|
|
Статьи Соросовского Образовательного журнала в текстовом формате
10 КЛАСС
ЗАДАЧА 1
С какой минимальной скоростью нужно бросить с уровня земли камень, чтобы он мог перелететь через стену высотой Н = 20 м и толщиной L = 10 м? Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения принять g = 10 м/с2.
Оптимальная траектория, соответствующая минимально возможной скорости броска, должна почти касаться краев стены. Минимум скорости камня в точке бросания соответствует минимальной кинетической энергии камня в точке касания с краем стены. Таким образом, задача сводится к определению минимальной скорости камня в верхней угловой точке стены, достаточной для того, чтобы пролететь расстояние, равное толщине стены L - камень должен в этом месте иметь скорость, направленную под углом 45? к горизонту. Скорость камня в этой точке определяется известным соотношением
С учетом выбранного угла получим u2 = gL.
Скорость в точке броска u найдется из закона сохранения энергии:
В условии задачи не было вопроса о наилучшей точке для броска. Для ее определения было бы проще всего проанализировать последний участок траектории - после перелета через стену, в точке касания скорость известна (мы ее нашли выше), она направлена под углом - 45? к горизонту (то есть "вниз").
ЗАДАЧА 2
Пластинка радиусом 20 см равномерно вращается в горизонтальной плоскости, совершая 33 оборота в минуту. От центра пластинки к ее краю ползет строго вдоль радиуса маленький жучок. Его скорость постоянна по величине и составляет 10 см/с. При каком минимальном коэффициенте трения жучка о поверхность пластинки он сумеет добраться таким образом до края пластинки?
Ускорение жучка в любой точке определяется силой трения. Ускорение мы найдем, разделив приращение скорости жучка за очень малый интервал времени на продолжительность этого интервала. В данном случае для расчета приращения скорости удобно рассмотреть три компоненты: одна из них связана с поворотом "касательной" скорости wr за малый интервал времени t на угол wt - это даст приращение скорости Du1 = wr " wt, что обеспечит нам хорошо известное "центростремительное" ускорение w2r, направленное вдоль радиуса к центру, вторая компонента связана с поворотом скорости u на тот же угол wt - эта компонента дает приращение скорости Du2 = wtu и ускорение wu, перпендикулярно радиусу в направлении вращения и, наконец, третья компонента приращения скорости, связанная с тем, что по мере увеличения расстояния до центра вращения увеличивается "касательная" скорость жучка: Du3 = w(r + Dr) - wr = wut, эта компонента дает ускорение wu, направленное перпендикулярно радиусу в сторону вращения, то есть она просто складывается со второй компонентой. Итак, полное ускорение жучка можно найти, сложив две перпендикулярные составляющие, модуль полного ускорения (именно эта величина нас интересует):
Максимальное по величине ускорение получится у самого края пластинки, где r = 0,2 м, угловая скорость w = 2p " 33/60 © 3,46 с-1. При этом a © 2,49 м/с2. Принимая g = 10 м/с2, получим минимально необходимый коэффициент трения k = © 0,25.
ЗАДАЧА 3
Грузы М и m при помощи нерастяжимой легкой нити подвешены на блоке. С каким ускорением нужно двигать блок в вертикальном направлении, чтобы ускорения грузов относительно поверхности Земли были направлены в одну сторону? Грузы двигаются по вертикали.
Для определенности будем считать, что груз М тяжелее, то есть M > m. Направим условно ускорение тяжелого груза а1 , ускорение легкого груза а2 и ускорение блока а вверх (отрицательные значения будут соответствовать противоположному направлению). Из условия нерастяжимости нити
.
Натяжения нити Т одинаковы по обе стороны блока (невесомый блок), тогда
T - Mg = Mа1 , T - mg = mа2 .
Теперь рассмотрим оба возможных случая - либо ускорения грузов положительны, либо отрицательны. Первая возможность реализуется при выполнении неравенства
(напомним, что М > m, в противном случае в этой формуле следует поменять местами M и m). Вторая возможность - при выполнении неравенства
(это означает, что ускорение блока должно быть направлено вниз и быть по модулю больше величины 0,5g(M - m)/ M).
ЗАДАЧА 4
На гладком горизонтальном столе находится клин массой М с углом при основании 45?, на нем клин такой же массой М, с таким же углом, так что верхняя плоскость второго клина горизонтальна, а на ней лежит кубик массой m. Всю конструкцию сначала удерживают неподвижной. Какую скорость приобретет кубик через время t после растормаживания системы? Трением пренебречь. Считать, что за указанный интервал времени характер движения не меняется.
Ускорение нижнего клина обозначим буквой а, оно горизонтально. Ускорение верхнего клина относительно нижнего направлено вдоль плоскости их соприкосновения - вниз, под углом 45? к горизонту. Удобно представить полное ускорение верхнего клина в виде суммы двух векторов - горизонтально направленного вектора, по величине равного а (вместе с нижним клином) и направленного вниз под углом 45? вектора, равного по величине b. Тогда горизонтальная компонента ускорения верхнего клина направлена противоположно ускорению нижнего и равна b cos 45? - a, вертикальная компонента равна b sin 45?. Ускорение кубика направлено вниз и равно вертикальной составляющей ускорения верхнего клина. Найдем соотношение между величинами а и b. Для этого вспомним, что в отсутствие внешних горизонтальных сил ускорение центра масс по горизонтали должно быть нулевым. Кубик движется строго вертикально, поэтому
M(b cos 45? - a) = Ma,
Тогда горизонтальная компонента полного ускорения верхнего клина относительно Земли равна а, вертикальная компонента ускорения верхнего клина (и кубика) равна 2а. Модуль полного ускорения клина при этом равен .
Воспользуемся законом сохранения энергии для нахождения ускорений тел. Для этого подождем некоторое время t после начала движения тел и приравняем полную кинетическую энергию системы уменьшению ее потенциальной энергии. Скорости и смещения за время t найдем по формулам для равноускоренного движения. Итак, уменьшение потенциальной энергии системы связано с вертикальным смещением верхнего клина и кубика:
DEП = 2g(M + m)at2/2.
Суммарная кинетическая энергия тел: EК = = M(at)2/2 + M()2/2 + m(2at)2/2. Приравнивая, получим величину ускорения а:
Скорость кубика через время t после начала движения:
ЗАДАЧА 5
На гладком горизонтальном столе покоится тележка массой М и длиной L. Посередине тележки находится кубик маленького размера, его масса m. Кубику сообщают толчком скорость u по направлению к одному из бортиков тележки. Найти смещение тележки к тому моменту, когда кубик снова окажется посередине тележки, испытав ровно 17 ударов. Считать удары кубика о бортики тележки абсолютно упругими.
В этой задаче можно долго и подробно анализировать движение тележки - после первого удара она поедет, после второго - остановится, затем снова поедет и так далее_ Но ответ в задаче можно получить очень быстро - нужно только учесть, что при абсолютно упругом лобовом ударе двух тел их относительная скорость остается неизменной (это легко доказать). Это означает, что время между последовательными ударами составит L / u0 . Всего от начала движения до интересующего нас момента пройдет: до первого удара тело должно пройти L /2 со скоростью u0 , затем 16 интервалов между ударами (проверьте!) и еще половина интервала между ударами (еще "полтележки") - всего получится Т = 17L / u0 . За это время центр масс системы сместится на
ЗАДАЧА 6
Три маленьких заряженных тела с одинаковыми массами движутся в пространстве вдали от всех других тел. В некоторый момент тела оказываются на одной прямой, ускорение среднего равно по величине а, ускорение одного из оставшихся в этот момент составляет по величине 3а. Найти ускорение третьего тела в этот же момент времени.
Система находится вдали от всех других тел - ускорение центра масс системы равно нулю. Отсюда сразу можно найти ускорение третьего тела: если ускорения первых двух направлены в одну сторону, то ускорение третьего равно 4а и направлено в противоположную сторону; если же ускорения направлены в разные стороны, то ускорение третьего тела равно 2а и направлено против ускорения 3а.
ЗАДАЧА 7
К источнику постоянного напряжения подключены три одинаковых резистора, соединенные последовательно. Параллельно одному из них подключают нагреватель, при этом в нагревателе рассеивается тепловая мощность Р. Какой станет эта мощность, если нагреватель вместо этого присоединить к двум последовательно соединенным резисторам? Сопротивление нагревателя считать неизменным.
При переключении нагревателя из первого положения во второе напряжение на нем увеличивается ровно в 2 раза - а значит, мощность возрастает до 4Р. Это легко доказать, обозначив напряжение источника U, сопротивление одного резистора - буквой r, сопротивление двух оставшихся, последовательно соединенных резисторов - буквой R (ясно, что R = 2r, просто мы не хотим потом снова рассчитывать вторую схему включения нагревателя, а просто заменим R и r), сопротивление нагревателя обозначим буквой Z. Тогда, после простых вычислений для параллельного и последовательного включения резисторов мы получим напряжение на параллельно соединенных резисторе и нагревателе
Видно, что если поменять местами R и r, знаменатель не изменится, а числитель и в самом деле увеличится в 2 раза. Любопытно, что ответ не зависит от соотношения между сопротивлением нагревателя и сопротивлением резисторов в схеме.
ЗАДАЧА 8
Четыре одинаковых вольтметра соединены между собой, свободные выводы вольтметров подключены к разным точкам сложной электрической схемы. Показания трех вольтметров из четырех составляют 3 В, 4 В и 5 В. Что может показывать четвертый вольтметр? К точке соединения вольтметров больше ничего не подключено.
Показания вольтметра пропорциональны силе тока через него; строго говоря, он показывает именно ток, а градуировка его в единицах напряжения "дозволена" законом Ома. Тогда ясно, что ток, "вытекающий" через последний вольтметр, равен сумме токов, втекающих через остальные три; разумеется, токи могут быть как положительными, так и отрицательными. В зависимости от направления токов через первые три вольтметра ответ может быть таким: 2, 4, 6 или 12 В. Про полярность подключения приборов в задаче ничего не было сказано, поэтому для нас нет разницы между положительными и отрицательными ответами.
ЗАДАЧА 1
Пластинка радиусом 20 см равномерно вращается в горизонтальной плоскости, совершая 33 оборота в минуту. От центра пластинки к ее краю ползет маленький жучок, его постоянная скорость по величине равна 10 см/с и по направлению составляет угол 30? с радиусом. При каком минимальном коэффициенте трения жучка о поверхность пластинки он сумеет добраться таким образом до края пластинки?
Жук движется относительно пластинки по некоторой кривой - нам не понадобится исследовать эту кривую, на вопрос задачи можно ответить и без этого. Ускорение жука определяется силой трения. Ускорение мы найдем, разделив приращение скорости жука за очень малый интервал времени на продолжительность этого интервала. Пусть в данный момент жук находится на расстоянии r от центра пластинки. В данном случае для расчета приращения скорости удобно рассмотреть три компоненты. Одна из них связана с поворотом "касательной" скорости wr за малый интервал времени t на некоторый угол. Этот угол равен разности между поворотом пластинки на wt и поворотом из-за смещения назад со скоростью u sin 30? - это даст приращение скорости Du1 = wr (wt - u sin 30?/r), что обеспечит нам известное "центростремительное" ускорение w2r, направленное вдоль радиуса к центру, за вычетом величины wu sin 30?. Вторая компонента связана с поворотом скорости u на угол wt - эта компонента дает приращение скорости Du2 = wtu и ускорение wu под углом 60? к радиусу в направлении вращения и, наконец, третья компонента приращения скорости, связанная с тем, что по мере увеличения расстояния до центра вращения увеличивается "касательная" скорость жука: Du3 = w(r + Dr) - wr = wu cos 30?t, эта компонента дает ускорение wu cos 30?, направленное перпендикулярно радиусу в сторону вращения. Итак, полное ускорение жука можно найти, сложив эти компоненты с учетом их направлений: a 2 = = (w2r - wu)2 + 3w2u2 ;
Максимальное по величине ускорение получится у самого края пластинки. Подставим r = 0,2 м, угловую скорость w = 2p " 33/60 © 3,46 1/с, u = 0,1 м/с и получим a © 2,13 м/с2.
Принимая g = 10 м/с2, получим минимально необходимый коэффициент трения жука о поверхность пластинки k = ma / mg © 0,21.
Примечание. Эта задача сложнее, чем похожая на нее вторая задача для 10 класса. В самом начале движения из центра у жука могут возникнуть серьезные проблемы: направление его скорости не определено (непонятно, к чему относится угол 30?), да и ускорение при очень маленьких расстояниях до центра получится очень большим. Однако стоит ему куда-нибудь немного сдвинуться, как дальше все будет хорошо_ Во всяком случае указание начальной точки в качестве критической (где ускорение самое большое) считается совершенно правильным решением!
ЗАДАЧА 2
Два одинаковых кубика массой М каждый стоят почти соприкасаясь гранями на гладкой горизонтальной поверхности. Сверху на них аккуратно помещают шар массой m, и он начинает смещаться вертикально вниз, раздвигая кубики в стороны. Найти скорость шара непосредственно перед ударом о горизонтальную поверхность. Начальная скорость шара пренебрежимо мала. Радиус шара R, ребро кубика Н. Трения нигде нет.
Шар движется все время вертикально, кубы разъезжаются с одинаковыми скоростями. До некоторого момента шар касается кубов, а затем они разлетаются и шар продолжает свободно падать.
Найдем положение шара, при котором прекратится касание. Обозначим угол между вертикалью и радиусом в точку касания буквой a, скорость куба u, скорость шара u. Рассмотрим момент перед самым отрывом кубов от шара - шар уже не давит на кубы (а они - на него), но касание еще есть - в системе отсчета, которая движется вместе с кубом, центр шара движется по окружности радиуса R. Его скорость в этой системе отсчета (кстати, это инерциальная система - ускорение куба перед отрывом можно считать нулевым!) u / cos a и его нормальное ускорение aн определяется проекцией силы тяжести - сила взаимодействия куб-шар становится нулевой:
Мы получили соотношение между скоростью куба в момент отрыва и косинусом угла a в этот же момент. Это соотношение можно использовать, если дополнить его еще одним уравнением для тех же переменных - его можно получить из закона сохранения энергии с учетом связи между u и u, u = u tga:
Подставляя в это уравнение значение квадрата скорости куба u, получим уравнение для функции искомого угла :
mgR(1 - cos a) = (0,5m tg2a + M)gR cos3a.
После преобразований (замена тангенса на косинус, введения g = M / m и приведения к общему знаменателю), получим:
(2g - 1) cos3a + 3cos a - 2 = 0.
Это уравнение для cos a можно решить, пользуясь известной формулой Кардано, но это не обязательно - вполне можно ограничиться численным (или графическим) решением для нескольких конкретных значений отношения масс - например, для g = 1 получим cos a © 0,596, для g = 2 получим cos a © © 0,523, для еще больших значений отношения масс (легкий шар) значения косинуса предельного угла уменьшаются - при g = 50 получим cos a © 0,235. Попробуем уменьшать величину g, но так, чтобы коэффициент при кубическом слагаемом в уравнении оставался положительным - при этом значение cos a будет стремиться к 2/3. При отрицательных значениях этого коэффициента получаются большие значения для cos a - от 2/3 до 1.
Дальше все уже просто - скорость куба после отрыва не меняется и скорость шара перед ударом о плоскость находим при помощи закона сохранения энергии: mgH = mu2/2 + Mu 2. При этом u 2 = gR cos3a, значения косинуса предельного угла мы находили выше. Подставляя их, найдем ответы для различных соотношений масс.
ЗАДАЧА 3
Куб с ребром а =10 см, имеющий массу М = 1 кг, подвешен на пружине жесткостью k = 400 Н/м так, что его основание параллельно земле. Снизу на куб направляют поток маленьких упругих шариков, обладающих скоростью u0 = 20 м/с на высоте первоначального положения нижней грани куба. Куб начинает колебаться, двигаясь поступательно вдоль вертикальной оси. Найти период и амплитуду этих колебаний. Оказывается, колебания эти медленно затухают, хотя никакого трения тут нет. Объяснить причину затухания этих колебаний и оценить время, в течение которого амплитуда уменьшится на 10%. Масса одного шарика m = 1 г, концентрация шариков в потоке n = 1000 шт/м3. Ударами шариков друг о друга пренебречь.
Ударяясь о нижнюю грань куба и упруго отскакивая, шарики создают почти постоянную (дальше мы уточним эту оценку) силу, направленную вверх. Эта сила сместит положение равновесия куба на пружине вверх и в системе начнутся колебания. Оценим величину силы, считая для начала куб неподвижным: за малый отрезок времени t ударятся о грань куба только те шарики, которые ближе, чем на расстоянии u0t от грани, таких шариков будет na2u0t. Каждый удар передает кубу импульс 2mu0 , всего за время t куб получает импульс (na2 u0t) " 2mu0 , это дает силу , которая сместит положение равновесия на s = F / k. Это и была бы амплитуда колебаний, если бы не затухание, которое будет амплитуду уменьшать. Период колебаний груза на пружине определяется стандартной формулой с - это самые обычные колебания груза на пружине. Сделаем теперь числовые оценки.
Сила F = 2 " 1000 " 0,01 " 0,001 " 400 = 8 Н. Смещение s = 8/400 = 0,02 м. Максимальное значение скорости можно найти из закона сохранения энергии, а можно просто умножить амплитуду на круговую частоту колебаний и получить u = 0,4 м/с. Малая амплитуда колебаний позволяет считать, что положение нижней грани почти не меняется - скорость шариков перед ударом можно считать равной u0 . А вот импульс, передаваемый кубу, меняется в зависимости от его скорости - именно этим и объясняется затухание. Посчитаем силу, действующую на движущийся куб. При скорости куба, направленной вверх и равной u, сила запишется так:
F = 2na2m(u0 - u)2 = 2na2m( + u 2) - 4na2mu0u.
Второе слагаемое меняет знак при изменении скорости куба на противоположную, если бы сила оказалась не зависящей от направления скорости, работа ее за период колебаний была бы нулевой и затухания не было бы. А полученное слагаемое очень похоже на силу вязкого трения - она направлена против скорости и пропорциональна ей. Сделаем очень грубую оценку затухания. Возьмем четверть периода колебаний - от нуля до полного отклонения от положения равновесия на амплитудное значение. Силу трения заменим на ее "среднее" значение - половину от максимального. Тогда работа этой силы
A = 0,5fs = 0,5 " 4 " 1000 " 0,01 " 0,001 " 20 " 0,4 " 0,02 ©
© 3 " 10- 3 Дж.
Энергия колебаний системы вначале равна
Дж.
Уменьшение амплитуды на 10% соответствует потере 20% энергии, при потере примерно 4% (это А / W ) за четверть периода мы получим время для заданного затухания приблизительно один-полтора периода колебаний, то есть примерно 0,3-0,45 секунды. Можно сделать и более аккуратную оценку - либо решая уравнение колебаний с затуханием, либо пользуясь аналогией с колебательным контуром, содержащим катушку, конденсатор и небольшой резистор - для этого случая все формулы хорошо известны - однако и наша оценка вполне разумна.
ЗАДАЧА 4
Цикл тепловой машины состоит из двух адиабат и двух изохор. Найти КПД цикла, если известны температуры Т1 и Т2 - начальная и конечная для одной из адиабат. Рабочее тело - идеальный газ.
Пусть цикл тепловой машины 1-2-3-4-1 состоит из адиабатического расширения 1-2, изохорического охлаждения 2-3, адиабатического сжатия 3-4 и изохорического нагревания 4-1. Введем понятные обозначения: Т1 , Т2 , Т3 и Т4 - температуры в точках 1, 2, 3, 4. Газ получает тепло на участке 4-1 и отдает тепло на участке 2-3. Для расчета КПД не обязательно знать уравнение адиабатического процесса, вполне достаточно понимать, что отношение начальной и конечной температур на адиабате однозначно определяется отношением начального и конечного объемов. Отсюда следует, что Т1 : Т2 = Т4 : Т3 . Запишем выражение для КПД цикла:
Найдем количество тепла, полученное газом на участке 4-1. В этом процессе газ работы не совершает - полученное тепло идет целиком на повышение внутренней энергии газа. Тогда Qн = U1 - U4 = nCu(T1 - - T4). Аналогично, переданное холодильнику тепло Qх = U2 - U3 = nCu(T2 - T3). Подставляя в соотношение для КПД эти выражения, получим после простых преобразований
Примечание. Обратите внимание на то, что хотя это выражение и напоминает внешне известную формулу для КПД идеальной тепловой машины, температуры в нашем случае совсем не те - в известную формулу подставляют температуры холодильника и нагревателя.
ЗАДАЧА 5
В распоряжении физика есть два тепловых резервуара - очень горячий (с температурой + 200?С) и просто горячий (с температурой + 70?С). Окружающая среда имеет постоянную температуру + 20?С. Физику велено сообщить очень горячему телу количество теплоты 1000 Дж и просто горячему количество теплоты 2000 Дж. Какую минимальную механическую работу ему придется для этого совершить? Теплоемкости горячего и очень горячего тел можно считать очень большими.
Передавать тепло от холодного тела к горячему позволяет обращенная тепловая машина (она использует обычный "тепловой" цикл, но он проводится в обратном направлении - при контакте с горячим телом - нагревателем, рабочее тело не расширяется, совершая работу, а наоборот, сжимается - при этом тепло перетекает в нагреватель, а при контакте с холодным телом рабочее тело расширяется, при этом тепло отнимается от холодильника). Если в качестве такой машины использовать идеальную тепловую машину, обратив ее цикл, то для перекачки заданной порции тепла между данными горячим и холодным телом потребуется минимальная работа. Итак, мы используем обращенную идеальную тепловую машину, коэффициент полезного действия которой (в прямом цикле) нам известен: h = A / Qн = (Тн - Тх)/ Тн . Такое же соотношение между затраченной работой и количеством тепла, переданным горячему телу, получится и в обращенном цикле. Осталось решить, какое количество тепла очень горячее тело должно получить от холодного тела, а какое - от горячего. И хотя ответ очевиден, проведем расчет. Обозначим количество тепла, которое мы передадим непосредственно от холодного (Т3 = 293 К) к очень горячему (Т1 = 473 К), буквой Q, тогда от горячего (Т2 = 343 К) останется передать 1000 - Q. На все это понадобится работа А1 + А2 = Q(T1 - T3)/ T1 + (1000 - Q)(T1 - T2)/ T1 . Осталось найти количество тепла, которое нужно передать от холодного тела горячему. При передаче 1000 - Q очень горячему телу горячее "потеряло" только (1000 - Q)Т2 / Т1 , остальное дала совершенная при этом работа. Значит, ему нужно еще сообщить количество тепла [2000 + (1000 - Q)Т2 / Т1]. При этом нужно совершить работу
Складывая рассчитанные величины, получаем полную работу:
Нетрудно увидеть, что множитель при Q в точности равен нулю. Это говорит о том, что необходимая работа вовсе не зависит от того, какие порции тепла мы забираем у конкретных тел, результат будет во всех случаях одинаковым:
Дж.
ЗАДАЧА 6
Нелинейный двухполюсник имеет вольт-амперную характеристику, которая описывается формулой U = 10I 2, где ток измеряется в амперах, а напряжение - в вольтах. Два таких двухполюсника соединены последовательно и подключены к идеальной батарейке с напряжением % = 10 В. Параллельно одному из двухполюсников подключают резистор. При каком сопротивлении этого резистора тепловая мощность, которая на нем выделяется, окажется максимальной?
Пусть напряжение на резисторе, подключенном параллельно одному из двухполюсников, составит U, тогда на втором двухполюснике напряжение будет равно % - U и ток через резистор (он равен разности токов двухполюсников)
Тогда мощность, рассеиваемая на резисторе,
Получилась функция одной переменной - напряжения на резисторе. Можно обычным способом исследовать эту функцию на максимум. Нужно только учесть, что напряжение на параллельной цепочке обязательно получится меньше половины напряжения батарейки. Возьмем производную по U и приравняем ее нулю (лучше отбросить ненужный множитель ) :
После несложных преобразований найдем интересующее нас значение U из квадратного уравнения: 18U 2 - 21%U + 4% 2 = 0. Выбирая нужный корень, получим
Ток I мы уже выразили через U, теперь легко найти величину сопротивления нужного нам резистора: R = U / I © 6,27 Ом.
ЗАДАЧА 7
К идеальной батарейке подключены последовательно конденсатор емкостью С = 100 мкФ и амперметр внутренним сопротивлением r = 10 Ом. При помощи быстродействующего переключателя конденсатор в этой цепи подключается n = 100 раз в секунду то в одной, то в другой полярности (выводы конденсатора каждый раз меняются местами друг с другом), стрелка прибора при этом практически не дрожит. Обычный магнитоэлектрический амперметр показывает при этом силу тока I1 = 0,01 А. Что покажет в такой цепи амперметр тепловой системы того же сопротивления? Приборы отградуированы в цепи постоянного тока.
За время между переключениями Т = 1/ n = 0,01 с конденсатор успевает практически полностью перезарядиться (характерное время для цепи с конденсатором С = 100 мкФ и резистором R = 10 Ом составляет 0,001 с, что существенно меньше рассчитанного выше Т ). При каждом переключении по цепи протекает заряд q = 2CU, средний ток при этом составит I1 = 2CUn. Для расчета показаний "теплового" амперметра нам понадобится напряжение батарейки. Выразим его из полученного соотношения: U = I1 / 2Cn.
При каждом переключении батарейка совершает работу А = UQ = U " 2CU = 2CU 2, энергия конденсатора каждый раз одна и та же, значит, все переходит в тепло. За секунду в резисторе (амперметре) выделяется в виде тепла энергия 2CU 2n, показания амперметра тепловой системы I2 можно найти из соотношения
Отсюда
А.
ЗАДАЧА 8
Катушка индуктивности L = 1 Гн присоединена параллельно конденсатору С = 10 мкФ, последовательно с получившимся контуром включен еще один такой же конденсатор, и к получившейся цепи подключен генератор низкой частоты, имеющий амплитуду выходного напряжения U0 = 1 В. На какой частоте ток, потребляемый цепью от генератора, получается очень малым? На какой частоте этот ток резко возрастает? Оценить максимальную амплитуду напряжения на катушке, если сопротивление провода ее обмотки составляет R = 10 Ом. Остальные элементы цепи считайте идеальными.
Для ответов на первые два вопроса будем считать элементы цепи идеальными - разница получится совсем небольшой, а рассуждения сильно упростятся. Очень малым получится ток на такой частоте w1 , на которой параллельный контур имеет очень высокое (для идеальных элементов - бесконечное) сопротивление. Для этой частоты токи через конденсатор и катушку в параллельном контуре равны друг другу по величине и противоположны по фазе, тогда . Сильно возрастает ток цепи на частоте w2 , определяемой условием: напряжения на контуре и на последовательном конденсаторе почти компенсируют друг друга (при идеальных элементах цепи компенсация будет полной и ток в цепи может оказаться сколь угодно большим). Для компенсации нужно, чтобы токи через конденсаторы были одинаковы и текли в противоположные стороны, следовательно, ток катушки будет в два раза больше, чем через параллельный ей конденсатор. Тогда можно записать, что на частоте w2 при одинаковых напряжениях ток через катушку вдвое больше: 2Iw2L = I / w2C. Отсюда
Для оценки максимального напряжения на катушке нам придется учитывать влияние небольшого (это мы дальше проверим!) последовательного сопротивления - без него амплитуда получилась бы сколь угодно большой. Для грубой оценки вполне можно считать, что максимальная амплитуда будет на частоте w2 - строго говоря, это будет на немного другой частоте, однако при небольшом последовательном сопротивлении разность этих частот совсем мала. Итак, на указанной частоте напряжение катушки почти равно напряжению последовательного конденсатора и имеет противоположную фазу - это означает, что напряжение генератора приложено к резистору R и по нему (а значит, и по катушке) течет ток амплитуды I0 = U0 / R = 0,1 А. Тогда на катушке амплитуда напряжения составит
В.
Мы видим, что напряжение существенно превышает амплитуду генератора - "затухание" контура получилось небольшое и наши предположения о "малости" последовательного сопротивления достаточно оправданы. Аккуратный расчет дает для амплитуды напряжения на катушке почти в 2 раза меньшую величину - примерно 11 В, однако и наша грубая оценка вполне разумна.
Материалы подготовили
А.А. Зильберман и А.В. Андрианов
