|
|
Статьи Соросовского Образовательного журнала в текстовом формате
На сравнении математического маятника и гармонического осциллятора и на примере нелинейных оптических задач, связанных с распространением импульсов в резонансных средах, обсуждаются отличия линейных и нелинейных систем. Показано, что динамика нелинейных оптических процессов имеет аналогии с неоптическими взаимодействиями.
"СВЕРХСВЕТОВОЕ" РАСПРОСТРАНЕНИЕ ИМПУЛЬСОВВ РЕЗОНАНСНО УСИЛИВАЮЩИХ СРЕДАХ
А. В. АНДРЕЕВ
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
ВВЕДЕНИЕ
В последние 25-30 лет в различных областях физики и математики на передний план выходят нелинейные задачи. Теории, основанные на использовании линейных классических или квантовых уравнений, сыграли определяющую роль в становлении многих областей науки и лежат в основе современных представлений об окружающем нас мире. Однако ясно, что картина мира, построенная на линейных уравнениях, имеет ограниченную область применения, поскольку все линейные процессы рано или поздно становятся нелинейными. Именно нелинейность, по-видимому, и обусловливает возможность существования стабильных структур. В этом нас убеждают как повседневный опыт, так и общефилософские рассуждения. Например, линейный рост приращения длины с ростом приложенной силы (закон Гука) обычно заканчивается разрывом, которому предшествует нелинейный этап. Возможен и второй сценарий этого процесса. Если тело оказалось очень прочным и мы не смогли его разорвать, то это означает, что мощность источника приложенной силы вышла на насыщение. Любой источник имеет конечную мощность, и мы не можем увеличивать приложенную силу до бесконечности. Наличие насыщения также является проявлением нелинейности характеристик источника.
ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
И МАТЕМАТИЧЕСКИЙ МАЯТНИК
Краеугольной моделью многих линейных теорий является модель гармонического осциллятора. Она лежит в основе квантовых теорий поля, микрочастиц и макроскопических сред. Примером гармонического осциллятора является математический маятник при не очень больших амплитудах колебания. Пусть q - угол отклонения маятника от положения равновесия, тогда уравнение движения математического маятника имеет хорошо известный вид
где - собственная частота колебаний маятника. При q ! 1 уравнение (1) принимает вид уравнения гармонического осциллятора
В чем состоят основные отличия нелинейного уравнения математического маятника (1) и уравнения гармонического осциллятора (2), являющегося его линейным приближением? Одно из принципиальных отличий состоит в следующем. Уравнению гармонического осциллятора соответствует интеграл движения, имеющий смысл закона сохранения энергии, следующего вида:
где первое слагаемое в правой части, зависящее от скорости изменения угла, есть кинетическая энергия а второе - потенциальной Po(q) = Мы видим, что потенциальная энергия гармонического осциллятора представляет собой параболу и имеет одну экстремальную точку - точку минимума q = 0 и стремится к бесконечности с ростом q.
Для уравнения математического маятника кинетическая энергия имеет тот же самый вид, что и для гармонического осциллятора, а потенциальная энергия отличается и имеет вид
При малых углах отклонения q ! 1 потенциальная энергия маятника близка к потенциальной энергии осциллятора. Однако в отличие от осциллятора потенциальная энергия маятника имеет не одну, а бесконечное число точек минимума, определяемых условием qn = 2pn, где n - целое число. Во-вторых, потенциальная энергия маятника ограничена и достигает максимума в точках qm = p(2m + 1), где m - целое число.
Эти отличия в виде потенциальной энергии приводят к принципиальным отличиям в виде решений уравнений (1) и (2). При уравнение осциллятора имеет решение в виде гармонических незатухающих колебаний. С физической точки зрения эти решения описывают периодические превращения потенциальной энергии осциллятора в кинетическую энергию его движения и обратно. Сколь бы ни была велика начальная кинетическая энергия осциллятора, он всегда остановится и его кинетическая энергия полностью перейдет в потенциальную.
Уравнение маятника также имеет осциллирующие решения. Однако, во-первых, эти осцилляции не являются гармоническими. Во-вторых, эти осциллирующие решения бывают двух типов. В первом случае, так же как и для осциллятора, происходит периодическое преобразование кинетической энергии в потенциальную и обратно. Во втором не вся кинетическая энергия маятника может быть преобразована в потенциальную. Это связано с тем, что маятник совершает колебания лишь в ограниченной области пространства, поэтому его потенциальная энергия имеет не только минимальное, но и максимальное значение.
Наиболее яркое отличие нелинейного уравнения (1) от линейного (2) состоит, пожалуй, в том, что наряду с осциллирующими решениями уравнение (1) имеет неосциллирующее решение, для которого кинетическая энергия стремится к нулю при стремлении времени к бесконечности (t ? ?). Это решение соответствует ситуации, когда частица стартует с точки максимума потенциальной энергии и заканчивает свое движение на соседнем максимуме потенциальной энергии. Оно имеет вид
Чем отличается апериодическое решение (3) от периодических решений гармонического осциллятора? Дело в том, что кинетической и потенциальной энергии маятника (как и любого другого тела) может быть придан различный смысл. Потенциальная энергия связана с положением частицы в поле сил тяжести, а кинетическая - со скоростью ее перемещения. Как мы видим, равновесие (в смысле сохранения полной энергии) в линейном мире может осуществляться путем периодического преобразования кинетической энергии в потенциальную и обратно. В нелинейном мире равновесие может достигаться как периодическим обменом, так и строго локализованным во времени обменом энергии. Мы видим из (3), что характерная длительность процесса обмена энергией t0 = 1 / w0 .
РЕЗОНАНСНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
СВЕТА С ВЕЩЕСТВОМ
Пусть теперь у нас имеется не один маятник, а набор связанных маятников. Связь маятников может осуществляться, например, с помощью пружинок, соединяющих отдельные маятники, или же с помощью электромагнитных полей, если грузики маятников электрически заряжены или являются магнитами. В такой системе колебание любого из маятников приведет к колебаниям его соседей, а следовательно, в системе возникнет волна возбуждения колебаний, распространяющаяся по системе с конечной скоростью. Так же как и в случае колебательных процессов, волновые процессы могут быть линейными или нелинейными. Разнообразные примеры линейных и нелинейных волновых процессов обсуждались на страницах "Соросовского Образовательного Журнала" в [1, 2]. В этих статьях было отмечено, что одним из наиболее интересных и важных нелинейных волновых процессов является частицеподобное, или солитонное, распространение волн, когда волна возбуждения движется по системе в виде уединенного импульса, форма которого не меняется по мере распространения. Такое поведение действительно необычно. Более естественным кажется процесс, когда возбуждение одного из маятников передается все большему их числу. В этом случае амплитуда колебаний каждого из маятников постепенно уменьшается, поскольку потенциальная или кинетическая энергия возбуждения одного из маятников постепенно перераспределяется между все большим их числом.
В упомянутых статьях были приведены примеры возникновения уединенных волн в разнообразных физических процессах. Мы остановимся здесь лишь на одном из таких примеров - солитонах самоиндуцированной прозрачности, возникающих в процессе распространения импульса когерентного света в системе резонансных атомов, и обсудим лишь один из аспектов общей проблемы, связанный со скоростью распространения солитонов. Этот пример привлекателен тем, что уравнение, описывающее распространение когерентного импульса света в среде резонансных атомов, близко к уравнению математического маятника и имеет вид
Мы видим, что в отличие от колебательного процесса уравнение волнового процесса включает не только время t, но и пространственную координату х, а также фазовую скорость распространения света в среде с.
Для того чтобы пояснить смысл переменных, входящих в уравнение (4), обсудим подробнее физику самого процесса. Хорошо известно, что физика атомов и молекул является физикой квантовых систем. Энергия электрона в атоме не может изменяться непрерывно, а принимает лишь дискретные значения. В основном (невозбужденном) состоянии атома его электроны занимают состояния с наименьшей энергией. При взаимодействии атома с электромагнитной волной электроны могут переходить в возбужденные состояния с большей энергией. Пусть Е1 - энергия валентного электрона атома в основном состоянии, а Е2 - в возбужденном. Процесс возбуждения атома наиболее эффективен в том случае, когда энергия кванта поля "w0 совпадает с разностью энергий основного и возбужденного состояний Е2 - Е1 = "w0 . В этом случае, поглотив квант света, атом заведомо окажется в возбужденном состоянии с энергией Е2 , а не в каком либо другом возбужденном состоянии. Следовательно, при резонансном взаимодействии света с веществом мы можем полагать, что атом является двухуровневым. Пусть в объеме V среды имеется N двухуровневых атомов и пусть в момент времени t в возбужденном состоянии находятся N2(t) атомов, а N1(t) - в основном. В этом состоянии система атомов имеет энергию
Учитывая, что полное число атомов в системе остается неизменным, N2(t) + N1(t) = N, мы видим, что последнее слагаемое в этом выражении от времени не зависит, поэтому мы всегда можем положить E2 + E1 = 0. Это эквивалентно тому, что потенциальную энергию маятника мы отсчитываем от точки подвеса, в этом случае потенциальная энергия маятника в точке устойчивого равновесия равна P1 = - mgl, а в точке неустойчивого равновесия P2 = mgl. Таким образом, энергия атомной системы в момент времени t пропорциональна разности населенностей уровней N2(t) - N1(t). Если иметь дело с протяженной средой атомов, то число атомов N2(x, t) в возбужденном состоянии в различных точках х объема V в один и тот же момент времени t может быть различно. Более того, плотность числа атомов n(x) = = DN(x) / DV может быть неодинакова в различных пространственных точках, если образец неоднороден, поэтому вместо энергии атомной подсистемы удобнее ввести плотность энергии e(x, t) и представить ее в виде
Таким образом, переменная q(x, t), фигурирующая в уравнении (4), определяет плотность энергии атомной системы аналогично тому, как угол q определяет потенциальную энергию маятника. Эта переменная в теории двухуровневого атома получила название угла Блоха.
До сих пор мы договорились лишь о точке начала отсчета энергии атома, но не о направлении энергетической оси. Будем считать, что до прихода в точку х импульса света угол Блоха q(x, t) всегда равен нулю, тогда равенство R0(x) = -1 означает, что в начальный момент времени все атомы были в основном состоянии с энергией E1 = - "w0 / 2 и плотность атомов вдоль направления распространения волны не меняется. Если плотность атомов не является постоянной, то R0(x) зависит от х. Например, если среда имеет размер L вдоль оси х и плотность атомов в объеме постоянна, то R0(x) = -1 при x k [0, L] и равна нулю вне указанного интервала. Если атомы до прихода импульса света находятся в возбужденном состоянии, то R0(x) = 1.
Взаимодействие света с атомной системой состоит в том, что, поглощая квант света, один из атомов системы переходит из основного состояния в возбужденное, при этом N2 увеличивается на единичку, а N1 уменьшается. Обратный процесс перехода атома из возбужденного состояния в основное приводит к рождению кванта света. Несложно догадаться, что амплитуда световой волны будет пропорциональна производной по времени от угла Блоха q(x, t):
Коэффициент пропорциональности зависит от параметра b, введенного нами ранее в уравнение (4). Параметр b зависит от свойств среды и, как можно видеть из (4), имеет размерность квадрата частоты колебаний.
СОЛИТОНЫ
Уравнение (4) можно свести к уравнению математического маятника в двух случаях. Во-первых, когда q(x, t) не зависит от х. Этот случай соответствует тому, что атомы взаимодействуют с плоской волной, амплитуда которой одинакова во всех точках среды и изменяется во времени в результате процессов резонансного поглощения и испускания квантов света атомами.
Второй случай более интересен и соответствует самосогласованному распространению импульса. При самосогласованном распространении импульса его временной профиль одинаков во всех точках х с учетом времени запаздывания, необходимого для того, чтобы импульс мог переместиться из одной точки наблюдения в другую. В этом случае амплитуда поля a(x, t) или угол q(x, t) зависят лишь от запаздывающего времени t = t - x / n, где n - скорость распространения импульса. Частным случаем самосогласованного распространения является солитонное распространение в виде уединенного импульса, когда амплитуда поля стремится к нулю при t ? ?.
Введем безразмерные время t ' = t / T и координату x' = x / l, где l = T " c, а Т - нормировочное время. В этом случае безразмерными станут параметр b' = b " t2 и скорость распространения импульса n' = n / c. Далее штрихи для краткости мы будем опускать, поэтому равенство n = 1 означает, что скорость распространения импульса равна скорости света. Полагая q(x, t) = q(t - x / n), можно свести уравнение (4) к уравнению (1), в котором частота w0 заменится на Мы видим, что частота W является действительной величиной в двух случаях: а) R0 < 0 и n < 1; б) R0 > 0 и n > 1.
Первый случай соответствует ситуации, когда на изначально невозбужденную среду падает импульс электромагнитного излучения и самосогласованное его распространение происходит со скоростью, меньшей скорости света. Уединенному импульсу соответствует полученное нами ранее решение (3) уравнения математического маятника
где амплитуда а0 и длительность t0 связаны со скоростью распространения n соотношением
Произведение амплитуды и длительности зависит лишь от параметра b:
В результате чего после прохождения импульса угол q(x, t) принимает значение
Это означает, что, стартуя из невозбужденного состояния, атомы среды к середине импульса переходят в возбужденное состояние, а по его окончании снова оказываются в основном состоянии. Из (5) мы видим, что в протяженной среде нелинейные взаимодействия приводят к появлению возбуждений поля, локализованных как в пространстве, так и во времени.
Соотношение (6), определяющее связь между длительностью и скоростью импульса, может быть обращено и записано в виде
График этой зависимости показан на рис. 1, а. Мы видим, что скорость импульса с уменьшением его длительности стремится к скорости света, оставаясь меньше ее. Уменьшение длительности импульса сопровождается ростом его амплитуды.
Полученные решения могут быть формально обобщены на случай изначально возбужденных сред. Как мы отмечали выше, величина остается действительной и в случае R0 > 0, если положить, что скорость распространения импульса становится больше скорости света, n > 1. При этом формула (5) сохраняет свой вид, а в формулах (6) нужно заменить 1 - n на n - 1. Однако при этом принимает необычный вид зависимость скорости импульса от его длительности (в знаменателе формулы (7) знак плюс нужно заменить на минус). Эта зависимость показана на рис. 1, б. Мы видим, что при t0 # b -1 / 2 скорость больше скорости света, а при t0 > b -1 / 2 скорость отрицательна. И то и другое входит в противоречие со сложившимися представлениями. Однако отметим, что все приведенные выше рассуждения относятся к средам бесконечной протяженности. Поскольку атомы находятся в возбужденном состоянии, то это означает, что энергия возбуждения атомной системы бесконечна. По-видимому, в этом и кроется причина всех возникших противоречий.
Можно попытаться разрешить возникшие противоречия, рассмотрев пространственно ограниченную среду. В работе [3] были найдены самосогласованные решения уравнения (4) для произвольного вида функции R0(x). В этом случае солитонное решение снова имеет вид (5)
однако аргумент гиперболического косинуса теперь имеет вид
Пространственно-временная динамика распространения импульса и разности населенностей в случае резонансной среды постоянной плотности и конечной длины L показаны на рис. 2. Рисунки 2, а, б относятся к случаю, когда среда изначально не возбуждена, R0 = = -1, а рис. 2, в, г - к случаю изначально возбужденной среды, R0 = 1. В обоих случаях полагалось, что безразмерная длина среды L = 5.
Пусть x0(t) есть координата максимума амплитуды импульса в момент времени t, тогда dx0 / dt есть скорость движения максимума импульса. Из рис. 2, а видно, что скорость распространения импульса в резонансно поглощающих средах меньше скорости света. Действительно, на участках x < 0 и x > 5, где нет среды, максимум движется быстрее, чем в среде x k [0, 5]. Из рис. 2, в видно, что на выходе резонансно усиливающей среды максимум импульса появляется раньше, чем это было бы при отсутствии среды. Картина пространственно-временной динамики дает, однако, наглядное объяснение этому явлению. Импульс вида (8) является бесконечно протяженным по х, на фронте и на хвосте импульса происходит экспоненциальное спадание амплитуды и интенсивности импульса. Однако экспоненциально спадающий по х фронт импульса, попадая в резонансно усиливающую среду, начинает нарастать и на конце среды появляется дополнительный максимум. Высота этого максимума растет во времени и достигает величины амплитуды падающего импульса. Дальнейшее нарастание амплитуды поля прекращается. После этого импульс разбивается на две части, одна из которых покидает среду, а вторая движется навстречу падающему импульсу и поглощает его в результате деструктивной интерференции.
Таким образом, приведенная картина пространственно-временной динамики самосогласованного импульса в резонансно усиливающих средах объясняет все кажущиеся противоречия и объясняет появление сверхсветовых и отрицательных скоростей. Указанные скорости относятся не к скорости распространения волны, а к скорости движения максимума ее амплитуды, на величину которой нет каких-либо ограничений.
Сверхсветовое распространение импульсов в резонансно усиливающих средах наблюдалось экспериментально много лет назад (см. обзор [4]), было дано и объяснение этого явления. Здесь мы привели лишь одну из интерпретаций указанного явления, связанную с теорией солитонов и отличающуюся простотой ввиду простоты используемых уравнений и возможности аналитического описания динамики процесса.
СВЯЗАННЫЕ ИМПУЛЬСЫ
До сих пор мы полагали, что среда состоит из атомов одного типа. Мы можем несколько усложнить задачу, положив, что среда содержит два типа двухуровневых атомов, которые имеют одинаковую разность энергий переходов, но отличаются по величине параметра b. Как мы отмечали выше, есть частота осцилляций разности населенностей атома в поле постоянной амплитуды, поэтому атомы с большим b могут быть названы быстрыми, а с меньшим - медленными. Уравнение, описывающее распространение когерентного импульса света в двухкомпонентной среде резонансных атомов, имеет вид
Остановимся на обсуждении одной из особенностей распространения импульсов в двухкомпонентных средах, для которых b2 = 4b1 . Из результатов предыдущего раздела мы видели, что возбуждения среды в резонансно поглощающих и усиливающих средах ведут себя по-разному. Как в резонансно поглощающих, так и в резонансно усиливающих средах возбуждение среды движется синхронно с импульсом поля в среде. Специфика состоит в том, что в резонансно поглощающих средах это движение происходит в направлении распространения падающего импульса (см. рис. 2, а, б ), а в резонансно усиливающих - навстречу (см. рис. 2, в, г). Возникает аналогия с положительно и отрицательно заряженными частицами.
Конечное значение угла q(x, t = ?) называется площадью импульса. Как мы видели выше, она пропорциональна Следовательно, в двухкомпонентных средах площадь импульса различна по отношению к быстрым и медленным атомам. В случае, когда b2 = 4b1 , импульс площади p относительно медленных атомов является 2p-импульсом относительно быстрых. Следовательно, если в двухкомпонентную среду, все атомы которой в начальный момент находятся в невозбужденном состоянии, мы пошлем пару импульсов, площадь каждого из которых равна p относительно медленных атомов, то первый импульс из пары переведет медленные атомы в возбужденное состояние, оставив быстрые атомы в основном состоянии. Второй импульс будет распространяться теперь в среде, у которой медленные атомы являются усиливающими, а для быстрых атомов он является прозрачным, поскольку его площадь равна 2p. Поскольку в поглощающей и усиливающих средах возбуждения среды ведут себя как разноименно заряженные частицы, то такая последовательность импульсов будет вести себя как связанная пара импульсов. Численные эксперименты показывают, что так оно и происходит.
Картина пространственно-временной динамики распространения связанной пары импульсов показана на рис. 3. Импульсы распространяются попеременно обгоняя друг друга, периодически изменяют свою амплитуду, но сохраняют неизменной свою площадь. Уменьшение начального расстояния между падающими импульсами приводит сначала к тому, что импульсы начинают отталкиваться (рис. 4, а), а затем распространяются в виде стационарной пары импульсов (рис. 4, б ). Возникает аналогия, что наряду с силами притяжения между частицами начинают действовать и обменные взаимодействия, не позволяющие импульсам сблизиться на расстояние, меньшее их длительности.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На рассмотренном примере мы видим, что линейный мир - это мир гармонических колебаний, соответствующий свободным невзаимодействующим частицам. Конечная ширина пространственного или временного спектра, приводящая к пространственной или временной локализации процесса, возникает в нем лишь при учете диссипации. Однако диссипация есть не что иное, как передача части энергии рассматриваемой системы другой подсистеме, с ней взаимодействующей. Наличие такого взаимодействия приводит к тому, что получающиеся уравнения динамики общей системы становятся нелинейными. Мы можем лишь использовать их линейное приближение в том случае, когда энергия, передаваемая одной из подсистем, много меньше, чем та предельная энергия, которая ей характерна. Использование предположения о возможности хотя бы для одной из подсистем иметь бесконечную энергию часто приводит к парадоксам или неправильным выводам. В нелинейном мире выделенную роль, по-видимому, начинают играть импульсы стационарной площади. В однокомпонентных средах с рассмотренным нами видом нелинейности импульсы конечной площади являются одновременно и стационарными по форме. В многокомпонентных средах они могут образовывать связанные нестационарные возбуждения. Особенности динамики распространения оптических импульсов в резонансных средах вызывают ассоциации с неоптическими явлениями. Поэтому можно предположить, что изучение особенностей динамики даже простых нелинейных систем может привести к неожиданным открытиям в области познания структуры материи.
ЛИТЕРАТУРА
1. Маневич Л.И. Линейная и нелинейная математическая физика: от гармонических волн к солитонам // Соросовский Образовательный Журнал. 1996. ╧ 1. С. 86-93.
2. Кудряшов Н.А. Нелинейные волны и солитоны // Там же. 1997. ╧ 2. С. 85-91.
3. Андреев А.В. // Успехи физ. наук. 1990. Т. 160. С. 1-46.
4. Крюков П.Г., Летохов В.С. // Там же. 1969. Т. 99. С. 169-227.
Рецензент статьи В.В. Осипов
* * *
Анатолий Васильевич Андреев, доктор физико-математических наук, профессор физического факультета МГУ. Область научных интересов - теория когерентных явлений в оптике, динамика генерации лазеров, взаимодействие излучения с веществом, рентгеновская оптика и спектроскопия, теория отражения волн от шероховатых поверхностей. Автор более 150 научных статей и двух монографий.
