|
|
Статьи Соросовского Образовательного журнала в текстовом формате
Приводятся условия, при которых полугруппа будет группой. Обсуждаются некоторые свойства полугрупп, связанные с рассмотрением подгрупп в полугруппе, и затрагивается вопрос о вложении полугрупп в группы.
КАК ВОЗНИКАЮТ ГРУППЫПРИ ИЗУЧЕНИИ ПОЛУГРУПП
Л. Н. ШЕВРИН
Уральский государственный университет, Екатеринбург
ВВЕДЕНИЕ
Эту статью можно рассматривать как продолжение статьи [1]. Мы не раз будем упоминать те или иные примеры полугрупп, рассмотренные в [1], но прежде всего желательно, чтобы для читателя были уже достаточно привычными следующие понятия, ключевые для данной статьи: полугруппа, группа, подполугруппа, изоморфизм. Очень кратко напомню их, избирая здесь (и всюду ниже) мультипликативную терминологию, то есть считая рассматриваемые бинарные операции умножением.
Полугруппа - множество с заданной на нем ассоциативной (то есть удовлетворяющей тождеству (xy)z = x(yz)) операцией. Группа - полугруппа, удовлетворяющая следующим двум условиям: в ней есть единица (то есть такой автоматически единственный элемент e, что xe = ex = x для любого x) и каждый элемент x имеет обратный (то есть такой элемент y, что xy = yx = e ; обратный элемент к x единствен, его обозначают x- 1). Подполугруппа - всякое подмножество полугруппы, замкнутое относительно умножения, то есть содержащее вместе с любыми двумя своими элементами их произведение. Изоморфизм полугруппы S на полугруппу T - такое взаимно однозначное отображение j полугруппы S на T, что j(xy) = j(x)j(y) для любых x, y k S.
Группа представляет собой специальный тип полугруппы, однако нельзя сказать, что теория групп составляет часть теории полугрупп. Это было бы неправильно ни с исторической точки зрения (первая начала развиваться фактически на сто лет раньше второй), ни с логической: аксиомы группы позволяют развить самостоятельную, очень содержательную и мощную теорию, в которой в большинстве случаев нет нужды обращаться к более общему понятию полугруппы. Вместе с тем в теории полугрупп, специфические особенности которой проявляются преимущественно при рассмотрении полугрупп, не являющихся группами, нередки ситуации, когда в тех или иных рассмотрениях возникают группы. Перечислим наиболее типичные ситуации такого рода.
Ситуация первая: среди полугрупп рассматриваемого типа встречаются группы. Тогда надо знать, каковы они, и либо для этого можно воспользоваться соответствующими сведениями из теории групп (если таковые имеются), либо возникает определенная теоретико-групповая проблема, требующая своего решения. Иногда любая группа удовлетворяет рассматриваемым полугрупповым условиям (что, как правило, легко усматривается). Тогда полезно знать, при каких дополнительных условиях полугруппа рассматриваемого типа будет группой.
Ситуация вторая: у каждой полугруппы рассматриваемого типа имеются подгруппы, то есть подполугруппы, являющиеся группами. Тогда надо знать, каковы могут быть эти подгруппы, в частности, может ли любая группа выступать в такой роли. Но главный интерес в подобной ситуации представляют вопросы о взаимодействии подгрупп друг с другом и с другими частями полугруппы.
Ситуация третья: для каждой полугруппы S рассматриваемого типа существует группа G, в которой имеется подполугруппа, изоморфная S. В этом случае говорят, что полугруппа S вложима в группу G. Представляет интерес, при каких условиях полугруппа вложима в группу. Этот центральный вопрос дал толчок многим другим вопросам соответствующей проблематики.
Описанные варианты не исчерпывают ситуаций, когда в исследованиях полугрупп возникают теоретико-групповые мотивы. Отметим еще одну такую ситуацию, имеющую общий характер, то есть относящуюся к любым математическим структурам, - речь идет об автоморфизмах. Автоморфизмом математической структуры (в частности, полугруппы) называется ее изоморфизм на себя. Множество всех автоморфизмов структуры, заданной на множестве X, является, как нетрудно проверить, подгруппой в полной полугруппе преобразований T (X ) (мы определили T (X ) в [1]). Эта подгруппа называется группой автоморфизмов данной структуры. Группам автоморфизмов полугрупп нередко уделяется внимание в исследованиях.
В статье мы проиллюстрируем три описанные выше ситуации некоторыми примерами, сформулируем и, как правило, докажем некоторые факты, большей частью хрестоматийные. Этому посвящены соответственно разделы 1, 2 и 3. Излагаемый материал, по мнению автора, может быть использован при чтении факультатива для учащихся старших классов.
1. УСЛОВИЯ, ПРИ КОТОРЫХ ПОЛУГРУППА ЯВЛЯЕТСЯ ГРУППОЙ
Вспомним, как определяется действие деление для чисел: частным при делении b на a называется такое число c, что ac = b. Тем самым деление определяется в терминах умножения: можно сказать, что это отыскание одного из множителей, если даны произведение и другой множитель, или что это решение уравнения вида ax = b. (В силу указанной связи деление и принято называть действием, обратным к умножению.) Можно задаться вопросом об аналогичном определении деления в случае произвольной мультипликативной полугруппы (или даже произвольного группоида - так называют множество с одной бинарной операцией, необязательно ассоциативной). Но при этом сразу следует обратить внимание на два момента.
Во-первых, умножение чисел коммутативно, поэтому частное b : a - это корень как уравнения ax = b, так и уравнения xa = b. Но в некоммутативной полугруппе, даже если указанные два уравнения разрешимы, они вовсе не обязаны иметь общий корень. Для уравнения ax = b корень можно назвать правым частным элементов b и a, для уравнения xa = b - левым частным. Если для b и a существует правое [левое] частное, то будем говорить также, что b делится на a справа [слева].
Во-вторых, мы привыкли к тому, что частное двух данных чисел единственно, но можно ли то же самое гарантировать для правого и левого частных, если они существуют?
В общем случае из существования правого или левого частных двух данных элементов полугруппы не следует их единственность. Например, в мультипликативной числовой полугруппе {0, 1} уравнение 0x = 0 (в силу коммутативности полугруппы совпадающее с уравнением x0 = 0) имеет корнями 0 и 1. Однако (удивительный факт!) если в полугруппе любые два элемента делятся друг на друга справа и слева, то соответствующие частные единственны, причем любопытно, что полугруппы с указанным условием - это в точности группы. Итак, верна следующая
Теорема 1. Для того чтобы в полугруппе S любые два элемента делились друг на друга справа и слева, необходимо и достаточно, чтобы S была группой. При этом для любых a, b k S каждое из уравнений ax = b, xa = b имеет единственный корень.
Достаточность в теореме и единственность корней указанных уравнений усматриваются без труда. А именно, в группе для уравнения ax = b корнем, и притом единственным, будет элемент a - 1b. Действительно,
a(a - 1b) = (aa - 1)b = eb = b,
то есть a - 1b есть корень уравнения ax = b. Если c - какой-то корень того же уравнения, то ac = b и, умножая обе части этого равенства слева на a - 1, получаем a - 1(ac) = a - 1b, но a - 1(ac) = (a - 1a)c = ec = c, так что c обязан совпадать с a - 1b. Аналогичными выкладками доказывается, что единственным корнем уравнения xa = b в группе является ba - 1.
Докажем теперь необходимость. Пусть S - полугруппа, в которой для любых a, b каждое из уравнений ax = b и xa = b разрешимо. В частности, полагая b = a, констатируем существование таких элементов c и d, что ac = a и da = d. Покажем, что sc = s для любого s k S, то есть, как обычно говорят, c есть правая единица в полугруппе S. Уравнение ya = s по условию имеет корень, пусть это t. Тогда sc = (ta)c = = t(ac) = ta = s, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается, что d есть левая единица, то есть ds = s для любого s k S. Но левая и правая единицы обязаны совпадать. В самом деле, произведение dc, с одной стороны, равно d (поскольку c - правая единица), с другой - равно c (поскольку d - левая единица). Итак, c = d, и этот элемент - обозначим его теперь e - есть единица в S.
Осталось показать, что для любого a k S существует обратный элемент. Уравнения ax = e и xa = e разрешимы, значит, существуют элементы g, h k S такие, что ag = e, ha = e. Убедимся, что g = h, чем и завершится доказательство, так как тем самым будет установлено, что этот элемент является обратным к a. Имеем g = eg = (ha)g = h(ag) = he = h, что и требовалось доказать.
Теорема полностью доказана.
Идея разрешимости тех или иных уравнений в полугруппе приводит к выделению важных типов полугрупп. Один из них - так называемые простые полугруппы, которые могут быть определены следующим образом: полугруппа называется простой, если в ней для любых элементов a, b разрешимо уравнение xay = b (с двумя неизвестными). Отметим, что обычно простые полугруппы вводятся в терминах специальных подполугрупп, называемых идеалами (и, кстати, термин простая отражает отсутствие у соответствующей полугруппы идеалов, отличных от нее самой). Избранный нами способ приводит к тому же понятию без обращения к дополнительным определениям. Легко усмотреть, что всякая группа будет простой полугруппой. Любопытно, что для коммутативных полугрупп верно и обратное, что непосредственно обеспечивается теоремой 1. Таким образом, справедлива
Теорема 2. Коммутативная полугруппа проста тогда и только тогда, когда она есть группа.
К простым полугруппам мы еще вернемся в разделе 2. А теперь обратимся к важному типу полугрупп, которые будут к тому же главным "действующим лицом" в разделе 3, - полугруппам с законом сокращения. Говорят, что полугруппа S удовлетворяет закону сокращения, если для любых x, y, z k S
из xz = yz следует x = y
и
из zx = zy следует x = y.
В этом случае S называют также полугруппой с сокращением. Оба условия (1), (2) привычны для числовых полугрупп (впрочем, не любых, а не содержащих нуля: ведь a0 = b0, однако a и b могут при этом быть различными). На самом деле их выполнимость обеспечивается в следующей общей ситуации: любая группа является полугруппой с сокращением. Это вытекает из установленной при доказательстве теоремы 1 единственности корней рассмотренных там уравнений. Обратное неверно: один из простейших примеров полугрупп с сокращением, не являющихся группами, - мультипликативная полугруппа натуральных чисел. Все примеры полугрупп с только что указанным свойством могут быть лишь среди бесконечных полугрупп. Дело в том, что верна
Теорема 3. Всякая конечная полугруппа с сокращением является группой.
Докажем эту теорему. Пусть S - конечная полугруппа с сокращением. Мы установим, что в S для любых элементов a и b разрешимы уравнения ax = b и xa = b, после чего останется только сослаться на теорему 1. При этом рассмотрение уравнения xa = b аналогично случаю уравнения ax = b (надо будет по существу переписывать все выкладки "справа налево"), поэтому достаточно провести проверку только для уравнения ax = b. Пусть S состоит из n элементов s1 , s2 , _, sn . Рассмотрим элементы as1 , as2 , _, asn . Мы утверждаем, что все они различны; это вытекает из справедливости в S закона сокращения, в данном случае его "левосторонней" части (2). Итак, as1 , as2 , _, asn представляют собой все элементы полугруппы S ; значит, один из них равен b. Пусть ask = = b. Но тогда sk и будет корнем рассматриваемого уравнения. Теорема доказана.
В заключение этого раздела обратимся к регулярным полугруппам, являющимся предметом довольно интенсивных исследований в теории полугрупп. Полугруппа называется регулярной, если в ней для любого элемента a разрешимо уравнение axa = a. Регулярной будет, например, полная полугруппа преобразований T (X ) для произвольного множества X. (Проверка этого факта может служить неплохим упражнением для заинтересованного читателя.) Для нас важно подчеркнуть, что любая группа является регулярной полугруппой. Это очевидно: корнем уравнения axa = a в группе будет a- 1. Обратное утверждение, конечно, неверно: контрпримеры многочисленны, самый простой из них - мультипликативная числовая полугруппа {0, 1}. Однако справедлива
Теорема 4. Всякая регулярная полугруппа с сокращением является группой.
Нетрудно доказать и эту теорему. Пусть полугруппа S удовлетворяет условию теоремы. Возьмем произвольный ее элемент a. По условию существует b k S такой, что aba = a. Умножая обе части этого равенства поочередно слева и справа на произвольный элемент из S и сокращая затем справа [соответственно слева] на a, мы получим, что ab [соответственно ba] есть правая [левая] единица в S, откуда (см. доказательство теоремы 1) ab = ba есть единица и, следовательно, b - обратный элемент к a.
2. ПОДГРУППЫ В ПОЛУГРУППЕ
Элемент e полугруппы называется идемпотентом, если e 2 = e. Если полугруппа содержит идемпотент, то она имеет хотя бы одну подгруппу. В самом деле, идемпотент e составляет одноэлементную подполугруппу {e}, являющуюся, очевидно, группой. Но справедливо и обратное: в полугруппе, содержащей подгруппы, имеются идемпотенты - единицы этих подгрупп. Таким образом, подгруппы имеются у тех и только тех полугрупп, которые содержат идемпотенты. Отметим два типа полугрупп, наверняка обладающих этим свойством; оба они фигурировали в рассмотрениях предыдущего пункта.
а) Регулярные полугруппы. То, что регулярная полугруппа содержит идемпотенты, вытекает из умножения обеих частей равенства aba = a справа или слева на b.
б) Конечные полугруппы. Здесь наличие идемпотентов менее очевидно. Соответствующее доказательство позволяет выявить требуемое свойство сразу у полугрупп более широкого класса, а именно у таких, в которых для каждого элемента a среди его степеней a, a2, _, an, _ имеется лишь конечное число различных. Такие полугруппы называются периодическими. Мы установим сейчас, что в периодической полугруппе некоторая степень любого элемента является идемпотентом. Итак, рассмотрим произвольный элемент a периодической полугруппы. По условию существуют такие различные натуральные числа m и n, что a m = a n. Пусть для определенности m < n. Положим n - m = d. Равенство a m = a n перепишется тогда в виде a m = a m + d, откуда, как легко понять, a m = a m + qd при любом натуральном q. Выберем q такое, чтобы было qd > m. Тогда a qd - искомый идемпотент. В самом деле, имеем qd = m + l при некотором натуральном l, откуда
(a qd )2 = a 2qd = a qd + m + l = a qd + ma l = a ma l = a m + l = a qd.
Верно и утверждение, обратное к только что доказанному: если в полугруппе S некоторая степень любого элемента является идемпотентом, то S - периодическая полугруппа. В самом деле, если a m - идемпотент, то a m = (a m)2 = a 2m, откуда вытекает, очевидно, что среди степеней элемента a не более 2m - 1 различных.
Простейшие примеры бесконечных периодических полугрупп можно выявить среди примеров, обсужденных в [1]: это полугруппы, указанные в п. 1.4, а также в пунктах 1.5, 1.7 и 1.12 при бесконечном множестве M. Отметим, что все они, кроме полугрупп в) из п. 1.12, обладают даже более сильным свойством, нежели просто периодичность: все их элементы являются идемпотентами. Полугруппы с указанным свойством так и называются - полугруппы идемпотентов.
Принципиален тот факт, что в любой полугруппе, имеющей идемпотенты, для каждого идемпотента e существует подгруппа Ge , в которой e служит единицей и которая содержит все подгруппы с идемпотентом e в качестве единицы. Такая подгруппа, как вытекает из ее описания, единственна. Она состоит в точности из тех элементов данной полугруппы, на которые e действует как единица и на которые e делится слева и справа. Проверка того, что множество всех элементов с указанным свойством является подгруппой, будет легким упражнением для заинтересованного читателя. Небольшая догадка, как использовать соотношения делимости для подходящих элементов, позволит доказать и следующее утверждение: для различных идемпотентов e и f подгруппы Ge и Gf не пересекаются. Подгруппы Ge (где e пробегает множество всех идемпотентов полугруппы) называются максимальными подгруппами данной полугруппы. Интересно отметить для примера, что в полной полугруппе преобразований T (X ) на произвольном множестве X максимальные подгруппы изоморфны симметрическим группам на подмножествах из X (определение симметрической группы см., например, в [1]).
Элементы полугруппы, принадлежащие максимальным подгруппам, называются групповыми. Особый интерес представляют полугруппы, все элементы которых групповые. Такие полугруппы называют вполне регулярными или клиффордовыми. Первый термин отражает более сильное их свойство, нежели свойство быть регулярной полугруппой: ясно, что для группового элемента a разрешимо уравнение axa = a, мы уже отмечали это выше для случая групп. Второй термин, которым мы ниже и будем пользоваться, дан в честь А. Клиффорда (1908-1992) - американского математика, одного из пионеров теории полугрупп, выявившего среди многого другого основополагающие свойства обсуждаемых полугрупп (которые он называл объединениями групп).
Среди регулярных, но не клиффордовых полугрупп - все полугруппы T (X ), где X состоит более чем из двух элементов. Так, в полугруппе T ({1, 2, 3}) негрупповым элементом будет, например, преобразование ; это вытекает из того, что, как легко убедиться, f 2 - идемпотент, и f ? ? f 2. Что касается полугрупп T (X ) для одно- и двухэлементного множеств X, то обе клиффордовы: первая из них одноэлементна (и тем самым является даже группой), а вторая, скажем T ({1, 2}), состоит из четырех групповых элементов
распределенных по трем максимальным подгруппам: {a}, {b} и {e, g}.
Два специальных типа клиффордовых полугрупп играют особо важную роль в общей теории полугрупп. Один из них - уже упоминавшиеся выше полугруппы идемпотентов. Они обладают многими интересными свойствами и нередко возникают в различных теоретико-полугрупповых ситуациях. Очевидно, максимальные подгруппы в полугруппе идемпотентов вырожденные, то есть одноэлементные.
Второй тип - так называемые вполне простые полугруппы. Не имея возможности ввести их здесь в полной общности, ограничимся случаем конечных или, более общо, периодических полугрупп. В этом случае указанное понятие эквивалентно понятию простой полугруппы, которое мы рассматривали в разделе 1. Справедлив следующий удивительный факт.
Теорема 5. Всякая периодическая (и, в частности, конечная) простая полугруппа клиффордова, причем все ее максимальные подгруппы изоморфны друг другу.
На самом деле может быть сформулировано более точное и очень красивое утверждение (называемое часто в литературе теоремой Риса-Сушкевича), прозрачно характеризующее строение произвольной вполне простой полугруппы в терминах некоторой группы и двух множеств. Эта фундаментальная теорема приводится во всех руководствах по теории полугрупп (см., например, [4, 6-8] из списка литературы в [1]).
3. ВЛОЖЕНИЕ ПОЛУГРУПП В ГРУППЫ
Как отмечено в разделе 1, любая группа удовлетворяет закону сокращения, откуда следует, что и всякая подполугруппа группы будет полугруппой с сокращением. Таким образом, сразу видно необходимое условие вложимости полугруппы в группу - выполнимость закона сокращения. Будет ли это условие достаточным?
Сначала рассмотрим поставленный вопрос применительно к коммутативным полугруппам. Для них ответ утвердительный.
Теорема 6. Всякая коммутативная полугруппа с сокращением вложима в группу, причем даже коммутативную.
Доказательство этой теоремы в техническом отношении несложно, а в идейном плане весьма поучительно. Мы приведем его, лишь опуская кое-где детальное проведение выкладок.
Пусть S - полугруппа, удовлетворяющая условию теоремы. Мы должны построить группу, в которой найдется подполугруппа, изоморфная S. В качестве "строительного материала" возьмем всевозможные упорядоченные пары (a, b) элементов из S, но некоторые пары будем считать равными. А именно, договоримся, что, по определению,
(a, b) = (c, d) означает, что ad = bc.
Такое определение требует проверки на корректность: надо убедиться, что введенное отношение равенства будет отношением эквивалентности, то есть: 1) любая пара равна самой себе, 2) если (a, b) = = (c, d), то и (c, d) = (a, b), 3) если (a, b) = (c, d) и (c, d) = (e, f ), то (a, b) = (e, f ). Убеждаясь в этом, читатель увидит, что при проверке свойств 1) и 2) придется воспользоваться только коммутативностью, а при проверке свойства 3) понадобятся к тому же и ассоциативность умножения в S, и выполнимость закона сокращения.
Множество всех рассматриваемых пар с введенным отношением равенства обозначим через G. Отметим, что в силу определения (3) все пары вида (a, a) равны друг другу; обозначим этот элемент G через e. Ключевой момент доказательства - задание на G операции умножения. Положим
(x, y)(u, u) = (xu, yu).
Прежде всего надо убедиться в корректности такого определения, то есть в независимости результата умножения от записи множителей в виде пар:
если (x, y) = (p, q) и (u, u) = (s, t),
то (x, y)(u, u) = (p, q)(s, t).
Читатель без труда убедится в этом. Затем, также без затруднений, устанавливаем, что относительно введенной операции G оказывается группой, причем коммутативной. Ее единицей является указанный выше элемент e; для элемента (x, y) обратным будет (y, x).
Осталось найти в группе G подполугруппу, изоморфную S. Зафиксируем элемент c k S и через T обозначим множество всех элементов из G, представимых парами (xc, c), где x пробегает S. Поскольку (xc, c)(yc, c) = (xyc 2, c 2), а в силу определения (3) (xyc 2, c 2) = (xyc, c), видим, что T - подполугруппа в G. Отображение j полугруппы S на T, заданное условием
j(x) = (xc, c),
является искомым изоморфизмом. В самом деле, несколькими строками выше мы фактически установили, что j(xy) = j(x)j(y). Проверим взаимную однозначность j: если j(x) = j(y), то, по определению (5), (xc, c) = (yc, c), откуда с учетом определения (3) получаем xc 2 = yc 2 и, сокращая на c 2, приходим к требуемому равенству x = y.
Группа G, построенная в доказательстве теоремы, называется группой частных или группой дробей полугруппы S. Такое название обусловлено важнейшим конкретным примером рассмотренной в теореме ситуации, когда в роли S выступает мультипликативная полугруппа натуральных чисел. Здесь роль G играет в точности мультипликативная группа положительных рациональных чисел Q+; для осмысления этого надо только принять во внимание, что элементы Q+ традиционно записываются не в виде пар, а в виде дробей: . Обращение к указанному примеру проливает дополнительный свет на определения (3) и (4): в данном случае они демонстрируют условие равенства дробей и правило умножения дробей.
Вернемся к вопросу, поставленному в первом абзаце этого раздела. Одно время казалось, что и в общем случае выполнимость закона сокращения не только необходимое, но и достаточное условие вложимости полугруппы в группу. В 30-х годах была даже опубликована статья с доказательством этого факта. Однако доказательство, как вскоре выяснилось, оказалось ошибочным: А.И. Мальцев (в работе, посвященной родственной проблеме вложения колец в тела, см. [3, с. 12-15]) опроверг соответствующее утверждение, построив пример полугруппы с сокращением, не вложимой в группу. В следующих работах той же линии (см. [3, с. 39-45, 46-57]) он нашел необходимые и достаточные условия обсуждаемой вложимости, имеющие вид "из данной совокупности равенств следует данное равенство", и доказал, что не существует конечной системы условий такого вида, которая была бы необходимой и достаточной для вложимости полугруппы в группу.1 Академик А.И. Мальцев (1909-1967) внес выдающийся вклад в алгебру и математическую логику. Упомянутые работы 1937-1940 годов были среди первых, принесших их автору широкую известность в математическом мире.
В последующие годы было проведено немало дальнейших исследований, посвященных вложению полугрупп в группы. Обзор основных исследований по этой проблематике дан в первом параграфе статьи [5]. Детальное изложение многих полученных здесь результатов на середину 60-х годов содержится в монографии [6], см. гл. 1 и 12.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шеврин Л.Н. Что такое полугруппа // Соросовский Образовательный Журнал. 1997. ╧ 4. С. 99-104. Поправка // Там же. ╧ 7. С. 127.
2. Вейль Г. Симметрия. М.: Наука, 1968. 192 с.
3. Мальцев А.И. Избранные труды. М.: Наука, 1976. Т. 1: Классическая алгебра. 484 с.
4. Шеврин Л.Н. Тождества в алгебре // Соросовский Образовательный Журнал. 1996. ╧ 7. С. 111-118.
5. Бокуть Л.А. Вложение колец // Успехи мат. наук. 1987. Т. 42, ╧ 4. С. 87-111.
6. Клиффорд А., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп. М.: Мир, 1972. Т. 1. 286 с.; Т. 2. 422 с.
* * *
Лев Наумович Шеврин, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой алгебры и дискретной математики Уральского государственного университета, председатель правления Уральского математического общества, заслуженный деятель науки Российской Федерации, академик Академии гуманитарных наук, член редколлегии журнала "Известия вузов. Математика" и международного журнала "Semigroup Forum". Лауреат Международной премии по образованию им. Хосе Васконселоса Всемирного совета по культуре. Автор более 160 работ, в том числе нескольких обзорных статей, трех монографий, двух школьных учебников, трех научно-художественных книг по математике для маленьких детей.
