|
|
Статьи Соросовского Образовательного журнала в текстовом формате
Рассмотрен априорный анализ возможной структуры бифуркационных границ в пространстве параметров применительно к известным стационарным режимам движения системы. Такой подход позволяет предсказать потенциально аварийные ситуации, обнаружить неизвестные ранее режимы, предложить эффективные алгоритмы управления.
БИФУРКАЦИОННЫЙ ПОДХОД К ИССЛЕДОВАНИЮ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫМ. И. ФЕЙГИН
Волжская государственная академия водного транспорта, Нижний Новгород
ВВЕДЕНИЕ
При функционировании многих объектов происходящие изменения реальной ситуации сопровождаются включением (выключением) отдельных элементов или переключением участков нелинейных характеристик. Например, характеристика диода даже в простейшей идеализации имеет два участка: участок нулевого тока (запертый диод) и участок, на котором ток пропорционален напряжению.
Фазовые траектории таких систем сшиваются из отдельных гладких участков. Для их математического описания требуется несколько подсистем, каждая из которых соответствует определенной структуре рассматриваемого объекта или определенному участку характеристики. Подобные динамические системы называют кусочно-гладкими. Практические приложения, в которых приходится прибегать к рассмотрению кусочно-гладких динамических моделей, необычайно широки.
Исследование динамики включает анализ особых точек, соответствующих состояниям равновесия, и замкнутых траекторий (орбит), соответствующих периодическим движениям. Бифуркации особых точек освещались в статье [1]. В настоящей статье рассматриваются бифуркации периодических решений. Значительное внимание будет уделено С-бифуркационным ситуациям, порождаемым изменением числа участков, из которых сшивается орбита, и не имеющим аналогов в аналитических системах.
ЛОКАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ
И КРИТЕРИИ ОСНОВНЫХ БИФУРКАЦИОННЫХ ПЕРЕХОДОВ
Со значительной частью бифуркационных свойств периодических решений кусочно-гладких систем можно ознакомиться ограничиваясь рассмотрением дифференциальных уравнений второго порядка, зависящих от единственного параметра m. В этом случае анализ поведения траекторий на фазовой плоскости можно свести к исследованию одномерного отображения прямой на себя. Предположим, что при некотором m существует орбита. Выберем отрезок прямой, который бы не касался орбиты (его называют отрезком без контакта). Обозначим через x* точку пересечения отрезка и орбиты. Очевидно, что выходящая из x* траектория вновь пересечет отрезок в точке x*, которую называют неподвижной.
При исследовании зависимости от параметров периодических решений кусочно-гладких систем рассматривают два типа бифуркаций. Первый точно такой же, как и в аналитических системах. Он соответствует потере устойчивости. Второй тип связан с касанием границы областей сшивания одним из участков орбиты (С-бифуркация).
Начнем с рассмотрения устойчивости. Выберем координату начальной точки x0 в малой окрестности x*. В этом случае фазовые траектории порождают последовательность отображаемых точек x0 , x1 , x2 , _, xn , _ Если неподвижная точка устойчива, то последовательность сходится: xn x* при n ?. В зависимости от параметра m происходит перемещение неподвижной точки и изменение скорости сходимости. Бифуркационная ситуация наступает при m = m0 , когда последовательность теряет свойство сходимости. Для получения критерия устойчивости обратимся к математическому выражению одномерного отображения x' = f (x, m) и используем разложение функции f (x, m) в ряд по координате в окрестности x* и параметру в окрестности m0 , соответствующему границе устойчивости.
Выберем начало отсчета x и m так, чтобы при m0 = 0 значение x* = 0. Ограничиваясь окрестностью | x | ! 1, | m | ! 1 и степенями разложения до mx и x3, получаем следующий вид отображения:
x' = a(m)x + bx2 + cx3 + gm.
При m ? 0 неподвижная точка определяется уравнением
F (x*, m) = (a(m) - 1)x* + b(x*)2 + c(x*)3 + gm = 0.
Значение производной dx' / dx в неподвижной точке называют характеристическим числом или собственным значением отображения:
При m ? 0 отображение в окрестности точки x* ? 0 можно записать в простейшем линеаризованном виде: x' - x* = l(m)(x - x*). Отсюда следует, что требование сходимости для последовательности точек отображения сводится к условию | l | < 1, а потеря устойчивости при изменении знака m связана с условием l = ?1. Для рассмотрения бифуркационной ситуации в окрестности этих границ полагаем l(m) = ?1 + e(m), e(0) = 0.
Пусть l(m) = +1 + e(m). В этом случае неподвижная точка устойчива при e < 0 и неустойчива при e > 0. Из уравнения (2), пренебрегая кубическим слагаемым, получаем В случае общего положения g, b ? 0. Поэтому по одну сторону границы (- mg / b > 0) существуют две неподвижные точки, которые при m 0 сливаются и исчезают после изменения знака m. Для анализа их устойчивости находим из (3) для каждой из x* собственные значения Следовательно, одна из неподвижных точек соответствует устойчивой орбите (обозначим ее A), а другая - неустойчивой (a). На бифуркационной границе m = 0 значение l = 1 и происходит слияние устойчивой и неустойчивой орбит с последующим их исчезновением. Локальную структуру удобно изобразить выражением
A, a .
В другом случае l(m) = -1 + e(m). Поэтому неподвижная точка устойчива при e > 0 и неустойчива при e < 0. Из уравнения (2) следует, что x* © mg / 2 и существует независимо от знака m. Однако бифуркация сопровождается расщеплением орбиты (удвоением периода). Двукратное отображение x" = f (x', m) = f ( f (x, m), m) на границе m = 0 имеет вид x" = x - 2x3(b + c). Условие неподвижности точки x" = x = x** приводит к уравнению (x**)3 = 0, имеющему тройной корень x** = 0. Один из них - это дважды отображенная простая неподвижная точка x* = 0, существующая по обе стороны границы. Два других корня свидетельствуют о существовании по одну сторону границы пары неподвижных точек двукратного отображения и их слиянии при m = 0. Таким образом, потеря устойчивости при l = -1 сопровождается либо рождением двухоборотного устойчивого решения
A a, AA,
либо слиянием с двуоборотным неустойчивым решением
A, aa a.
Отметим возможность еще одной бифуркационной ситуации - влипании в орбиту особой точки седлового типа, когда орбита становится гомоклинической петлей, выходящей из седла и возвращающейся в него же. В этом случае перед исчезновением орбиты период колебаний Т ?:
A AТ + ? .
Перейдем далее к рассмотрению С-бифуркаций. Пусть фазовая плоскость кусочно-гладкой системы сшивается из двух областей G1 и G2 , траектории в которых описываются различными уравнениями. При изменении m простейшей бифуркационной картине соответствует непрерывная деформация орбиты от расположенной в области G1 к включающей еще один участок траектории в G2 . Траектории в окрестности орбиты могут либо не проникать в G2 , либо проникать. Поэтому отображение x' = f (x, m) будет различно для смежных участков отображаемой прямой ( f+(x, m) и f-(x, m)) с собственными числами a и b соответственно:
С-бифуркация имеет место при m = 0 и соответствует неподвижной точке x* = 0. Для описания C-бифуркационных переходов примем следующие обозначения. Орбиту, определяемую из уравнений x* = f+(x*, m) или x* = m / (1 - a) $ 0, обозначим через A, если она устойчива (| a | < 1), и через a, если она неустойчива (| a | > > 1); орбиту, определяемую из уравнения x* = f-(x*, m) или x* = m /(1 - b) # 0, - соответственно через B (| b | < 1) и b (| b | > 1); орбиту, определяемую из уравнений двукратного отображения x* = f-( f+(x*, m), m)
- через AB (| ab | < 1) и ab (| ab | > 1).
Приведем следующие простейшие локальные структуры С-бифуркационных границ и критерии их существования для случая, когда в области m > 0 расположена орбита A (| a | < 1):
A B, если | b | < 1,
A, b , если b > 1,
A, ab b, если b < -1, ab > 1,
A b, AB, если b < -1, | ab | < 1.
Отметим, что для многомерных кусочно-гладких систем критерии приведенных структур имеют более сложный вид [2].
СЛОЖНЫЕ СТРУКТУРЫ.
СИНТЕЗ ДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
ПО ЗАДАННОМУ ОТОБРАЖЕНИЮ
Заметим, что разнообразие k-оборотных орбит, которые могут рождаться при С-бифуркации орбиты A, быстро увеличивается с ростом k : AAB, ABB, aab, abb при k = 3; AAAB, AABB, ABBB, ABAB, aaab, aabb, abbb, abab при k = 4 и т.д. Даже в рамках одномерного отображения (5) можно построить бифуркационные структуры существенно сложнее рассмотренных выше. Так, при выборе a, b в интервалах
возможен С-бифуркационный переход решения A в семейство решений
A b, ab, aab, _, ak - 2b, A k - 1B, k = 2, 3, _
При этом для a = const с уменьшением b сначала при b = - a1 - k становится неустойчивой точка кратности k, и лишь при дальнейшем уменьшении, когда b = - a(a- k - - 1)/(1 - a), будет рождаться устойчивая точка кратности k + 1. В интервалах
устойчивые решения Ak - 1B отсутствуют. Вместе с тем для точек x, удаленных от точки сшивания x = 0, отображение будет сжимающим. Это означает, что в окрестности x = 0 существует ограниченное множество, к которому стремятся все точки (аттрактор). При отсутствии устойчивых неподвижных точек такое множество называют странным аттрактором. Следовательно, в интервалах (8) возможен режим динамического хаоса [2].
Читатели "Соросовского Образовательного Журнала" могут самостоятельно сконструировать и реализовать на компьютере динамическую модель, позволяющую демонстрировать С-бифуркационные переходы от простейшей однооборотной орбиты непосредственно к многооборотным орбитам или режиму хаотических колебаний (странному аттрактору). Такую модель можно, например, выполнить на базе линейного осциллятора с переменным коэффициентом демпфирования p
Система имеет особую точку в начале координат: устойчивый фокус при p < 0, центр при p = 0 и неустойчивый фокус при p > 0. Фазовые траектории соответственно образуют множество скручивающихся спиралей, окружностей и раскручивающихся спиралей.
Полагаем p = p(z, m) кусочно-гладкой функцией скорости z = dy / dx и параметра m, которая будет переключаться в момент ti прохождения фазовой траекторией положительной полуоси y = 0, zi > 0. Пусть после переключения p = pi . Тогда в момент ti + 1 = ti + 2p через один оборот получим
y = 0, zi + 1 = zi exp (2ppi).
Описанную процедуру можно рассматривать как одномерное отображение полуоси y = 0, z > 0 на себя. С-бифуркации при m = 0 должны соответствовать p = 0 и некоторое значение z; пусть z = 1. Для линеаризации отображения в окрестности этой орбиты вводим локальную координату
x = z - 1
и требуем, чтобы выполнялись соотношения (5). Из (5), (9), (10) следует
На рис. 1, а, б для a = 0,4 и b = -12,5 из интервала (7) приведена устойчивая орбита A 3B с периодом 8p, рожденная из простейшего решения A с периодом 2p. На рис. 1, в для a = 0,4 и b = - 8 из интервала (8) представлен странный аттрактор, рожденный непосредственно из A.
ОПАСНЫЕ ВИБРАЦИИ
В КОЛЕБЛЮЩЕЙСЯ СИСТЕМЕ
С ОГРАНИЧИТЕЛЕМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
В процессе эксплуатации многих машин и конструкций, колебательное движение в которых ограничено упорами, возможно возникновение вибраций с недопустимо большой амплитудой. Аварийной ситуации предшествует появление стука в упорах. Примером может служить аппаратура, которая укрепляется на том или ином виде транспорта при помощи специальных упругих амортизаторов. Естественно, что во время передвижения аппаратура подвергается вибрационному воздействию и совершает вынужденные колебания. Расчет амортизаторов должен обеспечить безопасное значение амплитуды этих колебаний. Вместе с тем рельсовые стыки, неровности дороги, воздушные ямы и другие подобные причины могут привести к соударениям упруго закрепленной системы о ближайшие поверхности. Возникает вопрос: что произойдет после нескольких ударов? Не могут ли установиться колебания большой амплитуды с соударениями?
Если воспользоваться языком теории динамических систем, то требуется исследовать возможность существования при одних и тех же значениях зазора и частоты возмущающих воздействий двух различных устойчивых режимов колебаний: безударного с незначительной амплитудой и режима опасных вибраций с соударениями.
В простейшей постановке рассматриваемую проблему можно сформулировать как задачу о вынужденных колебаниях линейного осциллятора с ограничителем, описываемых уравнениями в безразмерном виде
Здесь d - расстояние между ограничителем и ударяющейся о него массой системы при недеформированных упругих амортизаторах, n - коэффициент вязкого трения, w - частота воздействующих на систему вибраций, и - до- и послеударные скорости. Полагаем, что ударные взаимодействия в соответствии с гипотезой Ньютона описываются коэффициентом восстановления скорости R k (0, 1).
При С-бифуркации орбита безударных колебаний касается поверхности x = d. Удается доказать, что в случае общего положения k-оборотные периодические решения с ударом, близкие к безударному решению A, всегда неустойчивы [2]. Условие существования С-бифуркационных структур A, ak - 1b _, которые включают слияние орбиты A с k-оборотной орбитой ak - 1b, имеют вид
При k = 1, 2 структура совпадает с (6). Важно, что на границе исчезновения A рождения устойчивых режимов с соударениями не обнаруживается. Казалось бы, поэтому, что задача решена и опасения напрасны.
Используем, однако, бифуркационный подход, выйдя за рамки локальных бифуркационных структур и дополнительно привлекая следующее очевидное условие. При достаточно большом зазоре d существует единственное устойчивое безударное решение A.
Следовательно, определение типа С-бифуркационных структур в интервалах (12) при возникновении соударений имеет лишь предварительное значение для дальнейших размышлений. Обнаруженные неустойчивые движения являются как бы индикаторами существования еще и устойчивых движений в соответствующих областях. При удалении ограничителя обнаруженные неустойчивые орбиты должны исчезнуть путем слияния с устойчивыми на некоторой границе со структурой типа (4)
Ak - 1B, ak - 1b, k = 1, 2, 3, _
Задача построения указанной границы и представляет практический интерес, так как при этом определяется минимально допустимое расположение ограничителя хода амортизатора, при котором исключается явление стука об упоры. Нахождение границы сводится к получению условия существования кратных неподвижных точек. В случае малых коэффициентов трения n уравнение границы имеет вид
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ
Величина d = d / X показывает, во сколько раз минимально допустимый зазор d должен превышать амплитуду вынужденных колебаний линейного осциллятора. Необходимо теперь оценить это превышение. Если оно составляет 5-10%, то к теоретическому результату следует отнестись с некоторым сомнением, так как исходная идеализация реального объекта уравнениями простейшей колебательной модели (11) сама по себе вносит существенную погрешность. Проведем оценку результата для значений параметров n = 0,1; R = 0,5 и средних точек q = 3p / 2 интервалов (14) существования опасных вибраций p < q < 2p. После подстановки указанных значений в выражения (12), (13) получаем
d 2 © 1 + (1,5k)2, k < w < 2k.
Отсюда следует, что d растет с увеличением k. При этом частотный интервал существования соответствующих субгармонических колебаний все более удаляется от резонансной частоты, а амплитуда безударных колебаний X уменьшается. Поэтому расчет минимально допустимого зазора d достаточно производить в рамках режима с соударениями для k = 1 и k = 2.
К прикладным выводам из рассмотрения динамической модели (11) мы еще вернемся в последнем разделе.
ВОЗНИКНОВЕНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ СУДНА ПРИ ВЕТРОВОМ ВОЗДЕЙСТВИИ
Рассмотрим особенность систем, одной из координат которых является угол. В этом случае одному и тому же физическому состоянию системы отвечает бесчисленное множество точек, у которых угловая координата (пусть это будет y) отличается на 2p. Взаимно однозначное соответствие между состояниями системы и точками фазового пространства будет достигнуто при расположении координатной оси y на цилиндре.
Если в декартовом прямоугольном пространстве соотношениям xi = const отвечают только семейства плоскостей, то в рассматриваемом случае для некоторых координат вводят семейство цилиндрических поверхностей. В проекции они будут соответствовать семейству окружностей на фазовом кольце. В таких системах различают два типа замкнутых траекторий: орбиты, проекции которых охватывают фазовое кольцо, и орбиты, проекции которых не охватывают кольца.
Рассмотрим симметричную систему, у которой при некоторых параметрах существует пара устойчивых орбит, охватывающих фазовое кольцо. Примером такой системы является судно, которое для лучшей управляемости выполняется неустойчивым на прямом курсе. Иными словами, прямолинейное движение судна должно поддерживаться соответствующими перекладками руля в сторону левого или правого борта. При нейтральном положении руля под воздействием незначительных случайных факторов судно перейдет в один из двух возможных устойчивых режимов вращения - левую или правую циркуляцию. При отсутствии ветра в проекции на фазовое кольцо режимам циркуляции соответствуют две орбиты, являющиеся окружностями. Направление вращения по одной из траекторий положительно (против часовой стрелки), по другой - отрицательно.
Ветровое воздействие деформирует орбиты. Известно, что при увеличении интенсивности ветра режимы ветровой циркуляции срываются. Поэтому при учете ветра наряду с циркуляцией рассматривают еще режим устойчивого прямолинейного движения, при котором действие ветра на корпус судна удается нейтрализовать соответствующим отклонением руля и установившимся по этой причине углом дрейфа b между продольной осью судна и направлением его скорости.
Бифуркационный подход к исследованию динамики судна предусматривает изучение именно ситуации срыва циркуляции, то есть одновременного исчезновения двух орбит, охватывающих фазовое кольцо [3]. Формально возможно их слияние с неустойчивыми орбитами. Однако это маловероятно из-за отсутствия последних, если нет ветра. Остается случай их одновременного влипания в седловую особую точку и становления сепаратрисами, которые выходят из седла и возвращаются в него же. Это приведет к рождению через связку из двух гомоклинических орбит одной устойчивой симметричной орбиты, которая уже не охватывает фазового кольца (рис. 2, а). Соответствующие автоколебания происходят в конечном угле курса 0 < | y | < ymax (рис. 2, б ).
В процессе компьютерного моделирования довольно сложно оценить тип бифуркации и степень приближения к бифуркационной ситуации по деформации замкнутых траекторий. Проще и нагляднее ввести специальное отображение сдвига точек вдоль орбиты через фиксированный интервал времени. Тогда расположение на орбите точечной последовательности y0 , y1, _, yi , становится удобным индикатором чувствительности системы к приближению опасной бифуркационной границы [3]. Чем ближе к седловой точке расположена орбита, тем значительнее заторможенность движения изображающей точки на соответствующем участке траектории и тем плотнее оказываются точки отображения (рис. 3). Траектория движения центра тяжести судна в плоскости x, y в режиме ветровых автоколебаний поочередно сшивается из участков левой и правой циркуляций (рис. 4).
Таким образом, бифуркационный подход позволил обнаружить существование еще одного стационарного режима движения судна при ветре - специфических ветровых автоколебаний.
О ВОЗМОЖНОСТИ УПРАВЛЕНИЯ ЧАСТОТОЙ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
ПРИ ЗАДАННОЙ ЧАСТОТЕ ВНЕШНЕЙ СИЛЫ
Бифуркационный подход к исследованию динамической системы позволяет установить общие закономерности ее поведения путем исследования некоторой разумно упрощенной базовой модели. Обычно эти закономерности проявляются и в поведении более сложных моделей с близкими нелинейными характеристиками. Поэтому интерпретация полученных теоретических результатов представляется весьма существенным элементом исследования. В качестве примера обратимся вновь к задаче о вынужденных колебаниях осциллятора с ограничителем хода. Необходимость теоретического рассмотрения была продиктована прикладной задачей определения величины зазора d, чтобы избежать возникновения опасных вибраций. Но из полученных результатов можно извлечь рекомендации и для другой области приложения. Речь пойдет об эффективном способе переключения частоты возбудителей механических колебаний вибрационных машин. Последние широко применяют в горнорудной, строительной, пищевой и других отраслях производства.
Из выражения (12) в случаях n ! 1 следует, что устойчивые субгармонические колебания с удвоенным периодом (k = 2) существуют в интервале частоты 2 < w < 4, а с утроенным периодом (k = 3) - в интервале частоты 3 < w < 6. Таким образом, в интервале 3 < w < 4 наряду с безударными колебаниями с частотой внешней силы w возможны также устойчивые субгармонические колебания с k = 2 и k = 3, если расстояние до ограничителя несколько больше амплитуды безударных колебаний. Следовательно, при указанных значениях параметров в фазовом пространстве имеются свои области притяжения к перечисленным стационарным режимам движения. Такие области в подобных системах напоминают узкие извилистые щели, вложенные друг в друга словно в лабиринте. Управление координатами состояния для перевода системы из одной области притяжения в другую представляет чрезвычайно сложную задачу.
Решение проблемы хождения по лабиринтам областей притяжения можно переложить на саму систему, если воспользоваться бифуркационным подходом и соответствующим образом управлять параметрами. На рис. 5, а приведена интересующая нас область плоскости параметров w, d при значении других параметров R = 0,8; n = 0,05. Звездочкой выделена точка w = 3,35, d = 0,45, соответствующая трем возможным устойчивым режимам. Для ввода системы в область притяжения любого из субгармонических режимов принимаем следующий порядок их изменения.
В качестве исходного выбираем безударный режим, который заведомо устанавливается при достаточно удаленном ограничителе. Значение частоты при этом должно быть либо левее области существования режима k = 3, либо правее области существования режима k = 2 (точки M0 и M1 на рис. 5, а). Уменьшая затем параметр d до пересечения с резонансной кривой X(w), вводим систему в С-бифуркационную ситуацию. В результате возникающих соударений установится субгармонический режим желаемого типа, но при значениях параметров, которые пока отличаются от заданных. Остается изменить их до нужного значения. На рисунке штриховыми линиями со стрелками указано направление изменения параметров: сначала увеличиваем зазор до d = 0,45, а затем изменяем частоту до w = 3,35. Осциллограммы соответствующих режимов колебаний приведены на рис. 5, б.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Современные компьютеры позволяют достаточно наглядно просмотреть решения уравнений динамической системы для любого набора значений параметров и начальных условий. Вместе с тем из рассмотрения могут выпасть нежелательные и даже потенциально аварийные режимы работы, возможные в исследуемой системе.
В этой ситуации важно априорное представление об особенностях и возможностях базового аналога изучаемой модели, то есть о качественной картине ее поведения в зависимости от изменения параметров. Такой бифуркационный подход к исследованию конкретных динамических систем представляется перспективным.
ЛИТЕРАТУРА
1. Белых В.Н. Элементарное введение в качественную теорию и теорию бифуркаций динамических систем // Соросовский Образовательный Журнал. 1997. ╧ 1. С. 115-121.
2. Фейгин М.И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями. М.: Наука, 1994. 288 с.
3. Фейгин М.И. Бифуркационный подход к исследованию управляемости судна при ветровом воздействии // Вестн. Нижегор. ун-та. Мат. моделирование и оптимал. упр. 1998. Вып. 2(19). С. 41-49.
Рецензент статьи А.П. Маркеев
* * *
Марк Исаакович Фейгин, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой информатики и автоматизации производственных процессов Волжской государственной академии водного транспорта, заслуженный деятель науки РФ, академик Международной и Российской инженерных академий. Область научных интересов - теория нелинейных колебаний, теория бифуркаций, динамические системы, системы управления. Автор 150 научных публикаций, одной монографии, нескольких учебных пособий, трех авторских свидетельств на способ.
