|
|
Статьи Соросовского Образовательного журнала в текстовом формате
Дается представление любой периодической функции в виде суммы соответствующего ей тригонометрического ряда, называемого ее рядом Фурье. Приводится равенство Парсеваля: интеграл от квадрата периодической функции по интервалу длины периода равен с точностью до постоянного множителя сумме квадратов коэффициентов при тригонометрических функциях в ее разложении в ряд Фурье.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫМ. И. ВИШИК
Московский государственный университет
им. М.В. Ломоносова
1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ПЕРИОДА 2p
Тригонометрические функции периода T имеют вид
С помощью замены переменной 2px / T = y в (1) получаются тригонометрические функции
cos ny, sin ny, n = 1, 2, _,
имеющие период 2p. Поэтому для простоты в дальнейшем будем рассматривать тригонометрические функции вида (2), причем вместо y будем писать x.
Дополним тригонометрические функции периода 2p еще функцией, тождественно равной 1, и получим систему функций
1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, _
Эти функции обладают следующим важным свойством:
если вместо f (x) и g(x) подставить любые из указанных в (3) две различные функции. Таким образом, утверждается
при любых k, m = 1, 2, _
Действительно, имеем, например,
Далее, согласно известной формуле,
имеем
при k ? m. Аналогично устанавливаются и другие формулы (5)-(7).
В дальнейшем нам понадобятся еще интегралы вида
где f (x) - любая из функций (3).
Имеем
Обозначим интеграл, стоящий слева в равенстве (4), через (f (x), g(x)):
Заметим, что форма (f (x), g(x)) обладает рядом свойств, аналогичных скалярному произведению двух векторов и на плоскости:
(a1 , a2 и b1 , b2 - координаты векторов и ).
Действительно, скалярное произведение обладает, например, следующими свойствами:
для любых двумерных векторов .
Аналогичными свойствами обладает форма (f (x), g(x)), заданная формулой (10):
= ( f1(x), g(x)) + ( f2(x), g(x)),
( f (x), g1(x) + g2(x)) = ( f (x), g1(x)) + ( f (x), g2(x)),
и f (x) - непрерывная функция. В связи с такой аналогией между свойствами (12) скалярного произведения векторов в евклидовом пространстве и свойствами (13)-(15) формы ( f (x), g(x)) последнюю называют скалярным произведением функций f (x) и g(x).
Аналогом формулы для квадрата длины вектора является формула (15). Скалярное произведение ( f (x), f (x)) обозначают || f (x) ||2 и называют квадратом нормы функции f (x):
Как известно, если скалярное произведение = 0 и , то векторы и ортогональны. Аналогично, если ( f (x), g(x)) = 0, то говорят, что функции f (x) и g(x) ортогональны. Поэтому свойства (5)-(7) называют свойством ортогональности функций 1, cos nx, sin nx, n = 1, 2, _
Аналогично устанавливается ортогональность системы функций 1, , n = 1, 2, _, на интервале длиной T, то есть справедливость формул, аналогичных формулам (5)-(7) с заменой пределов интегрирования 0, 2p на 0, T.
2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ
С ПЕРИОДОМ 2p
Тригонометрическим полиномом периода 2p называется любая функция вида
Очевидно, P (x) = P (x + 2p), - ? < x < + ?, поэтому периодическая функция P (x) однозначно задается своими значениями на любом интервале длины периода, например на интервале (0, 2p). Зная значения функции на этом интервале, можно найти ее значения для любого x вне интервала (0, 2p), пользуясь периодичностью P (x). Покажем, что коэффициенты a0 , ak , bk , k = 1, 2, _, в (17) однозначно определяются значениями функции P (x) на интервале (0, 2p), и найдем формулы, выражающие значения этих коэффициентов через P (x). Для этого умножим обе части (17) на cos mx и проинтегрируем по x в пределах от 0 до 2p. Получим
Рассмотрим сначала случай m = 0, cos 0 " x ╞ 1. Тогда, пользуясь ортогональностью функций cos kx и 1, sin kx и 1 (см. (5)), получим из (18)
Отсюда
Аналогично из (18) при m > 0, пользуясь формулами ортогональности (5)-(7) и формулой (9), получим
Отсюда
Аналогично, умножив обе части (17) на sin mx, m = 1, 2, _, n, получим
Формулы (19), (20) и (21) показывают, что коэффициенты a0 , am , bm , m = 1, _, n, однозначно определяются функцией P (x). Эти формулы называются формулами Фурье для коэффициентов am и bm разложения функции P (x) по cos kx, k = 0, 1, _, n, и sin kx, k = 1, _, n.
Пользуясь выражениями (10) и (16) для скалярного произведения (( f (x), g(x)) и скалярного квадрата ( f (x), f (x)), эти формулы можно еще записать следующим образом:
В формулах (22)-(24)
Для скалярного квадрата (P (x), P (x)) функции P (x) имеет место формула
называемая равенством Парсеваля. Действительно, подставив вместо P (x) выражение справа в (17), получим
При этом мы воспользовались формулами (5)-(7) ортогональности функций 1, cos kx, sin kx, k = 1, _, n, и формулой (9).
Формула (25) выражает тот факт, что квадрат нормы || P (x) ||2 = (P (x), P (x)) равен сумме квадратов коэффициентов Фурье a0 , ak и bk функции P (x) с множителями 2p и p соответственно. Эти множители, напомним, появились потому, что квадраты норм базисных функций имеют вид
(1, 1) = 2p, (cos kx, cos kx) = p, (sin kx, sin kx) = p.
Если на плоскости на осях Ox1 и Ox2 ввести единичные векторы и вектор , то
Эта формула называется теоремой Пифагора.
Представим себе теперь функции 1, cos kx, sin kx, k = 1, _, n, как векторы в (2n + 1)-мерном пространстве H2n + 1 , натянутом на эти векторы. Точнее, H2n + 1 состоит из всех линейных комбинаций
где c0 , ck , dk - произвольные действительные числа. Введем в H2n + 1 скалярное произведение (P (x), Q(x)) по формуле (10), где P (x) - полином (17), а
Q(x) = .
Тогда функции {1, cos kx, sin kx | k = 1, _, n} образуют ортогональный базис в H2n + 1 и скалярный квадрат (P (x), P (x)) = || P (x) ||2 выражается по формуле (25). Эта формула является многомерным аналогом теоремы Пифагора (напомним еще раз, что множители 2p и p появились из-за того, что квадраты норм базисных функций 1, cos kx, sin kx не равны 1, а равны 2p и p соответственно).
3. РАЗЛОЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ
В РЯД ФУРЬЕ
Функция f (x) называется периодической с периодом T, если
f (x + T) = f (x), - ? < x < + ?.
Как и выше, достаточно рассмотреть случай T = 2p. Решая задачи о распространении тепла, Фурье пришел к выводу, что всякая периодическая функция f (x) с периодом 2p может быть представлена в виде суммы бесконечного ряда по cos kx, k = 0, 1, _, и sin kx, k = 1, 2, _:
Ряды, стоящие справа в (29), называются тригонометрическими рядами.
В теории тригонометрических рядов доказана следующая
Теорема. Если 2p-периодическая функция f (x) непрерывна и имеет непрерывную производную f ' (x) для - ? < x < + ?, то она представима в виде сходящегося тригонометрического ряда (29) и выполнены сформулированные выше требования почленного интегрирования [1].
Заметим, что эти факты имеют место также при значительно менее ограничительных условиях относительно функции f (x), на которых мы здесь не останавливаемся.
Пусть функция f (x) такова, что для каждого x, - ? < x < + ?, тригонометрический ряд (29) сходится к f (x). Кроме того, предполагается, что, умножив, как и в разделе 2, обе части на cos kx или sin kx, полученные равенства можно почленно интегрировать.
Имеет место следующая
Теорема 1. Если функция f (x) удовлетворяет сформулированным выше условиям, то ее коэффициенты ak , k = 0, 1, _, и bk , k = 1, 2, _, в разложении (29) однозначно определяются ею по формулам
Числа a0 , am , bm , m = 1, 2, _, найденные по формулам (30), называются коэффициентами Фурье функции f (x).
Вывод формул (30) при сформулированных выше условиях сходимости ряда Фурье (29) проводится аналогично выводу формул (19)-(21). Так, например, умножив обе части (29) на cos mx, m $ 1, и проинтегрировав по x в пределах от 0 до 2p, получим
Отсюда получаем формулу (30) для am . Аналогично выводятся формулы для bm и a0 .
Аналогично (25) для функции f (x), представимой в виде (29), имеет место равенство Парсеваля
Здесь ak , bk - коэффициенты Фурье функции f (x), которые вычисляются по формулам (30). Вывод формулы (31) совпадает с выводом аналогичной формулы (26) для тригонометрического многочлена P (x). Достаточно в (26) вместо P (x) подставить f (x) и суммирование справа производить от m, k = 1 до + ?.
Формула (31) является бесконечномерным обобщением теоремы Пифагора (23). При этом базисными функциями служат тригонометрические функции cos kx, k = 0, 1, _, sin kx, k = 1, 2, _ Эти базисные функции ортогональны в том смысле, что скалярные произведения разных функций базиса равны нулю, то есть имеют место формулы (5)-(7). Коэффициенты a0 , ak и bk в (29) можно считать координатами функции f (x) в ортогональном базисе {1, cos kx, sin kx | k = 1, 2, _}. Они вычисляются по формулам (30). Равенство (31) означает, что квадрат нормы || f (x) ||2 функции f (x) равен сумме квадратов ее координат ak и bk . Множители 2p и p в (31) связаны с тем, что квадраты норм базисных функций 1, cos kx, sin kx равны соответственно 2p и p (см. (9)).
Приведем пример разложения функции f (x) в ее ряд Фурье. Пусть
а вне этого интервала f (x) равна периодическому продолжению этой функции с периодом 2p (рис. 1). В теории тригонометрических рядов доказывается, что ряд Фурье функции f (x), изображенной на рис. 1, сходится к этой функции во всех точках x непрерывности f (x).
Найдем коэффициенты Фурье ak и bk функции f (x), изображенной на рис. 1. В силу периодичности с периодом 2p функций f (x)cos kx и f (x)sin kx имеем
При 0 < x < p
где bk определяется по формуле (32).
Из (32) следует, что при четном k = 2n выполнено b2n = 0, а при нечетном k = 2n - 1:
Таким образом, согласно (33) и (34) имеем для 0 < x < p:
Полагая в этой формуле x = p /2, получим
Отсюда находим следующую формулу для p /4:
4. РЯДЫ ФУРЬЕ ЧЕТНЫХ И НЕЧЕТНЫХ ФУНКЦИЙ
Допустим, что f (x) - нечетная периодическая функция с периодом 2p:
f (- x) = - f (x), f (x) = f (x + 2p), - ? < x < +?.
Тогда аналогично приведенному выше примеру все ее коэффициенты Фурье ak при cos kx и при 1 равны нулю:
ak = 0, k = 0, 1, 2, _
Действительно, поскольку f (x)cos kx нечетная и 2p-периодическая функция, то
При этом мы воспользовались тем, что интеграл от нечетной функции (см. (35)) по интервалу (- p, + p) равен нулю.
Для коэффициентов Фурье bk получаем
воспользовавшись тем, что f (x)sin kx периодическая с периодом 2p и эта функция четная:
f (- x)sin (- kx) = (-1)f (x)(-1)sin (kx) = f (x)sin (kx).
Таким образом, ряд Фурье нечетной, 2p-периодической функции f (x) содержит лишь sin kx, причем
Аналогично доказывается, что четная и 2p-периодическая функция f (x):
f (x) = f (- x), f (x) = f (x + 2p), - ? < x < + ?,
разлагается в ряд Фурье по cos kx:
причем
В приложениях тригонометрические ряды используются для представления функции f (x), заданной лишь на конечном интервале (0, p) в виде, например, ее ряда Фурье по sin kx по формуле (37). Это возможно сделать потому, что такую функцию можно сначала продолжить нечетным образом на интервал (- p, + p), а затем полученную функцию периодически с периодом 2p продолжить на всю ось. Таким образом мы получим периодическую функцию с периодом 2p и притом нечетную. Поэтому представима в виде (37). Так как f (x) = при 0 < x < p, то исходная функция f (x) представима в виде (37) для 0 < x < p.
Аналогично функцию f (x), заданную лишь для 0 < x < p, можно разложить по cos kx по формулам (39), (40).
ЛИТЕРАТУРА
1. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. М.: Гостехиздат, 1956.
* * *
Марко Иосифович Вишик, доктор физико-математических наук, профессор Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, главный научный сотрудник Института проблем передачи информации РАН. Автор 232 научных работ и четырех монографий.
