|
|
Статьи Соросовского Образовательного журнала в текстовом формате
На достаточно простой модели рассмотрен эффект топологического самодействия классической заряженной частицы в искривленном пространстве.
ФИЗИКА В ИСКРИВЛЕННОМ МИРЕ: ЭЛЕКТРОСТАТИКАЮ. В. ГРАЦ
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
ВВЕДЕНИЕ
С именем И. Ньютона связаны многие величайшие достижения науки, и среди них знаменитый закон всемирного тяготения. Согласно последнему, две любые материальные частицы притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. При этом все события в физическом мире, включая и обусловленные гравитационным взаимодействием, разворачиваются на фоне трехмерного евклидова пространства, а время считается абсолютным.
Теория тяготения Ньютона и ньютоновская механика позволили описать с большой точностью широкий круг явлений, в том числе движение тел в Солнечной системе и других системах небесных тел, предсказать существование планеты Нептун, спутника Сириуса и многое другое. В астрономии закон тяготения Ньютона является фундаментом, на котором строятся многие предсказания теории. Поэтому ньютоновская теория тяготения по праву считается одним из трех разделов науки, из которых возникла общая теория относительности.
Возможно, теория Ньютона так и осталась бы последним достижением классической теории гравитации, если бы не А. Эйнштейн, создавший специальную, а затем и общую теорию относительности и связавший гравитационное взаимодействие с геометрическими свойствами пространства (точнее, пространства-времени). Но прежде надо было понять, что евклидова геометрия не является единственной возможной непротиворечивой геометрией.
Среди постулатов геометрии Евклида есть один, который многим геометрам прошлого века казался теоремой, которая может быть доказана на основе остальных постулатов. Это утверждение о том, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Выдающийся русский математик Н.И. Лобачевский доказал, что это утверждение является все-таки постулатом. Ему удалось построить геометрию, в которой это утверждение не выполняется. Независимо от Лобачевского аналогичные результаты были получены К. Гауссом и Я. Бойяи. Гаусс, Бойяи и Лобачевский открыли то, что сейчас называется двумерным пространством постоянной отрицательной кривизны. Окончательное же развитие неевклидова геометрия получила в трудах Б. Римана.
Особая роль геометрии Римана для теории гравитации в значительной степени связана со специфическими свойствами гравитационного взаимодействия, которые нашли отражение в принципе эквивалентности гравитации и инерции. Многочисленные эксперименты, начало которым было положено Г. Галилеем и И. Ньютоном, показали, что все тела независимо от массы и химического состава падают в гравитационном поле с одним и тем же ускорением [2]. Анализируя этот факт, А. Эйнштейн пришел к заключению, что движение во внешнем гравитационном поле - это движение по инерции, но в искривленном пространстве, и тем самым связал тяготение с геометрическими свойствами пространства.
Геометризация гравитационного взаимодействия сразу влечет за собой вопросы, которые имеют чрезвычайно важное значение для физики: а какова все-таки геометрия окружающего нас мира и в какой степени отличие нашего пространства от пространства Евклида (точнее, от четырехмерного пространства-времени Минковского) может отразиться на предсказаниях теории?
Если речь идет о явлениях лабораторного масштаба, то в качестве характеристики слабости гравитационного взаимодействия часто приводят отношение силы ньютоновского притяжения двух фундаментальных частиц к силе их кулоновского отталкивания. Например, для электронов это отношение составляет всего 10- 42. Другим характерным параметром является обезразмеренное значение ньютоновского гравитационного потенциала на поверхности Земли GM% / (c2R%) ~ 10- 9. Те, кто знаком с общей теорией относительности, знают, что именно малость этой величины определяет степень искривленности пространства гравитационным полем Земли и объясняет, почему теоретические расчеты, проводимые в предположении, что наше пространство является пространством Минковского, так хорошо согласуются с результатами экспериментов, проводимых в условиях наземной лаборатории.
Действительно, гравитационное взаимодействие является самым слабым из четырех известных типов фундаментальных взаимодействий. Вместе с тем по мере перехода к явлениям больших масштабов тяготение начинает играть все более существенную роль. Именно оно определяет движение гигантских небесных тел, галактик и скоплений галактик, а также эволюцию Вселенной в целом. Более того, предсказываемая теорией Эйнштейна искривленность пространства и связанные с ней наблюдательные эффекты проявляются уже в пределах Солнечной системы.
В этой работе мы не имеем возможности затронуть все множество проблем, так или иначе связанных с гравитационной теорией. Рассмотрим только одну. Урок, который мы должны вынести, заключается в том, что в искривленном мире физика богаче и интереснее и что многие результаты, которые нам кажутся очевидными и естественными, являются таковыми только при определенных и очень жестких предположениях о структуре пространства. Остановимся на электростатике. Точнее, мы рассмотрим вопрос о самодействии, то есть о том, каким образом происходит взаимодействие точечной заряженной частицы с ее собственным электромагнитным полем в искривленном мире. Отметим, что в настоящее время наблюдается новый всплеск интереса к проблеме самодействия, связанный с теорией протяженных линейных объектов, имеющих бесконечно малую толщину, - так называемых струн.
САМОДЕЙСТВИЕ В ПРОСТРАНСТВАХ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
В теории электричества мы часто работаем с распределениями зарядов и токов, которые имеют исчезающе малые размеры по одному (поверхностное распределение), двум (линейное) или трем (точечный заряд) пространственным направлениям. Такие модели выглядят естественно и являются вполне привычными для нас. Во многом это связано с тем, что в механике мы привыкли работать с материальными точками.
Проблемы возникают, если мы хотим учесть взаимодействие точечного заряда с его собственным электромагнитным полем.
Начнем с пространства Евклида. Если рассматривать тело конечных размеров, то каждый его достаточно малый элемент находится в поле всех остальных и соответствующие элементарные силы можно просуммировать. Для тела произвольной формы в евклидовом пространстве без границ соответствующая процедура приводит к выражению для силы в виде шестикратного интеграла
При этом области интегрирования по d 3x1 и d 3x2 совпадают. Поэтому замена не может изменить результат, так как это всего лишь переобозначение переменных интегрирования. С другой стороны, нетрудно убедиться, что интегрируемая функция меняет знак при такой перестановке. Таким образом, мы получили, что вектор силы равен самому себе, но взятому с противоположным знаком. Следовательно, сила равна нулю.
Таким образом, в евклидовом пространстве сила самодействия заряженного тела произвольного размера и формы и при произвольном распределении заряда по его объему равна нулю. Представляется очевидным, что этот результат останется справедливым и при переходе к пределу точечного заряда.
Подчеркнем, что приведенное доказательство годится только для евклидова пространства, поскольку использованный нами явный вид закона взаимодействия двух зарядов установлен именно для этого случая. Вместе с тем имеется замечательная возможность связать равенство нулю силы самодействия на точечный заряд непосредственно со свойствами симметрии евклидова пространства - его однородностью и изотропией. Действительно, появление силы самодействия на изолированный точечный заряд хотя бы в одной точке пространства означало бы, что точно такая же по величине и направлению сила должна действовать и в любой другой точке, поскольку все положения в пространстве эквивалентны. Это очевидное следствие однородности. Одновременно с этим наличие силы выделяло бы в пространстве некоторое направление, поскольку сила - величина векторная. Но это, в свою очередь, противоречило бы изотропии пространства, то есть равноправию всех направлений.
Обратим внимание на то, что мы опирались только на симметрии и вовсе не использовали какие-либо известные из электростатики результаты. Таким образом, мы получили значительно более общий результат, чем тот, который следовал из выражения (1). По сути мы показали, что сила самодействия должна быть равной нулю в любом однородном и изотропном или, как говорят математики, максимально симметричном пространстве. А есть ли еще такие пространства? Конечно, есть. В двумерном случае кроме евклидовой плоскости (поверхность нулевой кривизны) однородными и изотропными являются сфера (поверхность постоянной положительной кривизны) и поверхность Лобачевского (двумерное пространство постоянной отрицательной кривизны).
Может показаться, что все просто и никаких проблем не должно возникать. Но это только на первый взгляд. Вернемся в плоское пространство. Тогда c формальной точки зрения силу самодействия нужно вычислять по формуле
где и - электрическое и магнитное поля, создаваемые частицей. Но в точке, где находится частица, эти поля обращаются в бесконечность.
Таким образом, нуль, который мы предсказали из соображений симметрии, не так легко получить непосредственными вычислениями.
Выход из создавшейся ситуации был найден выдающимся физиком XX века П.А.М. Дираком. Здесь мы приведем упрощенный вариант его рассуждений и ограничимся рассмотрением покоящегося заряда. В этом случае магнитное поле отсутствует, а
где r - расстояние от источника, и при вычислении силы самодействия мы должны будем взять это выражение при r = 0.
Рассмотрим энергию всей системы в целом. Если записать ее, разделив на энергию покоя частицы и энергию поля:
Wполн = m0c2 + WE ,
то мы снова придем к расходящемуся выражению, поскольку энергия поля обращается в бесконечность. Действительно, из электродинамики известно, что
так как поле (3) обладает неинтегрируемой особенностью при r = 0.
Обычно в научной литературе это выражение записывают в несколько ином виде. Выполним часть из имеющихся в выражении (5) интегрирований. Для этого разобьем все трехмерное пространство вокруг заряженной точки на тонкие сферические слои и вначале вычислим энергию поля в отдельном слое, а затем сложим вклады от различных слоев с радиусами от некоторого d до бесконечности. Нетрудно проверить, что в результате мы получим
Приведенное выражение представляет собой энергию поля вне сферы радиуса d. Переход к случаю точечного заряда соответствует пределу d 0. Эта явным образом выделенная в (6) особенность и отражает бесконечность полной энергии поля.
П.А.М. Дирак рассмотрел силу самодействия на элементарный носитель заряда - электрон. Он обратил внимание на то, что отдельное рассмотрение энергии кулоновского поля, отраженное в выражении (4), означает, что первое слагаемое - m0c 2 - следует рассматривать как энергию покоя электрона при отсутствии поля. Но такое разбиение является некорректной операцией, поскольку невозможно оторвать от электрона создаваемое им поле и нельзя пошевелить электрон, не изменив при этом и конфигурацию поля. Таким образом, введенная нами в (4) масса m0 (ее называют затравочной или голой) является величиной нефизической, которую невозможно измерить в эксперименте. Наблюдаются только полная энергия (4) и связанная с ней масса. Именно она отвечает за инертные свойства частицы. Проблема возникла из-за того, что мы разбили реально измеримую конечную величину mc 2 на сумму двух слагаемых, каждое из которых по отдельности не может наблюдаться. При этом бесконечность одного из слагаемых говорит о том, что бесконечным является и другое.
Таким образом, согласно Дираку, мы должны написать, что затравочная масса m0 связана с конечной физической массой m соотношением
Описанная процедура называется перенормировкой. Она может показаться странной. Однако не будем забывать, что тому, чего не существует, можно приписать любые свойства. В частности, можно считать бесконечной затравочную массу.
На самом деле Дирак рассматривал задачу в значительно более общей постановке. Он показал, что уравнение движения точечного электрона во внешнем электромагнитном поле с учетом взаимодействия с собственным может быть приведено к виду
где - конечная часть силы самодействия (2), которая остается после перенормировки массы и которую называют силой радиационного трения.
Обратим внимание на то, что перенормированная собственная энергия не зависит ни от момента времени, ни от координат точки, в которой находится заряд. Это является следствием однородности и говорит об отсутствии силы самодействия на покоящийся заряд в плоском пространстве. Этот результат должен остаться в силе и для двух других однородных и изотропных пространств: трехмерных сферы и пространства Лобачевского.
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
ИСКРИВЛЕННОГО ПРОСТРАНСТВА
Возникает вопрос: что будет в общем случае искривленного пространства, которое не является однородным и изотропным? Вопрос не праздный, так как известно, что мы живем в искривленном мире и наше пространство можно считать однородным и изотропным только в очень больших масштабах.
Понятно, что при наличии внешнего гравитационного поля проблема бесконечности собственной энергии останется, поскольку это следствие точечности источника. Вместе с тем количественное рассмотрение проблемы самодействия в искривленном мире является значительно более сложным, чем в пространстве Евклида. Оно потребовало бы от нас знания теории уравнений в частных производных, того, каким образом известные нам из обычной физики уравнения будут выглядеть при наличии внешнего гравитационного поля, то есть в искривленном пространстве, и многого другого. Поэтому попробуем ограничиться качественными рассуждениями.
Предположим, что и в этом случае мы нашли удовлетворяющую всем разумным требованиям процедуру избавления от бесконечностей. Что тогда? Естественно ожидать, что перенормированная собственная энергия будет зависеть от положения заряда, поскольку в общем случае искривленного пространства однородность отсутствует. Но если энергия зависит от точки, то, как известно из механики, на частицу действует сила.
Итак, на уединенный точечный заряд, помещенный в искривленное пространство, в общем случае должна действовать сила. Исключение составляют однородные и изотропные пространства, но их всего три.
Попробуем разобраться в эффекте самодействия подробнее и рассмотрим один пример.
ПРИМЕР: ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ КОСМИЧЕСКОЙ СТРУНЫ
Начнем с формального построения и попробуем представить себе искривленное пространство, которое, c одной стороны, было бы по возможности простым, а с другой - не было однородным и изотропным.
Рассмотрим случай двух измерений.
Самый простой способ построить искривленную двумерную поверхность - это взять евклидову плоскость (рис. 1), выпустить из произвольной точки A под некоторым углом Dj два луча, удалить заштрихованную область, а соответствующие точки краев разреза отождествить. В результате мы получим конус. Отметим, что в ходе всех описанных операций не происходит деформации листа нигде, за исключением точки A, то есть вершины конуса. Чтобы проверить, что поверхность конуса действительно искривлена, выпустим из точки B, лежащей на продолжении биссектрисы угла CAC ', два луча так, чтобы образуемые ими с линией AB углы были равны. Нетрудно убедиться, что лучи снова пересекутся. Действительно, длины отрезков AC и AC ' одинаковы. Но соответствующие точки краев разреза, то есть точки, находящиеся на одинаковом расстоянии от вершины, отождествляются и, следовательно, C и C ' - это на самом деле одна и та же точка. Пятый постулат евклидовой геометрии действительно не выполняется.
Таким образом, мы построили поверхность, которая в достаточно малой окрестности каждой своей точки, кроме точки A, неотличима от евклидовой плоскости, но ее свойства в целом совсем другие. Можно сказать, что вся кривизна конуса сосредоточена в его вершине или, как говорят математики, на множестве меры нуль. Это свойство конуса существенно отличает его от многих других искривленных поверхностей и в дальнейшем будет для нас существенным.
Можно придумать и трехмерный аналог рассмотренного нами двумерного конического пространства. Схематически это изображено на рис. 2. Пусть в каждой точке оси z перпендикулярно ей прикреплена двумерная поверхность. Если это евклидова плоскость, то мы получаем трехмерное евклидово пространство. Но оказывается, что возможна ситуация, когда эта перпендикулярная z двумерная поверхность будет иметь геометрию конуса. При этом длина контура (контур C на рисунке), состоящего из точек, равноудаленных от точки пересечения оси z с поверхностью (точка A ), оказывается равной (2p - Dj)r. В построенном таким образом пространстве сохраняется однородность относительно сдвигов вдоль z, но не в перпендикулярном направлении. Эквивалентны также оба направления вдоль z.
Имеет ли это построение хоть какое-то отношение к реальному миру? Оказывается, да. Было показано, что именно так устроено пространство объектов, которые должны были возникнуть примерно через 10- 36 секунды после Большого взрыва и которые получили название космических струн. Космические струны - это удивительнейшие объекты. Теория предсказывает, что при диаметре 10- 28 см они имеют массу на единицу длины порядка m ~ 1022 г. При этом давление pz = - m, а в перпендикулярных направлениях равно нулю. Было показано также, что дефицит угла связан с m соотношением Dj = 8pGm / c2 ~ 10- 5. Нетрудно посчитать, что масса отрезка струны, имеющего длину порядка диаметра Солнца, примерно равна солнечной массе. Однако при этом ньютоновский потенциал прямолинейной струны равен нулю. Это видно уже из нашего формального построения, поскольку движение по инерции на конусе - это движение по прямой. Выпущенная из точки B (см. рис. 1) частица никогда не упадет на вершину конуса, если только угол, составляемый скоростью с прямой AB, не равен нулю.
Существует мнение, что в значительной степени именно благодаря существованию космических струн крупномасштабная структура Вселенной такова, какой мы ее наблюдаем в настоящее время.
Перейдем к интересующей нас проблеме и рассмотрим точечный заряд e, находящийся на расстоянии r от космической струны.
Попробуем предсказать, каким образом должна выглядеть сила самодействия в коническом пространстве, не прибегая к утомительным вычислениям. Прежде всего вспомним, что в рассматриваемом случае у нас есть только две размерные величины: это заряд e и расстояние r. Но из заряда и расстояния величина с размерностью силы строится единственным образом:
где - направленный от струны вектор, а A - некоторая безразмерная константа, численное значение которой зависит от углового дефицита Dj и которая может быть определена только из вычислений. Про нее можно сказать только то, что при равном нулю дефиците угла она должна обращаться в нуль. Это очевидно, поскольку при равном нулю Dj наше пространство превращается в привычное для нас трехмерное евклидово пространство, а в евклидовом пространстве сила самодействия, как мы уже знаем, равна нулю.
Отметим, что основанные на соображениях размерности рассуждения позволяют определить только абсолютную величину силы, но не ее направление. Поэтому при написании (8) мы учли еще и симметрии нашего пространства, благодаря которым сила должна быть направлена вдоль линии, проходящей через струну, и быть ей ортогональна. Во-первых, это следует из того, что оба направления оси z эквивалентны, поэтому вектор силы не должен меняться при замене z на - z. Во-вторых, это связано с существованием зеркальной симметрии относительно любой плоскости, которой принадлежит ось z. Поэтому направление силы не должно меняться при зеркальном отражении относительно плоскости, в которой лежат заряженная частица и струна.
Заметим, что полученный нами из общих соображений результат говорит о том, что точечная заряженная частица будет взаимодействовать со струной так, как она взаимодействовала бы с зарядом Ae на расстоянии r в евклидовом пространстве.
Разобраться в том, куда направлена сила самодействия, нам поможет замечательное свойство конуса, которое позволяет, разрезав поверхность по образующей, развернуть конус на евклидовой плоскости, нигде не деформируя его поверхность. Для простоты будем считать наше пространство двумерным, это позволит лучше представить происходящее.
Пусть для определенности заряд частицы положителен. Предположим также, что нам известна картина силовых линий (рис. 3). Однако даже в этом случае ответить на поставленный вопрос затруднительно. Поэтому развернем конус на евклидовой плоскости, разрезав его вдоль линии, являющейся продолжением линии AB, соединяющей точку B, где расположен заряд, и вершину конуса A (рис. 4). Конечно, разрезать можно вдоль любой из образующих, результат от этого зависеть не будет, но лучше поступить так, как мы решили. При этом сохранится симметрия между правым и левым, и все рассуждения станут значительно более наглядными.
Картина, которая предстанет перед нами, изображена на рис. 4. Подчеркнем еще раз, что свойство конуса разворачиваться на плоскость без деформации позволяет быть уверенными, что мы увидим силовые линии именно такими, какие они есть. Наибольший интерес представляют линии, составляющие малые углы с отрезком BA. Понятно, что они должны будут изгибаться по мере приближения к берегу разреза, так как пересечение силовой линии с берегом разреза означало бы наличие зарядов по другую сторону от вершины конуса (космической струны). Но по условию задачи зарядов там нет.
Заметим, что все сказанное в равной степени относится к случаю, когда заряд частицы e как положителен, так и отрицателен. Изменится только направление стрелок на силовых линиях.
Мы получили очень интересный результат. Находящийся в точке B наблюдатель знает, что в окрестности этой точки геометрия евклидова, но картина силовых линий такова, как если бы в точку, отстоящую от него на расстояние, равное длине отрезка BA, был помещен одноименный с e заряд, величина которого зависит от Dj. Однако это означает, что заряд e должен отталкиваться от струны с силой, которая пропорциональна e2, стремится к нулю при стремлении к нулю дефицита угла и обратно пропорциональна квадрату расстояния до струны.
Удивительно, но точное количественное рассмотрение задачи о самодействии (см., например, [4]) полностью подтверждает наши выводы.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В конце несколько слов относительно принятой в литературе терминологии. О рассмотренном выше эффекте принято говорить как об эффекте топологического самодействия. Почему именно топологическое самодействие? Рассмотренный нами в последнем разделе пример позволяет ответить и на этот вопрос. Действительно, в достаточно малой окрестности точки, где расположен заряд, геометрия та же, что и на евклидовой плоскости, и если бы частица не была заряжена, мы, возможно, никогда бы и не узнали о том, что где-то имеется космическая струна. Но собственное электростатическое поле частицы простирается до бесконечности и знает, что глобально наше пространство отличается от пространства Евклида. Таким образом, физический эффект, который мы обсудили, действительно обусловлен глобальной структурой пространства, а не локальной геометрией, то есть геометрией вблизи точки, где расположен заряд.
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Кадомцев С.Б. Геометрия Лобачевского и физика. М.: Знание, 1984. 64 с.
2. Брагинский В.Б., Полнарев А.Г. Удивительная гравитация. М.: Наука, 1985. 159 c.
3. Дирак П.А.М. Общая теория относительности. М.: Атомиздат, 1978. 65 с.
4. Bezerra de Mello E.R., Bezerra V.B., Grats Yu.V. Self-Forces in the Spacetime of Multiple Cosmic Strings // Class. Quantum Grav. 1998. Vol. 15. P. 1915.
Рецензент статьи В.В. Михайлин
* * *
Юрий Владимирович Грац, доктор физико-математических наук, профессор кафедры теоретической физики физического факультета МГУ. Область научных интересов - классическая и квантовая теория поля в искривленном пространстве, гравитация, космология. Автор около 60 работ, в том числе четырех учебных пособий и одной монографии.
