Портал | Содержание | О нас | Авторам | Новости | Первая десятка | Дискуссионный клуб | Чат Научный форум Первая десятка "Русского переплета" Темы дня:

Мир собирается объявить бесполётную зону в нашей Vselennoy! | Президенту Путину о создании Института Истории Русского Народа. |Нас посетило 40 млн. человек | Чем занимались русские 4000 лет назад? | Кому давать гранты или сколько в России молодых ученых?

Рассматриваются различные способы введения расстояния между двумя функциями, определенными на отрезке: непрерывными, дифференцируемыми, интегрируемыми. Вводится понятие нормы и на основе сравнения норм выводятся теоремы, связывающие изучаемые классы функций.

А. О. ВАТУЛЬЯН

Ростовский государственный университет, Ростов-на-Дону

ВВЕДЕНИЕ

Понятие расстояния между двумя точками на плоскости или в пространстве известно каждому школьнику. Это понятие как одно из основных понятий геометрии, сложившееся еще в древние времена, в XX веке было обобщено, и сейчас расстояние - важнейшее понятие современной теории функций и функционального анализа.

Одно из главных понятий современного анализа - понятие предела, известное из школьного курса. Понятие предела последовательности вещественных чисел обобщено на последовательности произвольной природы, причем сходимость последовательности {xn} к элементу x означает неограниченное уменьшение расстояния между этими элементами при n ?. В зависимости от того, как мы определяем расстояние между элементами, получаем различные определения предела. Чтобы уяснить сущность понятия "расстояние", сделаем небольшое отступление и вспомним основные свойства обычного расстояния между двумя точками.

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ

В КОНЕЧНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Если на плоскости заданы две точки A(xA , yA) и B(xB , yB), то расстояние между ними r(A, B ) находится по известной формуле

При математическом моделировании часто приходится рассматривать не только привычные нам одномерное (прямая), двумерное (плоскость), трехмерное пространства, но и их обобщение - n-мерное пространство, в котором положение точки определяется заданием n координат. При использовании n-мерных моделей [1] расстояние между точками A(x1A , x2A , _, xnA) и B(x1B , x2B , _, xnB) находится по формуле

Введенное согласно формулам (1), (2) расстояние между двумя точками обладает следующими свойствами:

1) r(A, B ) $ 0, причем равенство нулю расстояния возможно тогда и только тогда, когда точки A и B совпадают;

2) r(A, B ) = r(B, A ), то есть расстояние симметрично;

3) r(A, B ) + r(B, C ) $ r(A, C ).

Последнее неравенство называется неравенством треугольника. Действительно, при n = 2 это неравенство выражает собой известное свойство: в любом треугольнике длина любой стороны меньше суммы двух других сторон, причем знак равенства возможен лишь тогда, когда треугольник вырождается, то есть точки A, B, C лежат на одной прямой.

Возникает вопрос: можно ли задать расстояние между двумя функциями y1(x) и y2(x), заданными на отрезке [a, b] и характеризуемыми бесконечным числом ординат, так, чтобы это понятие обобщало определения (1), (2) и удовлетворяло свойствам 1-3? Оказывается, что способ задания расстояния для функций зависит от свойств этих функций: непрерывности, дифференцируемости, интегрируемости. При этом способ введения расстояния должен учитывать характерные свойства функций, которые мы изучаем.

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ФУНКЦИЯМИ

Функцию y(x), определенную на отрезке [a, b], характеризует набор ординат yk = y(xk), где xk k [a, b]. Поскольку таких ординат бесконечное количество, то их можно отождествить с точками, у которых бесконечное число координат. Соответственно вопрос об их сравнении непрост. Дадим следующее

Определение 1. Расстоянием между двумя функциями назовем неотрицательное число r, удовлетворяющее условиям 1-3.

Для непрерывных функций y1(x) и y2(x) можно определить расстояние между ними как максимум абсолютной разности ординат (рис. 1)

при этом оказываются выполненными свойства 1-3. Первые два очевидны, а третье вытекает из неравенства для абсолютной величины

| y1 - y2 | + | y2 - y3 | $ | y1 - y3 |.

Отметим, что точно по такой же формуле (3) можно определять расстояние и между разрывными ограниченными функциями.

Определение 2. Множество непрерывных на [a, b] функций с расстоянием, определенным согласно (3), называется пространством непрерывных функций и обозначается C [a, b].

Это пример так называемого метрического пространства, строгое определение которого можно почерпнуть в одном из предыдущих номеров "Соросовского Образовательного Журнала" [2].

Если функции y1(x) и y2(x) имеют конечные производные в каждой точке отрезка [a, b], то расстояние между этими функциями можно также определить по формуле (3), однако при таком определении стремление расстояния к нулю означает лишь близость всех ординат, но не производных. Обычно же в этом случае расстояние определяется как сумма максимума абсолютной разности между ординатами функций и максимума абсолютной разности между ординатами производных

При этом производная функции y(x) в граничной точке отрезка, например в точке a, определяется как

Нетрудно видеть, что расстояние, заданное формулой (3), всегда не больше, чем заданное формулой (4), то есть расстояние зависит от свойств функции и оказывается большим для более узкого множества дифференцируемых функций.

Определение 3. Множество функций, имеющих в каждой точке [a, b] непрерывную производную с расстоянием, определяемым согласно (4), назовем пространством непрерывно дифференцируемых функций на отрезке [a, b], обозначим его C 1[a, b].

Так, близость функций в C 1[a, b] означает не только малость разности соответствующих ординат, но и малость разности их производных (рис. 2). Аналогично пространству C 1[a, b] можно ввести пространство n раз непрерывно дифференцируемых функций C n[a, b] с расстоянием между функциями

Итак, расстояние между двумя функциями y1(x) и y2(x) определяется в зависимости от свойств рассматриваемых функций. В частности, для функций, которые необязательно дифференцируемы (и даже разрывны на [a, b]), можно определить это расстояние следующим образом. Разобьем отрезок [a, b] набором точек a # x0 < < x1 < _ < xn = b и составим сумму

Если устремить n ? таким образом, что max | Dxk | 0, то, используя определение интеграла, придем к следующей формуле для расстояния между функциями:

Определение 4. Множество функций с расстоянием, определяемым формулой (6), назовем пространством функций, суммируемых с квадратом, это пространство обозначим L2[a, b].

Можно показать, что введенное согласно (6) расстояние удовлетворяет свойствам 1-3 [3], а в L2[a, b] можно измерять расстояние и между разрывными функциями (рис. 3).

НОРМА ФУНКЦИИ

Теперь, после того как мы определили расстояние между функциями, можно определить и норму функции.

Определение 5. Нормой функции y(x) будем называть ее расстояние до 0-функции, то есть до такой функции, которая принимает нулевое значение для всех значений аргумента x k [a, b]. Обозначается это следующим образом:

r(y, 0) = | | y | |.

Естественно, что норма элемента зависит от определения расстояния или от того, в каком пространстве измеряется это расстояние.

Так, например, имеет место очевидное

Свойство 1.

или

Из последнего неравенства (7) вытекает известная теорема анализа.

Теорема 1. Всякая функция y(x) k C 1[a, b] непрерывна.

В самом деле, если y k C 1[a, b], то Отсюда вытекает, что | | y | |C [a, b] # const и | | y ' | |C [a, b] # const. Это означает, что y(x) и y'(x) на [a, b] ограничены. В силу формулы конечных приращений Лагранжа y(x1) - - y(x2) = y'(x*)(x1 - x2) (x* k [x1 , x2], x1 , x2 k [a, b]) и ограниченности y'(x) следует, что y(x1) - y(x2) 0, как только x1 - x2 0, то есть y(x) непрерывна.

ВЛОЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ

На основании сравнения норм функций в различных пространствах функций можно установить некоторые свойства пространств функций, которые называются теоремами вложения.

Определение 6. Будем говорить, что пространство X вложено в Y (X ? Y ), если все элементы пространства X принадлежат Y. Если y k Y, то | | y | | = rY(y, 0) < ?.

Так, в силу (7) следует, что

C n[a, b] ? C 1[a, b] ? C [a, b], n > 1.

Кроме того, в силу свойств интеграла имеет место

Теорема 2. Всякая непрерывная на отрезке функция интегрируема с квадратом.

Пусть у(x) непрерывна на [a, b], тогда у2(x) также непрерывна на [a, b], а из интегрируемости непрерывной функции следует утверждение теоремы.

Отсюда следует неравенство

Здесь использовано неравенство , которое следует из при y1 = y2 . Следствием неравенства (8) является вложение C [a, b] ? L2[a, b]. Обратное утверждение неверно, например функция однако и имеет в нуле разрыв.

Взаимное соотношение между пространствами функций можно схематично изобразить на рис. 4. Самое широкое пространство из рассмотренных выше - пространство суммируемых с квадратом функций, самое узкое - пространство C n[a, b]. В математике используются не только эти, наиболее употребительные, но и другие типы пространств, которые могут быть шире или уже рассмотренных пространств, а могут занимать и некоторое промежуточное положение. Таковым, например, является пространство Г╦льдера H m[a, b], 0 < < m # 1, которому принадлежат функции, определенные на [a, b] и удовлетворяющие условию

| y(x1) - y(x2) | # A | x1 - x2 | m, A = const,

для любых x1 , x2 k [a, b].

Нетрудно видеть, что если в (9) m > 1, то это множество очень узкое и состоит только из функций вида y(x) = const. Однако условие 0 < m # 1 делает это пространство достаточно емким. Очевидно, что функции из H m[a, b] непрерывны на [a, b]. Действительно в силу неравенства (9) из условия x1 - x2 0 следует, что и y(x1) - y(x2) 0. Однако функции из H m[a, b] необязательно дифференцируемы. Так, например, функция y(x) = | x | s C 1[-1, 1], однако | x | k H 1[-1, 1].

Таким образом, C 1[a, b] ? H m[a, b] ? C [a, b] и функции из H m[a, b] занимают некоторое промежуточное положение между непрерывными и дифференцируемыми. Норма в пространстве H m[a, b] вводится следующим образом:

Из этого определения нормы (10) видно непосредственно, что

Кроме того, легко установить интересные вложения пространств H m[a, b]. Пусть 0 < m1 < m2 # 1. Тогда имеет место вложение

Пусть Это означает, что Покажем тогда, что и Действительно, в силу условия получим, что

а это и означает справедливость указанного выше вложения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выделим из рассмотренных выше пространств функций некоторые, которые в математике принято называть гильбертовыми по имени немецкого математика Д. Гильберта. Гильбертовы пространства - это обобщение n-мерного евклидова пространства при n ?. В гильбертовом пространстве можно ввести скалярное произведение [1] элементов, оно обладает многими свойствами евклидова пространства. Так, например, гильбертовым пространством является L2[a, b], скалярным произведением двух элементов f, g k L2[a, b] называется

Имеет место неравенство

которое называется неравенством Коши-Буняковского. В гильбертовом пространстве вводится понятие ортогональности элементов, для которых скалярное произведение равно нулю. В гильбертовых пространствах существует бесконечная последовательность ортогональных элементов {jk}, а каждый элемент гильбертова пространства может быть представлен в виде линейной комбинации базисных элементов.

Примеры таких систем представлены в [3]. Эти особенности гильбертовых пространств позволили произвести их анализ гораздо глубже, чем метрических, что и предопределило их широкое использование в приложениях.

Умение измерять функции, то есть использовать информацию о том, в каком пространстве отыскивается решение какой-либо задачи, часто позволяет доказывать теоремы существования решений, не решая самой задачи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1980. 175 с.

2. Баскаков А.Г. Сжимающие отображения и решение нелинейных уравнений // Соросовский Образовательный Журнал. 1997. ╧ 5. С. 118-121.

3. Ильин В.А. Базисы в евклидовых пространствах и ряды Фурье // Там же. 1998. ╧ 4. С. 95-101.

Рецензенты статьи В.Г. Сушко, В.А. Ильин

* * *

Александр Ованесович Ватульян, доктор физико-математических наук, профессор кафедры теории упругости Ростовского государственного университета и профессор кафедры высшей математики Донского государственного технического университета. Область научных интересов - математические вопросы распространения волн в анизотропных средах, обратные граничные и геометрические задачи механики, интегральные уравнения, численные методы. Автор около 120 публикаций.