|
|
Статьи Соросовского Образовательного журнала в текстовом формате
В статье приведены дифференциальные уравнения динамического баланса. Эти уравнения могут быть как одномерными, так и многомерными, они имеют экологическую и экономическую интерпретации. Основное внимание направлено на экономическую интерпретацию, которая связана с семейным бюджетом.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯДИНАМИЧЕСКОГО БАЛАНСА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
А. П. ЧЕРНЯЕВ
Московский физико-технический институт, Долгопрудный Московской обл.
Природа и общество изобилуют процессами, происходящими около положений равновесия, интерес к которым сильно вырос в последнее время. Простые модели таких процессов в живой природе и обществе должны найти достойное место в учебных программах, начиная со школы [1]. Мы ограничимся лишь дифференциальными моделями процессов и явлений, происходящих в живой природе и обществе.
1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОГО БАЛАНСА
Рассмотрим уравнение
x' = P - R, P $ 0, R $ 0,
где x = x(t) - изучаемая величина, P = P(t, x) - источник, а R = R(t, x) - потери. Они выводятся аналогично [2], в предположениях существования x', непрерывности P и R по совокупности переменных: представления
и формулы Ньютона-Лейбница для левой части (2).
Остановимся теперь на примерах процессов, описываемых уравнением (1).
Дифференциальное уравнение
экологического баланса
Мальтузианская и логистическая модели
Рассмотрим дифференциальную модель популяции, связанную с ее размножением и вымиранием [3, гл. 1].
Пусть x = x(t) - число особей в популяции в момент времени t. Тогда, если в (1) P и R - число особей, рождающихся и умирающих в популяции в единицу времени соответственно, то можно утверждать, что уравнение (1) описывает скорость изменения x со временем. Если предположить, что рождаемость и смертность от времени не зависят, то приходим к простому случаю
P = ax, R = bx; a > 0, b > 0,
где a и b - коэффициенты рождения и смерти особей в единицу времени соответственно. С учетом (3) уравнение (1) перепишется в виде
x' = (a - b)x.
Решая (4) с начальным условием
x(t0) = x0 , x0 $ 0
(для этого достаточно разделить (4) на x, проинтегрировать и перейти от логарифма к экспоненте), находим
x = x0 exp [(a - b)(t - t0)].
Из (6) следует, что если a > b, то при t + ? x + ?, а если a < b, то при t + ? x 0 и популяция становится вымирающей.
Эта простейшая модель роста (4) при a > b была предложена Т.Р. Мальтусом (см. [3, с. 8, 15]) для описания роста населения Земли.
Однако число особей любой популяции ограничено размерами и ресурсами места ее проживания. И тогда вместо модели с функциями (3) вступает в силу модель, также описываемая (1) с функциями [3, с. 8]
P - R = ax - bx2; a > 0, b > 0.
Уравнение (1) при (7) перепишется в виде
x' = ax - bx2.
Сразу указываем на решения x = 0 и x = a / b. Чтобы найти решения, отличные от этих, нужно представить (1) в виде
и проинтегрировать. Разлагая на простые дроби, переходя от логарифма к экспоненте и используя условие (5), мы находим, что
Из (9) видно, что при t + ? x a / b, причем если a / b < x0 , то x убывает, а если a / b > x0 , то x возрастает. Уравнение (8) описывает модель популяции, рост численности которой не беспределен, но ограничен некоторым необходимым ей ресурсом. Оно называется уравнением Ферхюльста-Пирла.
Уравнение (9) называется уравнением логистической кривой, а (8) при (5) - логистической моделью. Уравнения (4) и (8) можно при малых x рассматривать как частные случаи уравнения (1), правая часть которого зависит лишь от x и в ней используется конечное число членов разложения по формуле Тейлора. В случае (4) берется один член разложения, а в случае (8) - два члена.
Популяция, подверженная промыслу
Рассмотрим теперь популяцию, подверженную промыслу [3, c. 21], то есть из популяции в единицу времени изымается некоторое число особей c, которое мы будем называть "урожаем". В этом случае
P - R = ax - bx2 - c, a > 0, b > 0, c > 0.
Уравнение (1) при (10) перепишется в виде
x' = ax - bx2 - c
и решается аналогично (8). Однако поступим проще. В случае, когда D = a2 - 4bc > 0, существуют два корня и мы делаем замену x - x1 = z. Уравнение (11) и начальное условие (5) преобразуются к виду z' = b(x2 - x1)z - bz2 и z(t0) = x0 - x1 соответственно. Пользуясь для получения z формулой (9) и производя обратную замену к x, получаем формулу, обобщающую (9):
Из полученных формул следует, что стационарные решения уравнения (11) x = x1 > 0, x = x2 < a / b при возрастании c от нуля до a2 / 4b приближаются друг к другу с одинаковой скоростью и становятся равными a / 2b при c = a2 / 4b. Это значение c является критическим, ибо при его увеличении популяция вымирает. Это следует из неравенства x' < a2 / 4b - c, правая часть которого является максимумом квадратного трехчлена правой части (11) и отрицательна. Этот максимум достигается при x = a / 2b. Далее, применяя теорему Лагранжа, с учетом последнего неравенства получаем x(t) < x0 + (a2 / 4b - c)t, откуда следует обращение x в нуль за конечное время.
При D > 0 популяция имеет два равновесных состояния, соответствующие указанным выше стационарным решениям, из которых первое неустойчиво, а второе устойчиво, что следует из формулы (12) при t - ? и t + ?. Из неустойчивости первого состояния следует, что если вследствие каких-либо причин численность популяции упадет хоть немного ниже уровня x1 , то в дальнейшем популяция будет уничтожена полностью за конечное время. Устойчивость второго состояния означает, что популяция в этом случае восстанавливается при малых отклонениях x от равновесного значения x2 .
Из сказанного видно, что выбор значения параметра c важен при управлении промыслом. Стремясь к увеличению урожая c, разумная планирующая организация не должна превышать критический уровень. При критическом значении c популяция не уничтожается, а доход от промысла максимален. Однако небольшое случайное уменьшение численности популяции при критическом значении c приводит к полному уничтожению популяции за конечное время.
Рассмотрим теперь второй режим промысла [3, с. 21], когда из популяции изымается постоянная доля особей от численности популяции c = kx, где параметр k подлежит выбору. Из (11) имеем
x' = ax - bx2 - kx = (a - k)x - bx2, k > 0.
Мы видим, что (13) получается из (8) заменой a на a - k. Заменяя в (9) a на a - k, получаем формулу для решения уравнения (13) при начальном условии (5)
Исследование формулы (14) аналогично исследованию формулы (9). Остановимся лишь на случае k < a. При t + ? x (a - k)/ b, причем если (a - k)/ b < < x0 , то x убывает, а если (a - k)/ b > x0 , то x возрастает. В этих условиях количество изымаемых из популяции в единицу времени особей, то есть урожай c = kx при t + ?, стабилизируется к величине c = (a - k)k / b, которая достигает максимума c = a2 / 4b при k = a / 2, причем отклонение k от a / 2 как в одну, так и в другую сторону влечет снижение урожая, а не гибель популяции.
Отсюда следует различие режимов промысла, хотя максимальный стационарный урожай для них один и тот же c = a2 / 4b. Второй режим, при котором из популяции изымается определенная ее доля, явно более предпочтителен, так как не приводит к исчезновению популяции.
Остановимся теперь на биологической трактовке уравнений (4) и (8). В уравнении (4) рождаемость a и смертность b не зависят от численности популяции. Предположение о независимости рождаемости и смертности от численности отвечает представлению о свободной популяции [3, с. 18].
Очевидно, что беспредельный рост популяций невозможен из-за ограниченности внешних ресурсов: источников пищи, мест обитания и т.п. Эта ограниченность приводит к внутривидовой конкуренции, которая проявляется в зависимости рождаемости, смертности или их обеих от плотности популяции, а значит, и численности [3, с. 18], поскольку в условиях ограниченности мест обитания плотность и численность популяции становятся пропорциональными. Рождаемость с ростом плотности падает, а смертность растет. Наиболее простым, общепринятым и подтвержденным во многих случаях экспериментально является предположение о линейном характере этих зависимостей. Отсюда
P = x(a - bx), R = x(g + dx);
a > 0, b > 0, g > 0, d > 0.
Подставляя последние равенства в (1), получим совпадающее с (8) уравнение
x' = (a - g)x - (b + d)x2.
Квадратичный член в уравнении (8) указывает на то, что принятый линейный вид зависимости рождаемости, смертности или их обеих от плотности популяции допускает довольно естественную, хотя и механистическую интерпретацию внутривидовой конкуренции: абсолютная недостача особей в условиях ограниченности ресурсами по сравнению с ростом свободной популяции пропорциональна количеству контактов (столкновений) между особями [3, с. 18].
Дифференциальное уравнение
семейного денежного баланса
Уравнение семейного денежного баланса
и свойства функции расхода
Пусть x = x(t) $ 0 - денежные накопления (сбережения) семьи [2], тогда доход P = P(t) зависит только от времени, а расход R = R(x) считаем зависящим только от накоплений. Уравнение (1) будет тогда выглядеть
x'(t) = P(t) - R(x).
Будем называть (15) уравнением семейного денежного баланса [2, 4].
В простейшем случае R(x), x $ 0, лишь повседневные расходы. Считаем функцию R(x) удовлетворяющей условию Липшица и требуем выполнения следующих условий: 1) функция R(x) монотонно не убывает по x; 2) существует положительное число R *, не зависящее от t, такое, что семья за время, не превосходящее единицу, не может истратить денег больше, чем R *, то есть для любого J k (0, 1]
При наложении этих условий мы руководствовались достаточно простыми экономическими соображениями. Условие 1 мы наложили на основании того, что при увеличении накоплений семьи увеличиваются и расходы. Условие 2 основано на том, что, как бы ни была богата семья, истратить денег на повседневные расходы больше какой-то определенной суммы она не может. Может быть, это соображение небезусловно, однако мы считаем его экономически оправданным и придерживаемся его в этой статье.
Укажем теперь на некоторые простые геометрические свойства функции расхода, характеризующие поведение R(x) на бесконечности и в правой окрестности нуля.
1. Рассмотрим поведение R на бесконечности. Условие 2 имеет достаточно простую геометрическую интерпретацию, оно фактически означает ограниченность функции расхода на бесконечности. Действительно, для выполнения условия 2 необходима и достаточна справедливость неравенства
R(x) # R *
для любого x $ 0.
Пусть выполнено (17). Тогда справедливость условия 2 получается из цепочки
Доказательство обратного утверждения сложнее и полностью приведено в [2].
Заметим, что можно было вместо условия 2 сразу постулировать справедливость (17), однако из-за указанной выше экономической трактовки неравенства (16) мы считаем наложение условия 2 экономически более состоятельным.
Из условия 1 и (17) следует существование такой положительной постоянной R* , что
Исходя из (17), последнего выражения и условия 1 можно кратко охарактеризовать поведение R на бесконечности следующим образом:
С экономической точки зрения (18) может служить индикатором семей по доходам. Семьи, доходы которых не могут приблизиться к R* , можно назвать семьями с низкими доходами. Семьи, доходы которых находятся вблизи R* , можно назвать семьями со средними доходами. Семьи, доходы которых значительно превышают R* , можно назвать семьями с высокими доходами.
2. Рассмотрим теперь поведение R в правой окрестности нуля. Предположим, что в какой-то момент времени t* x(t*) = 0. Поскольку для жизни семьи нужно, чтобы x(t) $ 0, то получаем, что при t = t* x(t) имеет минимум и из теоремы Ферма следует, что x'(t*) = 0. Используя уравнение (15), имеем
R(0) = P(t*).
Равенство (19) характеризует поведение R в правой окрестности нуля и может быть названо условием выживания.
Свойства решений уравнения баланса
Исследуем теперь поведение решений уравнения (15) при t + ?.
Пусть сначала для простоты P не зависит от t. Тогда в уравнении (15) переменные разделяются. Если доход невысокий, то есть 0 < P < R*, то уравнение (15) имеет стационарное решение x = x1 , где x1 - решение уравнения
P = R(x).
В силу свойств R(x) решение x1 существует. Если дополнительно предположить строгую монотонность R(x), то x1 единственно. Стационарное решение является решением задачи (15), (5), если x1 = x0 . Таким образом, при условии x1 < R* , если x0 удовлетворяет уравнению (20), то задача (15), (5) имеет стационарное решение x = x0 .
Если x0 не является решением уравнения (20), то справедливо равенство
При P = const нестационарное решение задачи (15), (5) удовлетворяет уравнению
Здесь x1 - решение уравнения (20) - не задевает отрезка с концами x0 и x.
Пользуясь конкретным видом (21) и свойствами R(x), можно установить асимптотические свойства x(t) при t + ? и сделать из этих свойств экономические выводы.
Ограничиваясь случаем, когда R '(x) существует и положительна, заменяя в левой части (21) | s - x1 | на 1 / u и пользуясь результатом по асимптотике получившегося интеграла [5, гл. 1, п. 4], получаем, что при x x1
Из (21) и (22) будем иметь при x x1
Соотношение (23) дает, что при x x1 t + ?, а значит, при t + ? x x1 . Экономический вывод отсюда таков: невыгодно иметь большие накопления x0 , так как x1 не зависит от x0 . Выгодно так вложить деньги, чтобы увеличить P (положить в надежный банк, перевести в более твердую валюту и т.д.), тогда увеличится и x1 .
В работе [2] рассмотрены свойства решений уравнения (15), когда P зависит от t, при более сильных предположениях, чем в настоящей статье. В [2] дополнительно предполагаются существование и непрерывность P '(t) и R '(x), отличие от нуля P '(t) при достаточно больших t и доказано неравенство нулю x'(t) для достаточно больших t. Отсюда следует монотонность x(t), а значит, в силу условия 1 и монотонность R(x(t)). Используя ограниченность R(x), имеем существование конечного предела R(x(t)) при t + ?. Предполагая существование конечного предела P(t) при t + ?, из (15) получаем существование конечного предела x'(t) при t + ?, если только x(t) не становится отрицательным.
В случае семей с низкими доходами, то есть
либо x'(t) 0 при t + ?, либо x(t) становится отрицательным. Предположив противное, то есть что x'(t) стремится к положительному пределу при t + ?, получаем, что x(t) + ? при t + ?. Но тогда из (15) и (24) получаем, что при больших t x'(t) < 0, что противоречит нашему предположению. Не рассматривая случая отрицательных сбережений, переходим к пределу при t + ? в уравнении (15). Пользуясь непрерывностью R(x), получаем
R(x?) = p? ,
где Мы можем рассматривать (25) как трансцендентное уравнение для определения x? . В случае семей не с низкими доходами, то есть когда p? $ R* , x'(t) не обязана стремиться к нулю при t + ?.
Пример точного решения
уравнения динамического баланса
Нетрудно видеть, что условиям, которым должна удовлетворять функция расхода, удовлетворяет, например, при x $ 0 функция
так как она имеет положительную производную и ограничена сверху [4].
Рассмотрим теперь в качестве примера частный случай уравнения (15) при P = const и (26), то есть
Интегрируя (27) в случае P = R* [4] и находя константу интегрирования из условия (5), будем иметь
Знак плюс перед корнем в (28) следует из условия (5). Итак, если P = R* , то решение задачи (27), (5) дается формулой (28). Легко видеть, что сбережения в этом случае растут как
Пусть теперь P ? R* , тогда (27) имеет стационарное решение,
Разделяя переменные в уравнении (27), интегрируя полученное [4] и находя константу интегрирования из условия (5), получим
Итак, если P ? R* , то решение задачи (27), (5) дается формулой (30).
Выражение (30) позволяет выяснить зависимость сбережений от времени. Пусть сначала P > R* . Если t + ?, тогда левая часть (30) также стремится к + ?, а значит, и x - x0 + ?. Разделив (30) на x - x0 и переходя к пределу при t + ?, получаем, что x - x0 ~ ~ (P - R*)t при t + ?. Пусть теперь P < R* . Если t + ?, то обе части (30) стремятся к - ?. Однако в левой части (30) к - ? может стремиться только второе слагаемое при стремлении x к стационарному решению (29). Таким образом, при t + ? x из (30) стремится к стационарному решению.
Итак, если P < R* , то с ростом t x из (30) стремится к постоянной, равной стационарному решению уравнения (27); если P = R* , то с ростом t x из (30) стремится к + ? как а при P > R* с ростом t x из (30) стремится к + ? линейно по времени.
2. СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКОГО БАЛАНСА
Если (1) рассматривать в векторном виде
то полученную систему можно интерпретировать как систему дифференциальных уравнений динамического баланса.
В двумерном случае (31) будет иметь вид
где - изучаемая величина, = (P1 , P2) - источник, а - потери.
Соображения, приводящие к системам (31) и (32), аналогичны одномерному случаю.
Система дифференциальных уравнений
семейного денежного баланса
Разберем двумерную модель формирования сбережений и спроса на деньги [6]. В системе уравнений
имеются активы двух видов: наличные деньги x1 и ценные бумаги x2 , которыми обладает домашнее хозяйство, доходы которого складываются из зарплаты P, процентов по деньгам rx1 , процентов по ценным бумагам rx2 (r и r - ставки процентов по деньгам и ценным бумагам) и выплаты денег при погашении ценных бумаг sx2 / q (s и q - текущий рыночный курс и среднее время погашения ценных бумаг). Доходы домашнего хозяйства идут на текущее потребление pR1 (p - индекс потребительских цен, R1 - объем совокупного потребления) и приобретение ценных бумаг R2 .
Предположим, что приобретение и продажа ценных бумаг осуществляются не мгновенно: - sx2 / D < R2 < x1 / D, где D - малый промежуток времени, поэтому введем параметр z k [0, 1], такой, что
Будем считать, что платежи pR1 нельзя осуществить, если нет достаточного запаса денег: что дает возможность ввести управление c k [0, 1]:
Интересы домашнего хозяйства описываются полезностью будущего потребления на интервале времени (0, T ). Предполагается, что полезность от немедленного потребления в exp (td) раз больше, чем полезность от того же объема продуктов через время t (d - коэффициент дисконтирования полезности), и максимизируемый функционал запишется в виде
где b > 1, - функция полезности потребления. Таким образом, поставлена задача оптимального управления (36) при (35), (33) с условиями x1(0) = x10 , x2(0) = x20 и управлениями c и z.
Необходимым и достаточным условием оптимальности в поставленной задаче является принцип максимума Понтрягина: управление (c, z) оптимально, когда оно доставляет максимум функции Гамильтона [6]. При помощи принципа максимума утверждается, что система может находиться в трех режимах. Первый и второй режимы соответствуют максимально быстрому переводу средств в более выгодную форму (продажа акций, если деньги предпочтительнее, или покупка акций в противном случае). Третий режим соответствует равноценности активов, в теории оптимального управления он называется особым. Оказывается, что большую часть времени оптимальная траектория находится в особом режиме.
Интересно отметить, что, несмотря на сложную постановку этой задачи, ее решение по характеру совпадает с решениями уравнений Ланчестера [7, с. 238], которые истолковываются как простейшая модель войны двух популяций. В результате этой войны либо одна популяция, побеждая, уничтожает другую, либо они постепенно истребляют друг друга.
ЛИТЕРАТУРА
1. Вейцман И.Б. О преподавании темы <Дифференциальные уравнения> в школе // Обучение в математических школах. М.: Просвещение, 1965. С. 87-123.
2. Меерсон А.Ю., Черняев А.П. Свойства решений динамического уравнения семейного баланса // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики. М.: МФТИ, 1997. С. 124-131.
3. Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М.: Наука, 1985. 182 с.
4. Меерсон А.Ю., Черняев А.П. Точное решение уравнения динамического баланса для денежных семейных накоплений // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики. М.: МФТИ, 1998. С. 94-98.
5. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции. М.: Наука, 1978. 375 с.
6. Гуриев С.М. Модель формирования сбережений и спроса на деньги. I, II // Мат. моделирование. 1994. Т. 6, ╧ 7. С. 15-54.
7. Вентцель Е.С., Лихтерев Я.М., Мильграм Ю.Г., Худяков И.В. Основы теории боевой эффективности и исследования операций. М.: ВВИА, 1961. 524 с.
Рецензент статьи А.А. Цхай
* * *
Александр Петрович Черняев, доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики Московского физико-технического института. Область научных интересов - теория фильтрации, математическая биофизика, математическая экономика. Автор более 60 научных статей по различным вопросам математики.
