|
|
Статьи Соросовского Образовательного журнала в текстовом формате
9 КЛАСС
ЗАДАЧА 1
Точно в 12 часов 00 минут начинается забег (заполз) улитки вдоль прямой. Первые 45 минут каждого часа она ползет с постоянной скоростью 1 см/мин, потом отдыхает неподвижно 10 минут, а затем 5 минут ползет назад со скоростью 1 см/мин (никто не знает, зачем она так делает). В какое время улитка финиширует, если длина дистанции ровно 2 метра ?
За каждый час улитка смещается на 45 - 5 = 40 см. Однако в последний, пятый час движения ей необязательно ползти назад - финиша она достигнет раньше - через 40 минут после начала часа. Итак, улитка финиширует в 16 часов 40 минут.
ЗАДАЧА 2
В школьном спортивном зале играют в волейбол. Верхний край сетки находится на высоте 2 метра над полом, потолок - на высоте 4 метра (бывают залы и похуже!). Игрок в падении отбивает мяч практически с уровня пола, на расстоянии 2 метра от разделительной линии (она проходит под сеткой). Может ли мяч при этом перелететь через сетку и попасть в аут, не ударяясь до этого о потолок и пол? Длина половины площадки 10 метров. Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с2, сопротивлением воздуха пренебречь.
Будем считать, что мяч движется в плоскости, перпендикулярной сетке. Для выполнения условий задачи мяч должен пролететь над сеткой и, не коснувшись потолка, улететь за пределы площадки. Рассмотрим "предельную" траекторию мяча, приняв его за материальную точку: траектория касается потолка и заканчивается точно на краю площадки - в этом случае высота траектории Н = 4 м, расстояние по горизонтали от точки броска до точки падения L = 12 м. Если эта траектория проходит над сеткой, то все в порядке, а если нет - придется еще подумать...
Удобно анализировать половину траектории - от верхней точки до точки падения, вертикальная скорость в точке касания потолка равна нулю, при этом время полета составит Т = (2H / g)0,5. Расстояние по горизонтали от верхней точки до интересующей нас точки (симметричной сетке по горизонтали относительно середины траектории) равно 4 метра, половина траектории по горизонтали составляет 6 метров, значит, время полета до этой точки равно 2Т /3, точка за это время опустится по вертикали на 4Н /9, что составляет меньше половины высоты, а расстояние по вертикали от потолка до сетки равно половине этой высоты. Итак, мяч может при заданных условиях попасть в аут.
ЗАДАЧА 3
На горизонтальной подставке с коэффициентом трения k находятся два одинаковых больших бруска массы М каждый, связанные легкой нерастяжимой натянутой нитью (рис. 1). На гладкой верхней грани первого из брусков находится небольшой гладкий грузик массы m. Подставку двигают в горизонтальном направлении с большой скоростью, направленной параллельно нити в сторону первого бруска (того, что с грузиком). Найти силу натяжения нити, связывающей движущиеся тела, и побыстрее - пока грузик не свалился.
Брусок с грузиком давит на подставку с силой N1 = (M + m)g, второй брусок давит с силой N2 = Mg. Из условия задачи ясно, что проскальзывание есть - подставку двигают очень быстро, бруски за время решения задачи не смогут набрать такой скорости (или грузик успеет упасть_). Во всяком случае, будем считать, что сила трения, которая действует со стороны подставки на "тяжелый" брусок в сторону движения подставки, равна F1 = kN1 , на "легкий" брусок действует в ту же сторону сила трения F2 = = kN2 , при этом грузик по горизонтали не ускоряется и без нити "тяжелый" брусок двигался бы с большим ускорением. Это означает, что нить остается натянутой и ускорения брусков одинаковы. Для определения силы натяжения нити Т получим уравнения:
отсюда
ЗАДАЧА 4
Длинный цилиндрический пруток составлен из двух плотно прижатых друг к другу торцами кусков равного диаметра, сделанных из разных металлов; длина одного из них вдвое больше, чем другого. Боковая поверхность прутка теплоизолирована. Один торец прутка поддерживают при температуре + 100?С, другой - при температуре + 200?С. Установившаяся температура середины получившегося прутка равна при этом + 160?С. Чему равна температура в месте соединения прутков? Какая была бы температура в середине прутка, если бы его части имели одинаковые длины?
В условии задачи не указано, какой именно торец находится при температуре 100?С, а какой - при 200?С, поэтому нам придется рассмотреть оба случая. Пусть температура торца длинного бруска равна 100?С, а температура свободного торца короткого прутка 200?С.
Через любое поперечное сечение прутков в установившемся режиме проходит одинаковое количество тепла, следовательно, вдоль каждого прутка температура меняется по линейному закону (но "наклоны" будут различны). Из чертежа видно, что расстояние от торца с температурой 100?С до середины всего прутка с температурой 160?С ровно в 3 раза больше расстояния от середины до места соединения прутков - с температурой Тх . Из простой пропорции видно, что Тх = 180?С. На "удвоенной" длине перепад температур равен 80?С, а перепад температур между торцами короткого прутка при этом составляет 20?С. Ясно, что при одинаковых длинах прутков отношение разностей температур составит 40 : 20 = 2 : 1 и температура в середине составит 100 + 2 " 100/3 © 167?С.
Аналогичный расчет для второго случая дает температуры точки соединения прутков 440/3 © © 147?С и середины при равных длинах прутков 100 + 7 " 100/11 © 164?С.
ЗАДАЧА 5
В схеме на рис. 1 вольтметры одинаковые, миллиамперметры тоже одинаковые. Показания вольтметров 3 В и 5 В, показания миллиамперметров 5 мА и 1 мА. Напряжение батарейки 9 В, батарейка идеальная. Найдите по этим данным сопротивления резисторов и сопротивления измерительных приборов (если они окажутся совсем не идеальными - не удивляйтесь!).
Сопротивление миллиамперметра можно определить сразу - напряжение "верхнего" миллиамперметра составляет 9 - 3 - 5 = 1 В, при этом ток через него 5 мА, тогда его сопротивление r = 0,2 кОм. "Нижний" вольтметр показывает напряжение 5 В, "верхний" вольтметр показывает 3 В - при этом ток нижнего на 1 мА больше, чем верхнего (добавляется ток "нижнего" миллиамперметра). Отсюда сразу получится сопротивление вольтметра R = 2 кОм. Тогда ток через верхний вольтметр составит 1,5 мА, а значит, через верхний резистор протекает ток 5 - - 1,5 = 3,5 мА. Напряжение на этом резисторе найти легко - при токе 1 мА напряжение между выводами миллиамперметра составит 0,2 В (при токе 5 мА такой же миллиамперметр "съедал" 1 В), тогда напряжение верхнего резистора будет равно 3 - 0,2 = 2,8 В и его сопротивление составит R1 = 0,8 кОм. Аналогично, ток нижнего резистора 3,5 - 1 = 2,5 мА и напряжение на нем 5 + 0,2 = 5,2 В. Тогда его сопротивление R2 = 2,08 кОм.
ЗАДАЧА 1
На горизонтальной подставке с коэффициентом трения k находятся два одинаковых больших бруска массы М каждый, связанные легкой нерастяжимой натянутой нитью (рис. 1). На гладкой верхней грани первого из брусков находится небольшой гладкий грузик массы m. Подставку двигают в горизонтальном направлении с большой скоростью, направленной параллельно нити в сторону первого бруска (того, что с грузиком). Найти силу натяжения нити, связывающей движущиеся тела, пока грузик не свалился.
См. решение задачи 3 из IX класса.
ЗАДАЧА 2
На гладком горизонтальном столе покоится тележка массы М, по дну тележки может скользить без трения груз такой же массы, прикрепленный к боковой стенке горизонтальной легкой пружинкой жесткости k (рис. 1). Кубик массы М наезжает на тележку со скоростью V0 и мгновенно прилипает. Чему равна разность между максимальной и минимальной длинами пружинки при движении?
При ударе двух тел, описанном в условии задачи, часть кинетической энергии переходит в тепло; поэтому тут нельзя непосредственно использовать закон сохранения механической энергии. Но можно поступить иначе: вначале рассчитать удар со "слипанием", а уже потом вести расчет энергий. Итак, после того как закончился кратковременный удар (учтем, что грузик на пружинке за это короткое время не успел сместиться и набрать скорость), скорости грузов можно найти из закона сохранения импульса: V = V0 /2 и кинетическая энергия системы В моменты максимального и минимального растяжения пружинки скорость груза равна скорости тележки с прилипшим к ней грузом, то есть составляет V0 /3 (опять закон сохранения импульса). При этом кинетическая энергия системы равна и энергия пружинки равна разности этих значений, то есть Отсюда можем найти разность между максимальной и минимальной длиной пружинки при движении:
L = 2Х = V0(2M /3k)0,5.
ЗАДАЧА 3
В глубоком космосе, на большом расстоянии от всех других тел, движется длинная цилиндрическая труба, запаянная с одного конца. Неподалеку от этого конца приклеен поршень массы М = 1 кг, отделяющий от окружающего вакуума 1/100 полного объема трубы. В этой части трубы находится небольшая порция азота при температуре Т = 300 К (должно быть, ее кто-то нагрел перед самой олимпиадой) и давлении Р = 0,5 атм. В некоторый момент поршень отклеивается и под давлением газа начинает скользить без трения вдоль трубы. Определите, через какое время после начала движения поршень вылетит из трубы. Длина трубы L = 5 м, площадь поперечного сечения S = 100 см2, масса трубы в 10 раз больше массы поршня.
Будем считать, что труба не вращается - иначе решение задачи усложнится (хотя при заданных массах трубы и груза разница будет незначительной). Газ при расширении охлаждается, его внутренняя энергия переходит в кинетическую энергию трубы и поршня (масса газа оказывается очень малой и при расчете кинетической энергии и импульса с нею можно не считаться). Объем газа увеличивается во много раз, приток тепла отсутствует - можно считать, что температура его в конце процесса совсем мала и в кинетическую энергию переходит практически вся его внутренняя энергия:
U = 2,5nRT = 2,5PV = 2,5PSL /100 =
= 2,5 " 5 " 104 " 0,01 " 0,05 = 62,5 Дж.
При отношении масс 10 : 1 тяжелая труба получит 1/11 часть общей энергии, а поршень получит 10/11 от энергии газа, то есть его энергия в конце Е © 56,7 Дж. Это соответствует скорости поршня V = = (2E / M )0,5 © 10,7 м/с. Скорость трубы при этом направлена в противоположную сторону и равна 0,1V = 1,07 м/с. Если бы с самого начала скорости были такими, поршень вылетел бы из трубы через время t = 0,99L /(1,1V ) © 0,42 с.
Оценим время набора скорости. Если оно окажется существенно меньшим, чем вычисленная нами величина, то ответ можно считать полученным (строго говоря, скорость увеличивается все время - до самого вылета, но все медленнее и медленнее, а нас интересует приближенное значение). Итак, в самом начале движения на поршень действует сила F = PS и его начальное ускорение a = PS / M = 5 " 104 i i 0,01/1 = 500 м/с2. Если бы ускорение не менялось, поршень набрал бы свою скорость за время 0,02 с, что существенно меньше времени процесса, рассчитанного выше. Понятно, что скорость будет практически достигнута через время, которое в несколько раз больше полученного интервала 0,02 с, но и им можно для оценки пренебречь. Итак, время до вылета поршня составляет примерно 0,4 секунды.
ЗАДАЧА 4
Электрическая цепь (рис. 1) составлена из большого количества одинаковых звеньев. Каждое такое звено состоит из двух резисторов. К "началу" цепи подключен источник постоянного напряжения U = 12 В. Идеальный амперметр подключают параллельно первому резистору цепи (между точками А и Б ), он показывает силу тока I1 = 5 мА. Если тот же амперметр подключить между точками Б и В (второй из резисторов), то он покажет I2 = 2 мА. Определить по этим данным сопротивления резисторов одного звена.
Сопротивление резистора из горизонтального ряда найти совсем просто: когда амперметр включен между точками Б и В, все напряжение источника приложено к этому резистору, измеряемый ток течет через этот резистор - его сопротивление R = = U / I2 = 6 кОм. Найти сопротивление "вертикального" резистора сложнее - при подключении амперметра между А и Б он показывает сумму токов этого резистора и всей остальной "бесконечной" цепи. Обозначим сопротивление этой цепи Х, тогда I1 = U / r + U / X = U(r + X )/rX . Сопротивление Х можно выразить известным способом: при добавлении одного звена к такой длинной цепочке ее сопротивление не должно практически измениться:
X = R + rX /(r + X ).
Нам не нужно находить величину Х, достаточно увидеть, что rX /(r + X ) = X - R. Тогда rX /(r + X ) = = X - R = U / I1 = 2,4 кОм. Отсюда Х = 8,4 кОм и r = 3,36 кОм.
ЗАДАЧА 5
Конденсатор емкости С состоит из двух параллельных пластин, находящихся на малом расстоянии друг от друга (рис. 1). Конденсатор зарядили до напряжения U0 и отключили от источника напряжения. Посредине между пластинами этого конденсатора параллельно вставлена еще одна пластина, и еще одна пластина расположена параллельно снаружи от заряженного конденсатора так, что эти дополнительные пластины образуют точно такой же конденсатор. Дополнительные пластины соединяют между собой проводником, имеющим большое сопротивление. Какое количество тепла выделится в этом проводнике?
После отсоединения источника напряжения заряды пластин не меняются и энергия системы E1 = = После введения еще двух пластин и соединения их между собой на этих пластинах произойдет перераспределение зарядов и их потенциалы станут равными. У нас получатся три заряженных конденсатора (рис. 2; указаны заряды Q и q пластин), емкость каждого из них равна 2С (расстояние между обкладками полученных конденсаторов в два раза меньше, чем у исходного). Поля в точках А и Б равны по величине и противоположны по направлению, поле в точке А равно сумме полей исходных зарядов пластин первого конденсатора и "новых" зарядов, поле в точке Б создается только "новыми" зарядами - ясно, что их поле составит ровно половину поля исходных зарядов. Итак, один из получившихся конденсаторов заряжен до напряжения U0 /2 (прежнее поле, половина расстояния между пластинами), два других - до напряжений U0 /4 и - U0 /4 (поля в этих конденсаторах в два раза меньше). Общая энергия теперь составляет
ЗАДАЧА 1
Через легкий блок (рис. 1), закрепленный на большой высоте Н над горизонтальной поверхностью земли, переброшена гибкая веревка, концы которой сложены внизу двумя "бухтами", которые не препятствуют движению. С одной стороны за веревку ухватился человек массы М, который быстро перебирает руками, стараясь висеть на одной высоте над землей. При некоторой установившейся скорости движения веревки это ему удается. Найти эту скорость. Масса одного метра веревки r. Ускорение свободного падения g. Трение в блоке отсутствует.
Веревка с двух сторон блока уравновешена, "избыточная" сила определяется весом человека и равна Mg. В установившемся режиме эта сила "вытягивает" веревку из бухты с противоположной стороны блока, сообщая импульс вытянутым кускам. Пусть скорость установившегося движения составляет u, тогда за время t длина веревки, вступившей в движение, составит u t, масса этой веревки ru t, изменение импульса этой веревки ru2t. Приравняем эту величину к произведению "избыточной" силы на интервал действия: ru2t = Mgt. Тогда скорость u = = (Mg / r)0,5.
ЗАДАЧА 2
На легкой нити к потолку подвешен груз М (рис. 1), к нему на очень легкой пружинке жесткости K прикреплен груз массы m. Система вначале неподвижна. Нить пережигают, и грузы начинают падать в однородном поле силы тяжести. Чему равна разность между максимальным и минимальным значениями длины пружины? Через какое время после пережигания нити натяжение пружинки в первый раз станет нулевым? Считайте, что за время, необходимое для решения задачи, грузы еще не упадут на пол. В процессе движения грузы не стукаются друг о друга.
После пережигания нити система начинает падать, ускорение центра масс равно g, но движение грузов относительно друг друга связано только с силой упругости пружинки. Это позволяет поместить два груза, связанные пружинкой, на гладкую горизонтальную поверхность, растянуть пружинку на Х = mg / K и предоставить самой себе. Очень легко ответить на первый вопрос - разность между максимальной и минимальной длиной пружинки DL = = 2X = 2mg / K. На второй вопрос ответить немного труднее. Центр масс системы остается на месте (мы положили систему на горизонтальный стол, и ее скорость в начальный момент была нулевой). Это означает, что каждый из грузов движется под действием "своей" части пружины - от центра масс до соответствующего груза. Получившиеся куски имеют большую жесткость, чем "исходная" пружина, - жесткость куска, присоединенного к грузу m, составит K1 = K(M + m)/ M, жесткость второго куска K2 = = K(M + m)/ m. Ясно, что грузы движутся в противофазе, период колебаний составляет T = 2p(m / K1) = = 2p(M / K2) = 2p[mM / K(M + m)]0,5. Искомое время равно четверти периода:
ЗАДАЧА 3
В сосуде объема V = 10 литров находится воздух при нормальных условиях. Снаружи - вакуум. В стенке сосуда на время t = 1 секунда открывается небольшое отверстие площади S = 0,1 см2 и сразу после этого закрывается. Оценить количество вылетевших за это время молекул и среднюю энергию, приходящуюся на одну вылетевшую молекулу. (Кстати, воздух - смесь двухатомных газов.)
Оценим число вылетевших из сосуда молекул и сравним его с полным числом молекул газа. Если вылетевшая часть велика, то решение задачи сильно усложнится. Число вылетевших молекул посчитаем так же, как обычно считают число ударов молекул о стенки сосуда: Nуд = 0,5SuxtN / V. Скорость, точнее, компоненту скорости молекулы вдоль заданного направления оценим через энергию поступательного движения молекул (среднеквадратическое значение):
Итак, за это время вылетела часть Nуд / N = 0,5Suxt / V © © 0,14 (здесь N - число молекул в сосуде). Видно, что для оценки можно считать неизменными давление газа в сосуде и его температуру (впрочем, можно сделать небольшие поправки, пользуясь для расчетов средними значениями). Число молекул в сосуде N = NAPV / RT, NA - число Авогадро. Тогда число вылетевших молекул
При обычных условиях длина свободного пробега молекул в воздухе очень мала, поэтому истечение молекул из отверстия скорее напоминает движение "сплошной среды": молекулы движутся в заданном направлении толкая друг друга, но практически не обгоняя одна другую. Тогда мы можем выделить в сосуде ту область около отверстия, из которой молекулы успеют "эмигрировать". Обозначим объем этой области V1 , тогда для этих молекул можно записать уравнение состояния: PV1 = n1RT. Вылетая наружу, эти молекулы имеют в среднем большую энергию, чем оставшиеся в сосуде - над этой порцией газа совершил работу окружающий газ, выталкивая порцию наружу. Если считать давление газа в сосуде неизменным, то работа эта равна A = PV1 . Тогда энергия этой порции газа станет равной (смесь двухатомных газов)
U = 2,5n1RT + A = 3,5n1RT.
На одну молекулу приходится энергия
Если учитывать падение давления, то эта величина получится немного меньше - примерно 3,4kT.
ЗАДАЧА 4
Конденсатор емкости С заряжен до напряжения U0 (рис. 1). К нему подключают катушку индуктивности L. В некоторый момент к выводам катушки подключают цепочку из параллельно соединенных катушки 2L и резистора с большим сопротивлением R. Какое количество тепла выделится в резисторе? Зависит ли эта величина от момента подключения цепи к катушке? Считайте элементы цепи идеальными.
Пусть подключение произошло в тот момент, когда ток через катушку был равен I. В тепло перейдет при этом не вся энергия, запасенная контуром, - часть энергии останется в виде энергии магнитного поля тока, протекающего по контуру из двух идеальных катушек. Найдем эту энергию. Магнитный поток через сверхпроводящий контур, составленный из двух катушек, не изменяется. Если катушки расположены далеко друг от друга (или специально повернуты нужным образом), то можно пренебречь магнитным потоком, который создается полем одной катушки, пронизывающим другую (взаимной индукцией). В этом случае LI = LI1 +2LI1 , отсюда I1 = I/3. Энергия магнитного поля в этих двух катушках: Итак, в тепло перешла разность энергий конденсатора (энергия системы в начальный момент) и энергией катушек, то есть Видно, что при подключении цепочки в момент нулевого тока через катушку в тепло уйдет вся энергия, минимальное количество тепла выделится при максимальном токе катушки, который можно определить из соотношения При этом в контуре останется треть начальной энергии и в тепло перейдет две трети, то есть
ЗАДАЧА 5
К простой цепи, собранной из двух резисторов R = 1 кОм и двух конденсаторов емкости С = 1 мкФ (рис. 1), подведено напряжение сети 220 В, 50 Гц. Амперметр в схеме имеет очень маленькое сопротивление. Найти показания амперметра. Обычные приборы переменного тока градуируются в эффективных (действующих) значениях.
Амперметр по условию имеет пренебрежимо малое сопротивление, поэтому его можно заменить куском провода. Сразу видно, что последовательно к сети подключены две одинаковые цепочки, при этом напряжение на каждой из них составляет 110 В. Ток через резистор IR = U /2R = 110 мА, ток через конденсатор IC = U /2XC © 35 мА. Амперметр показывает разность токов "верхнего" резистора и "нижнего" конденсатора, с учетом сдвига фаз нужно находить результирующий ток по теореме Пифагора:
