьмем точку с наибольшей двузначной ординатой. Это будет точка В(155; 97). Она соответствует k = 19. Внутри угла ВОА нет точек с целочисленными координатами, имеющие двузначную ординату. Значит, дробь - наименьшая несократимая дробь с двузначным числителем, превосходящая дробь
Точно так же, рассмотрев прямую l2 , задаваемую уравнением 8у - 5х = -1, получим, что точки с целочисленными координатами, принадлежащие этой прямой, можно задать формулами: х = 5 + 8k, y = = 3 + 5k. При k =19 получим точку С(157; 98). Ей соответствует дробь Таким образом, дробь находится между дробями и .
Замечание. Можно доказать, что при положительных a, b, c и d дробь находится между дробями и , если эти дроби не равны между собой. Отсюда следует, что если - одна из двух дробей, которые нам требуется найти, то ее числитель не меньше 95. В противном случае у дроби будет также двузначный числитель и она будет ближе к , чем дробь . Теперь для каждого из возможных значений числителя мы можем найти два значения знаменателя, отличающиеся друг от друга на 1, которым соответствуют дроби, одна из которых больше , а другая меньше. Затем из этих дробей выберем две требуемые. (Перебрать при этом нам потребуется не более 10 дробей.)
ЗАДАЧА 6
Через точку пересечения диагоналей вписанного четырехугольника проведена хорда. Известно, что части этой хорды, расположенные вне четырехугольника, составляют 1/3 и 1/4 длины хорды. В каком отношении эта хорда делится точкой пересечения диагоналей четырехугольника?
Докажем сначала вспомогательное утверждение: если ABCD - вписанный четырехугольник, диагонали которого пересекаются в точке Q, то
Заметим, что отношение равно отношению площадей треугольников ABD и CBD, поскольку у этих треугольников общая сторона BD, а отношение высот, опущенных на эту сторону равно Теперь для нахождения площадей треугольников ABD и CBD воспользуемся формулой, выражающей площадь через две стороны и синус угла между ними. Но углы BАD и BСD дополняют друг друга до 180?. Значит, у них равны синусы. Таким образом, получаем, что
Перейдем к нашей задаче. Пусть ABCD - вписанный четырехугольник,Q - точка пересечения его диагоналей, MN - хорда, проходящая через Q и пересекающая хорды AD и BC в точках P и L соответственно, причем Воспользуемся вспомогательным утверждением:
,
,
,
.
Перемножая равенства (3) и (4), учитывая равенства (1) и (2), получим
Ответ: отношение равно
ЗАДАЧА 1
Укажите момент времени, когда впервые после полуночи угол между минутной и часовой стрелкой будет равным 1?, при том, что минутная стрелка показывает целое число минут.
Пусть в x час y мин угол между часовой и минутной стрелкой составляет 1?. По условию, y - натуральное (целое положительное) число (x - целое число по смыслу задачи). За x час часовая стрелка повернется на угол 30x (в градусах), а за y минут - еще на (y /2)? (за 1 минуту часовая стрелка поворачивается на (1/2)?). Минутная стрелка за y минут повернется на (6y)?. Поскольку минутная стрелка может "обогнать" часовую или, наоборот, отстать от нее на 1?, получаем уравнение
| 30x + (y /2) - 6y | = 1
или
60x - 11y = ? 2.
Требуется найти наименьшее значение x, удовлетворяющее уравнению (1). При x = 1, 2, 3 целых значений y, удовлетворяющих уравнению (1), нет, а при x = 4 получается y = 22.
Ответ: 4 часа 22 мин.
ЗАДАЧА 2
Решите уравнение:
Исходному уравнению удовлетворяют корни уравнения
(x3 + 6x2 - 6x - 1)2 = (x2 + 4x + 1)3
(полученного из исходного возведением обеих частей в шестую степень), для которых
x3 + 6x2 - 6x - 1 $ 0.
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, приходим к уравнению
x4 + 6x3 + x2 = 0,
из которого следует, что
либо x = 0 (посторонний корень);
либо x2 + 6x + 1 = 0, то есть
Для двух последних кандидатов в ответы выполняется равенство
x3 + 6x2 = - x,
поэтому для них
x3 + 6x2 - 6x - 1 = - 7x - 1.
Условие (1) для этих значений x означает, что x # # -(1/7). Легко проверить, что оба найденных корня удовлетворяют последнему неравенству и поэтому являются корнями исходного уравнения.
Ответ:
ЗАДАЧА 3
Чему может равняться угол В треугольника АВС, если известно, что расстояние между основаниями высот, опущенных из вершин А и C, равно половине радиуса описанной около этого треугольника окружности?
Пусть A1 и C1 - основания высот треугольника АВС, проведенных из вершин А и С соответственно, - B = b, а R - радиус описанного около АВС круга. Независимо от вида треугольника АВС треугольник А1ВС1 ему подобен. Для доказательства достаточно заметить, что треугольники АА1В и СС1В прямоугольные с углом при вершине В, равным b, если b < 90?, и 180? - b при b > 90?. Во всех случаях
Так как, по условию, А1С1 = R /2, а по теореме синусов AC = 2R sin b, получаем уравнение
2 sin b | cos b | = 1/2,
Если b < 90?, то из (1)
sin 2b = 1/2.
откуда 2b = 30? или 2b = 150?, то есть b = 15? либо b = 75?. При b $ 90? получаем уравнение
sin 2b = -1/2.
откуда 2b = 210? либо 2b = 330?.
Ответ: 15?, 75?, 150?, 165?.
ЗАДАЧА 4
Изобразите на плоскости (p; q) все точки с координатами (p; q), для которых уравнение sin2 x + p sin x + q = 0 имеет решение и все его положительные решения образуют арифметическую прогрессию.
Выполнив замену t = sin x, приходим к уравнению
t 2 + pt + q = 0.
Пусть t1 и t2 - корни этого уравнения. Тогда исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
sin x = t1 и sin x = t2 .
Корни уравнения sin x = t1 образуют арифметическую прогрессию лишь при t1 = -1, t1 = 0 и t1 = 1. Если при этом
| t2 | > 1 или t2 = t1 или t2 = - t1 ,
решения совокупности (2) образуют арифметическую прогрессию. Выясним, при каких значениях p и q это возможно.
При t1 = 0 имеем q = 0, а t2 = - p. Если | p | > 1 или p = 0, решения совокупности (2) образуют арифметическую прогрессию x = pn (n k N ). Подставляя t1 = 1 в уравнение (1), получаем
1 + p + q = 0.
При этом t2 = q и удовлетворяет условиям (3), если | q | $ 1. Таким образом, получаем систему
Если t1 = -1, аналогично получаем к систему
Далее, если корни t1 и t2 не равны нулю, различны, имеют одинаковые знаки и по модулю не больше 1, положительные решения совокупности (2) не образуют арифметическую прогрессию, что легко обнаружить, заметив, что в одном из промежутков (0; p) и (p; 2p) содержится не менее трех решений, а в другом - ни одного.
Пусть теперь t1 и t2 имеют разные знаки, причем
Изобразим точками А, В, С и D (рис. 1, а) на единичной окружности решения совокупности (2). Эти решения образуют арифметическую прогрессию лишь тогда, когда равны дуги АВ, ВС, СD и АD, то есть когда указанные точки - вершины квадрата, вписанного в единичную окружность, со сторонами, параллельными осям координат. Это значит, в свою очередь, что
то есть
p = 0, q = t1 " t2 = -1/2.
Если t1 = 1, а -1 < t2 < 0, на единичной окружности образуются три точки - А, В и С (рис. 1, б ) и условия задачи выполняются при равенстве дуг АВ, ВС и АС, то есть при t2 = -1/2. При этом решения исходного уравнения записываются так:
x = (p /2) + (2pn /3), n $ 0.
Аналогично при t1 = 1/2, t2 = -1 точки А, В, С (рис. 1, в) тоже располагаются в вершинах правильного треугольника и решения исходного уравнения имеют вид
x = (p /6) + (2pn /3).
Ответ: см. рис. 1, г.
ЗАДАЧА 5
На плоскости проведены три луча с общим началом, разбивающие плоскость на три угла. Внутри каждого из углов отмечено по одной точке. С помощью одной линейки постройте треугольник, вершины которого лежат на данных лучах, а стороны содержат заданные точки.
Предположим, что задача решена (рис. 1, а). Заметим, что полученную картинку можно рассматривать как проекцию трехгранного угла на плоскость чертежа. При этом искомый треугольник KLM будет проекцией сечения этого трехгранного угла плоскостью, проходящей через точки, проекциями которых являются данные точки А, В и С.
Все наши построения будут производиться на плоскости, хотя в рассуждениях будут фигурировать пространственные соображения.
Пусть P, Q, R - какие-нибудь точки на ребрах трехгранного угла - рис. 1, б. Плоскость PQR отсекает от трехгранного угла тетраэдр (треугольную пирамиду), на гранях которого лежат данные точки. Мы должны провести сечение трехгранного угла, проходящее через точки А, В и С.
Пусть лучи ОА, ОВ и ОС пересекают стороны треугольника PQR в точках A1 , B1 и C1 соответственно. Плоскости A1OC1 и POB1 пересекаются по прямой, проходящей через точку О и пересекающей плоскость PQR в некоторой точке G. Луч OG лежит в плоскости AOC и проходит внутри угла AOC. Поэтому он пересекает AC в некоторой точке F. Прямая BF принадлежит плоскостям POB и ABC. При этом если BF пересекает луч OP в некоторой точке M, а прямые MA и MC пересекают лучи OQ и OR в точках K и L соответственно, то треугольник KLM и будет искомым сечением трехгранного угла.
Теперь опишем построение на данной плоскости. На данных лучах выбираем произвольные точки P, Q и R. Проводим лучи OA, OB и OC, пересекающие стороны PQ, QR и RP в точках A1 , B1 , C1 соответственно. Проводим PB1 и A1C1 . Они пересекаются в точке G, проводим прямую OG. Пусть F - точка пересечения OG и AC. Проводим прямую BF. Если эта прямая не пересекает луч OP, задача не имеет решения. Если M - точка пересечения OP и BF, проводим MA и MC. Если MA параллельна OQ или MC параллельна OR, задача тоже не имеет решения. Наконец, если K и L - точки пересечения лучей MA и MC с OQ и OR соответственно, то треугольник KLM искомый.
Замечание. Мы видели, что задача 5 не всегда имеет решение. Так будет, например, если сечение трехгранного угла плоскостью АВС - неограниченная фигура (рис. 1, в, г; на рис. 1, в вообще нет треугольника - точка М "улетела" в бесконечность: лучи КА и LC параллельны; на рис. 1, г точка В лежит на стороне KL треугольника KLM, а точки А и С - на продолжениях сторон КМ и ML соответственно).
ЗАДАЧА 6
Человек заблудился в большом лесу, граница которого - прямая линия. (Можно считать, что лес заполняет полуплоскость.) Известно, что расстояние от человека до границы леса не превышает 2 км. а) Предложите путь, двигаясь по которому он наверняка сможет выйти из леса, пройдя не более 14 км. (Безусловно, человек не знает, в каком направлении находится граница леса, но имеет возможность двигаться по любой, заранее выбранной кривой. Считается, что человек вышел из леса, как только достиг его границы, при этом граница леса является для него невидимой, сколько бы близко он к ней ни подошел.) б) Найдите путь с таким же свойством и длиной не более 13 км.
Приведем решение сразу для случая б. Из точки O, в которой находится человек, проводим произвольный луч l. Рассмотрим путь, показанный на рис. 1, а: из точки O в точку A по прямой, образующей с l угол p /6 (OA = ), далее из точки A по отрезку AB касательной к окружности с центром в точке O радиуса 2 км (), далее по дуге BDC окружности (длина этой дуги 2 " (7p /6) = = 7p /3), далее по отрезку CE касательной к окружности (CE = 2).
Указанный путь гарантирует выход из леса, так как имеет общие точки с любой касательной к окружности (то есть с границей леса). Длина этого пути равна
Более длинный путь, меньший 14 км, изображен на рис. 1, б.
ЗАДАЧА 1
Петя вскапывает грядку один на a мин дольше, чем он это делает вместе с Васей. Вася вскапывает ту же грядку на b мин дольше, чем он это сделал бы вместе с Петей. За сколько минут вскапывают ту же грядку Вася и Петя вместе?
Обозначим через t (мин) - искомое время (t > 0). Так как за 1 мин, работая вместе, ребята вскопают часть грядки, равную , то
или t(2t + (a + b)) = t 2 + (a + b)t + ab. Значит, нужно найти положительный корень уравнения t 2 = ab.
Ответ:
ЗАДАЧА 2
Найдите все значения параметра a, при которых существует ровно 1998 целых x, удовлетворяющих неравенству х2 - pх + a < 0.
Пусть Так как то, для того чтобы в решения неравенства попали ровно 1998 целых чисел, необходимо и достаточно, чтобы парабола y = f (x) расположилась так, как указано на рис. 1.
То есть в решения неравенства попадает x = - 997, значит, и x = 1000 и не попадает x = 1001. Значит, искомые значения a являются решениями системы
Ответ: 1001p - 10012 # a < - 997p - 9972,
подробнее: 1001p - 1 002 001 # a < - 997p - 994 009.
ЗАДАЧА 3
Изобразите на координатной плоскости множество точек M(x, y), координаты которых удовлетворяют уравнению sin x cos2 y + sin y cos2 x = 0.
Переписав уравнение, получаем
0 = sin x(1 - sin2 y) + sin y(1 - sin2 x) = sin x - sin x sin2 y + + sin y - sin y sin2 x = (sin x + sin y)(1 - sin x sin y).
Значит,
1) sin x + sin y = 0 или sin y = - sin x = sin(- x), то есть
y = (-1)n(- x) + np = (-1)n + 1x + np, n = 0, ? 1, ? 2, _
2) 1 - sin x sin y = 0 или sin x sin y = 1, то есть
(I)
поэтому k, m = 0, ?1, ? 2, _
(II)
поэтому l, p = 0, ?1, ? 2, _
ЗАДАЧА 4
Найдите наибольшее значение площади проекции цилиндра на плоскость, если его радиус равен r, а высота h (проекция ортогональная).
Пусть ось цилиндра O1O2 образует угол a с плоскостью p, которая пересекает одно из оснований цилиндра по диаметру AB. Плоскость, содержащая AB и O1O2 , пересекает цилиндр по прямоугольнику ABCD (CD || p) (рис. 1).
Тогда проекция цилиндра на плоскость p состоит из прямоугольника ABC 'D ' и проекции двух полукругов оснований AnB и DmC.
Так как угол между плоскостью p и плоскостью ABCD равен a, то
SABC 'D ' = SABCD cos a = 2rh cos a,
так как угол между плоскостями оснований цилиндра и p равен 90? - a, то
SAn'B + SD 'm'C ' = SAпB cos (90? - a) + SDmC cos (90? - a) = = Sосн. цил cos (90? - a) = pr 2 sin a.
Значит, площадь проекции цилиндра на плоскость p
S(a) = 2rh cos a + pr 2 sin a,
Вводя вспомогательный угол , получаем
Значит, максимальное значение площади проекции равно и достигается при a = j.
Ответ:
ЗАДАЧА 5
Найдите все целые n, для которых log2n - 1 (n2 + 2) является рациональным числом.
Пусть log 2n - 1(n2 + 2) - рациональное число вида log 2n - 1(n2 + 2) = d / q. Так как n2 + 2 > 2n - 1 при любом n, то при любом n $ 2 log 2n - 1(n2 + 2) > 1. Значит, d и q - натуральные числа и (n2 + 2)q = (2n - 1)d, то есть у n2 + 2 и 2n - 1 одинаковые простые делители.
Если p - общий делитель n2 + 2 и 2n - 1, то
где N и M - натуральные. Исключим в левой части n. Для этого первое равенство домножим на 4, а второе - на (2n + 1) и вычтем почленно одно из другого. Получим 9 = 4(n2 + 2) - (2n + 1)(2n - 1) = (4N - - (2n + 1)M )p = kp, где k - целое. Значит, p - делитель 9, то есть p = 3 и числа n2 + 2, 2n - 1 являются степенями тройки. Поэтому n = 2, 3, 4 не подходят. При n = 5 будет log 2n - 1(n2 + 2) = 3/2. Если же n > 5, то n2 + 2 > 27, 2n - 1 $ 11. Значит, n2 + 2, являясь степенью тройки, делится на 27, а 2n - 1, будучи степенью тройки, на 27 не делится, так как.
9 = 4(n2 + 2) - (2n + 1)(2n - 1).
Поэтому 2n - 1 # 9, то есть при n > 5 log 2n - 1(n2 + 2) - иррациональное число.
Ответ: n = 5.
ЗАДАЧА 6
Известно, что биссектриса угла ADC вписанного четырехугольника ABCD проходит через центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Пусть М - произвольная точка дуги АС, описанной около ABCD окружности, содержащей точку D. Обозначим через P и Q центры окружностей, вписанных в треугольники ABM и BCM. Докажите, что все получающиеся при перемещении точки М треугольники DPQ подобны между собой. Найдите угол PDQ и отношение DP : DQ, если - ВАС = a, - ВСА = b.
Пусть - ABC = g = p - (a + b) (см. рис. 1). Тогда и - ADC = p - g. Значит, j = = и - AOC + - ODC = p, то есть - AOD + - DOC + - ODC = p. Из D OCD имеем - OCD + - DOC + - ODC = p. Поэтому - AOD = - OCD и D AOD ~ D OCD (- ADO = j = = - ODC ), их коэффициент подобия k равен Так как - AMB = - ACB = b и P - центр вписанной в D ABM окружности, то
Значит, точка P лежит на дуге AOB (P между A и O ). Аналогично точкаQ лежит на дуге COB (Q между C и O ). Покажем, что дуги AP и OQ имеют одинаковую градусную меру. Действительно, так как и , то - PBQ = = Значит, - ABP = - ABQ - - PBQ = = Так как - ABO = - OBC, то дуги APO и OQC имеют одинаковые градусные меры и радиусы окружностей этих дуг таковы, что
Повернем плоскость вокруг точки D (по часовой стрелке) на угол j и произведем гомотетию с центром в точке D и коэффициентом k. При этом точка A перейдет в точку O ; точка O - в точку C ; окружность gAPOB перейдет в окружность, проходящую через точки O и C и так как , то gAPOB перейдет в окружность gBOQC , а так как градусные меры дуг AP и OQ одинаковые, то точка P перейдет в точку Q.
Значит,
Ответ:
Материалы подготовили И.Ф. Шарыгин, И.В. Ященко, С.М. Львовский, А.Х. Шень, А.А. Егоров,
Ж.М. Раббот, В.Б. Алексеев, В.С. Панферов.
