|
|
Статьи Соросовского Образовательного журнала в текстовом формате
Статья содержит введение в теорию обобщенных функций. Приводится строгое определение обобщенной функции. Особое внимание уделено дельта-функции. Приведены примеры дельтаобразных последовательностей функций. Дано определение производной от обобщенной функции. Доказано, что производная функции Хевисайда равна дельта-функции.
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИМ. И. ВИШИК
Московский государственный университет
им. М.В. Ломоносова
Новые задачи физики и математики, возникшие в XX столетии, привели к определению нового понятия функции - обобщенной функции или распределения. Обычное понятие функции, которое ставит в соответствие каждому значению x (из некоторой области определения этой функции) соответствующее ему значение y, оказалось недостаточным. В физике уже давно употребляются сингулярные функции, которые не могут быть корректно определены в рамках классической теории функций. Простейшим примером сингулярной функции является дельта-функция d(x - x0): она, по определению физиков, равна нулю всюду, кроме одной точки x0 , в которой она равна бесконечности, и обладает интегралом по всей оси x, равным единице. Очевидно, такое определение неприемлемо для математиков. Цель статьи - дать строгое определение некоторого класса обобщенных функций, привести примеры и результаты из теории обобщенных функций.
Строгая математическая теория обобщенных функций была построена С.Л. Соболевым, Л. Шварцем и другими математиками. С.Л. Соболев впервые разработал теорию обобщенных функций в связи с исследованием гиперболических уравнений (1937, см. [5]). Л. Шварц, развивая теорию обобщенных функций (которые он называл распределениями), построил теорию их преобразования Фурье. Большое внимание он уделил их приложениям к математическому анализу и дифференциальным уравнениям (1950). В настоящее время эта теория нашла приложения почти во всех областях математики и ее приложений, физике и других областях естествознания (см. [1, 2]).
РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ
ОБЫЧНЫХ ФУНКЦИЙ
Скажем, что y = f (x) является обычной функцией, если каждому x, - ? < x < + ?, поставлено в соответствие некоторое значение y. При этом предполагается, что функция f (x) обладает следующими свойствами: 1) она непрерывна для всех значений x, кроме, быть может, конечного числа точек xi , являющихся ее точками разрыва; 2) функция f (x) ограничена на любом конечном интервале [a, b]: | f (x) | # # M (a, b) при a # b; M - постоянная. Мы ограничились для простоты функциями y = f (x), заданными на всей оси - ? < x < + ?.
Будем называть пробной или основной функцией всякую непрерывную финитную функцию j(x), определенную при - ? < x < + ? (функция j(x) называется финитной, если она обращается в нуль вне конечного интервала [c, d]: j(x) = 0 при - ? < < x # c и при d # x < + ?, c < d, причем постоянные c и d зависят от j(x)).
Совокупность таких основных функций j(x) обозначим через C0 (j(x) k C0). Если f (x) - обычная функция, то для любой основной функции j(x) k C0 определен и конечен интеграл:
На самом деле интеграл берется в конечных пределах, так как j(x) = 0 вне конечного интервала. Таким образом, каждой пробной функции j(x) k C0 с помощью формулы (1) сопоставляется число (которое мы обозначим lf (j)), равное значению интеграла от функции f (x) " j(x). Величина l(j), сопоставляющая каждой основной функции j(x) k C0 некоторое число l(j), называется функционалом. Таким образом, величина lf (j), заданная формулой (1), является функционалом от j k C0 . Функционал lf (j) вида (1) называется регулярным функционалом.
Отметим, что регулярный функционал lf (j) вида (1) обладает свойством линейности:
для всех j1 , j2 k C0 , c1 , c2 k R. Функционал lf (j) также обладает следующим свойством непрерывной зависимости от j k C0 :
если jn(x) ╦ j(x) в C0 ,
то lf (jn) lf (j), n + ?.
При этом jn(x) ╦ j(x) в C0 , если выполнены два условия: а) jn(x), n = 1, 2, _, обращаются в нуль вне некоторого конечного интервала [A, B], не зависящего от n; б) {jn(x)} равномерно по x сходятся к j(x) (то есть для любого e > 0 найдется такое N = N(e), что | jn(x) - - j(x) | < e при n $ N и любого - ? < x < + ?). Легко видеть (см.[3]), что для lf (j), определенного (1), соотношение (3) выполнено.
Функционалы l(j), обладающие свойствами (2) и (3), называются короче линейными непрерывными функционалами.
Легко доказать, что если известны значения (1) регулярного функционала lf (j) для всех j k C0 , то ими однозначно определяется обычная функция f (x). Точнее, две обычные функции f1(x), f2(x), различные хотя бы в одной точке x0 , в которой они обе непрерывны, порождают несовпадающие функционалы (см. [1, 2]). Кроме того, если регулярные функционалы , "j k C0 , то f3(x) = f4(x) для любых x, кроме, быть может, точек разрыва f3(x) и f4(x).
Таким образом, обычную функцию y = f (x) можно задать другим способом, а именно задав соответствующий ей функционал lf (j) по формуле (1) при любых пробных функциях j(x) k C0 , то есть задав значения интеграла (1) при всех j(x) k C0 .
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ. ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ
Обобщенной функцией называется любой линейный непрерывный функционал l(j), заданный на C0 , обладающий свойствами, аналогичными (2) и (3):
l(c1j1 + c2j2) = c1l(j1) + c2l(j2),
"c1 , c2 k R, "j1 , j2 k C0
(свойство линейности),
l(jn) l(j), если jn(x) ╦ j(x) в C0
(свойство непрерывности).
Не всякая обобщенная функция l(j) является регулярной, то есть может быть представлена в виде (1). Известно большое количество сингулярных обобщенных функций, не допускающих представление в виде интеграла (1). Таковой является, например, обобщенная функция l(j), задаваемая формулой
l(j) = j(0) "j(x) k C0 .
Проверим, что такой функционал удовлетворяет условиям (4), (5). Свойство линейности (4) для функционала (6), очевидно, выполнено:
l(c1j1 + c2j2) = c1j1(0) + c2j2(0) = c1l(j1) + c2l(j2).
Свойство непрерывности (5) по j функционала l(j) (6) также имеет место: если jn(x) ╦ j(x), n + ?, в C0 , то, в частности, jn(0) j(0) при n + ?. Следовательно,
l(jn) = jn(0) j(0) = l(j).
Таким образом, функционал l(j) = j(0) является обобщенной функцией. Этот функционал принято в физике и математике называть дельта-функцией и обозначать d(j) или бd(x), j(x)с:
j(0) = l(j) = d(j) = бd(x), j(x)с "j(x) k C0 .
Следует, однако, помнить, что любое из этих обозначений выражает лишь тот факт, что d-функция при пробной функции j(x) k C0 равна j(0), например,
бd(x), j(x)с = j(0).
Ниже мы укажем геометрические и физические примеры, приводящие к понятию дельта-функции. По аналогии с обозначением (7) и (8) дельта-функции любую обобщенную функцию l(j) записывают в одном из следующих видов:
l(j) = бl, jс = бl(x), j(x)с.
Вместо "обобщенная функция l(j)" часто говорят "обобщенная функция l или l(x)".
ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД
Пусть дана последовательность обобщенных функций {ln} (то есть функционалов {ln(j)}). По определению, эта последовательность сходится к обобщенной функции l, если для любой основной функции j(x) k C0 выполнено ln(j) l(j) или бln , jс бl, jс при n + ?. Аналогично семейство обобщенных функций le , зависящих от параметра e, | e | # e0 , сходится при e 0 к обобщенной функции l0 , если le(j) l0(j) при e 0 для любой j k C0 .
ДЕЛЬТАОБРАЗНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Можно многими способами строить последовательности регулярных функционалов , сходящихся при n + ? к дельта-функции.
Пример 1. Пусть fn(x), n = 1, 2, _, - обычная функция, задаваемая формулой
Очевидно,
fn(x) 0 при n + ? "x ? 0,
fn(0) + ? при n + ?.
Кроме того,
Покажем, что отвечающие этим обычным функциям функционалы , задаваемые формулой (1), сходятся к дельта-функции бd, jс:
Для доказательства последнего предельного соотношения заметим, что по теореме о среднем из интегрального исчисления (см. [3])
При n + ? имеем cn 0 и в силу непрерывности функции j(x) (j(x) k C0)
j(cn) j(0) при n + ? (cn 0).
Из (14) и (15) следует
при n + ?. Иногда эту формулу записывают короче:
fn(x) d(x) при n + ?,
понимая под этим выполнение предельного соотношения (16).
Пример 2. Рассмотрим семейство обычных функций
(Предлагается нарисовать графики функций fe(x) при малых значениях e > 0.)
Докажем, что
fe(x) d(x) при e + 0,
то есть при любой j(x) k C0
Действительно, пусть 0 < g < 1, A > 0. Имеем
Заметим, что
Сделав в последнем интеграле замену переменной и обозначив , получим, что правая часть (20) равна
При этом мы воспользовались формулой Ньютона-Лейбница и тем, что
Аналогично доказывается, что первый интеграл в (19)
при e + 0.
Второй интеграл в (19)
При этом в первом равенстве в (23) мы воспользовались теоремой о среднем для определенных интегралов, причем
- Aeg < ce < Aeg, следовательно, ce 0
при e + 0.
Во втором равенстве мы, как и выше, сделали замену переменной . В третьем равенстве мы воспользовались формулой Ньютона-Лейбница. Кроме того, в силу (24) ce 0 при e + 0, откуда следует, что j(ce) j(0) при e + 0.
Из (19), (21)-(23) следует, что
Следовательно, функции fe(x), заданные в (17), образуют при e + 0 дельтаобразную последовательность, то есть выполнено (18).
Пример 3. Рассмотрим теперь семейство функций, зависящих от t :
(Изобразите график функций ft(x) при малых значениях t.) Отметим, что для функций ft(x), заданных формулой (25), справедливы соотношения (11)-(13) с заменой n на t и n + ? на t + 0. С помощью выкладок, аналогичных выкладкам, проведенным в примере 2, устанавливается, что обычные функции
ft(x) d(x) при t + 0.
Это эквивалентно тому, что для любой основной функции j(x) k C0
при t + 0.
Отметим, что формула (26) имеет следующий физический смысл. Рассмотрим бесконечный стержень, совпадающий с осью x, обладающий изолированной от внешнего пространства боковой поверхностью. Допустим, что в начале координат (то есть при x = 0) в момент времени t = 0 имеется единичный источник тепла, а все остальные точки стержня при t = 0 имеют температуру T = T (0, x) ╞ ╞ 0 (t = 0, t - время). Тогда, как доказано в теории теплопроводности [4], при времени t > 0 в точке стержня с координатой x температура T = T (t, x) совпадает с функцией (25):
(см. [4]).
(При этом предполагается, что коэффициент теплопроводности равен единице.) Соотношение (26) означает тот физический факт, что при времени t + 0 распределение температуры T (t, x) = ft(x) в стержне стремится к дельта-функции. Последняя описывает такое распределение температуры, когда вне начала координат температура равна нулю, а в x = 0 помещен единичный источник тепла.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Известно, что обычные функции не всегда допускают операцию дифференцирования: существует большое количество функций, не имеющих производной в обычном смысле слова. В противоположность этому мы покажем, что обобщенные функции всегда имеют производную, которая также является обобщенной функцией. Для того чтобы подойти к определению производной обобщенной функции, напомним сначала формулу интегрирования по частям для обычных функций, обладающих непрерывной производной.
Пусть функции f (x) и j(x) непрерывны и обладают непрерывной первой производной f '(x) и j'(x) при - ? < x < + ?. Кроме того, предполагается, что функция j(x) обращается в нуль вне конечного интервала (a, b), то есть при - ? < x # a и b # x < + ?, b > a. Тогда, как известно из интегрального исчисления,
так как j(x) = 0 при x = a и при x = b. При этом мы воспользовались тем, что j(x) ╞ 0 при x # a и j(x) ╞ 0 при x $ b. Выполнение формулы (27) для любых описанных выше функциях j(x) мы положим в основу определения производной от обобщенной функции.
Обозначим через совокупность всех непрерывных функций j(x), - ? < x < + ?, обладающих непрерывной производной j'(x), - ? < x < + ?, причем каждая из функций j(x) обращается в нуль вне какого-нибудь конечного интервала, зависящего от j(x) (напомним, что такие функции мы называем финитными). Обозначим: l1(j) - линейный непрерывный на функционал. Иными словами, предполагается, что для l1(j) выполнено условие (4) линейной зависимости l1(j) от j k и условие (5) непрерывности l1(j) по j k . Точнее, из jn(x) ╦ ╦ j(x) в следует l1(jn) l1(j). При этом jn(x) ╦ j(x) в , если jn(x) ╦ j(x) в C0 и в C0 . Говорят, что l1(j) является обобщенной функцией на .
Пусть задан линейный непрерывный функционал l(j0) на C0 (l(j0) - обобщенная функция на C0), j0 k C0. Производной этой обобщенной функции l(j0) называется такой линейный непрерывный функционал l1(j) на (l1(j) - обобщенная функция на ), j k , для которой выполнена формула
l1(j) = - l(j') "j k .
Если воспользоваться обозначениями l1(j) = = бl ', jс, l(j') = бl, j'с, то формулу (28) можно переписать так:
бl ', jс = - бl, j'с "j k .
В такой записи эта формула является аналогом формулы интегрирования по частям (27), которую можно записать короче следующим образом:
б f ', jс = - б f, j'с.
При этом мы воспользовались следующим обозначением для интегралов, стоящих слева и справа в формуле (27):
Таким образом, коротко можно сказать так: функционал l ' является производной функционала l, если для этих функционалов имеет место формула (29), являющаяся аналогом формулы интегрирования по частям (27).
Пример 4. Производная дельта-функции.
По определению (29) производной l ' = d'(x) обобщенной функции l = d(x) имеем
бd'(x), j(x)с = - бd(x), j'(x)с = - j'(0).
Таким образом, производной дельта-функции (в смысле обобщенных функций) является функционал, ставящий в соответствие любой функции j k значение ее производной в нуле с противоположным знаком. Напомним, что d'(x) как производная обобщенной функции d(x) есть функционал на пространстве функций, имеющих непрерывную производную. Поэтому, во-первых, j'(0) определено и, во-вторых, бd', jnс = - j'(0) = бd', jс, если jn(x) ╦ j(x) в , то есть d'(x) - непрерывный функционал на .
Пример 5. Производная функции Хевисайда.
Функция Хевисайда q(x) является обычной функцией, определяемой следующим образом:
q(x) = 0 при x < 0, q(x) = 1 при x $ 0.
Очевидно, эта функция имеет разрыв в точке x0 = 0. Производная q'(x) этой функции при x ? 0 равна нулю: q'(x) = 0 при x ? 0. Однако при x = 0 функция q(x) не имеет производной. Функция Хевисайда q(x) является обычной функцией, следовательно, ей соответствует регулярный функционал
Найдем производную q'(j) функционала q(j) в смысле приведенного выше определения. Имеем, согласно (29), для j k
(при вычислении последнего интеграла мы воспользовались формулой Ньютона-Лейбница и тем, что j(x) ╞ 0 при больших x). Согласно (30),
q'(x) = d(x).
Таким образом, в смысле теории обобщенных функций производная q' функции Хевисайда равна дельта-функции, а не нулю.
Отметим в заключение, что подробное изложение теории обобщенных функций дано, например, в книгах [1, 2].
ЛИТЕРАТУРА
1. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Гостехиздат, 1958. 439 с.
2. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй спецкурс. М.: Наука, 1965. 327 с.
3. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. М.: Наука, 1955. 440 с.
4. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1951. 659 с.
5. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 333 с.
* * *
Марко Иосифович Вишик, доктор физико-математических наук, профессор Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, главный научный сотрудник Института проблем передачи информации РАН. Автор 242 научных работ и четырех монографий.
