|
|
Статьи Соросовского Образовательного журнала в текстовом формате
Рассмотрены симметрии графиков функций, указаны способы применения этих симметрий при решении уравнений.
СИММЕТРИИ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙИ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И. И. ЧУЧАЕВ
Мордовский государственный университет им. Н.П. Огарева, Саранск
Хорошо известна роль симметрии в геометрии и алгебре. Многие сталкивались с задачами, решение которых значительно упрощается при использовании симметричности фигур или алгебраических выражений. Настоящая статья адресована преимущественно старшеклассникам. Ее цель - показать, что графики основных элементарных функций симметричны относительно преобразований, порожденных сдвигами, симметриями, гомотетиями и инверсиями прямой, и указать, как симметрии графиков функций могут быть использованы при решении уравнений.
1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ
Пусть X - непустое множество. Взаимно однозначное отображение f множества на себя называется преобразованием множества X. Ясно, что если f и g - преобразования множества X, то их суперпозиция f (g) и отображение f -1 (обратное к f ) также являются преобразованиями множества X.
В этом разделе будут рассмотрены преобразования числовых множеств (преобразования движения, подобия, инверсии), имеющие основополагающее значение в геометрии.
1.1. Преобразование движения
Преобразование f числовой прямой R называется движением на R, если оно сохраняет расстояния между точками R, то есть для любых x, y k R справедливо равенство
| f (x) - f (y) | = | x - y |.
Справедлива
Теорема 1. Если функция f - движение на R, то либо f (x) = x + a при всех x, либо f (x) = a - x. Если функция f (x) = x + a при любых x k R или f (x) = a - x, то f (x) - движение на R.
Действительно, пусть функция f (x) - движение на R, f (0) = a и x > 0. Ясно, что | f (x) - a | = x. Убедимся, что функция f (x) - a не меняет своего знака на (0; ?) и, значит, либо f (x) - a = x при всех x > 0, либо f (x) = a - x. Допустив противное, получим, что найдутся x1 > 0 и x2 > 0, такие, что f (x1) - a > 0, f (x2) - a < 0. Тогда
| x1 + x2 | = | f (x1) - f (x2) | = | x1 - x2 |,
и, значит, либо x1 = 0, либо x2 = 0, что невозможно.
Аналогично убеждаемся, что или f (x) - a = x при всех x < 0, или f (x) = a - x. Так как функции
f (x) = a + | x |, f (x) = a - | x |
не взаимно однозначны, то либо f (x) = a + x при всех x k R, либо f (x) = a - x.
Напомним, что преобразование, задаваемое функцией f (x) = x + a, называется сдвигом прямой R на a единиц, а преобразование, задаваемое функцией f (x) = = a - x, - симметрией относительно точки a /2. Очевидно, что эти преобразования являются движениями на R.
1.2. Преобразование подобия
Подобие на прямой - это преобразование на R, изменяющее все расстояния между точками R в одном и том же отношении k (иначе говоря, сохраняющее отношение расстояний между точками). Число k называется коэффициентом подобия. Имеет место
Теорема 2. Если функция f (x) - преобразование подобия (с коэффициентом подобия k) на R, то либо f (x) = = kx + a при всех x k R, либо f (x) = - kx + a. Если функция f (x) = kx + a при всех x k R и k ? 0, то f (x) - преобразование подобия на R с коэффициентом подобия | k |.
Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1.
Преобразование R, задаваемое функцией f (x) = kx, k > 0, называется гомотетией (растяжением) R с коэффициентом гомотетии k. Очевидно, что гомотетии на R суть подобия и любое подобие можно задать в виде композиции гомотетии, симметрии и сдвига.
1.3. Преобразование инверсии
Пусть заданы точка a k R и число r > 0. Каждой точке x k R, отличной от a, поставим в соответствие лежащую по одну сторону от a точку f (x), такую, что произведение расстояний от a до x и от a до f (x) равнялось r 2. Легко заметить, что соответствие f (x) является преобразованием множества R \ {a}. Оно называется инверсией R с центром в точке a радиуса r.
Пусть f (x) - инверсия R с центром в точке a радиуса r. Поскольку точки x и f (x) лежат по одну сторону от a, то
( f (x) - a)(x - a) = r 2.
Отсюда следует, что
где b = r 2 - a2 и, значит, a2 + b > 0.
Верно и обратное. Дробно-линейная функция (1) задает инверсию R с центром в точке a радиуса r = Тем самым справедлива
Теорема 3. Совокупность всех инверсий R совпадает с совокупностью всех дробно-линейных функций вида (1).
Функция g(x) = 1/ x задает инверсию с центром в нуле радиуса 1. Легко убедиться, что любую инверсию можно представить в виде суперпозиции двух сдвигов, гомотетии и инверсии с центром в нуле радиуса 1. Преобразование, обратное к инверсии f (x), является инверсией, совпадающей с f (x), а суперпозиция двух инверсий может и не быть инверсией.
1.4. Преобразования, задаваемые
дробно-линейными функциями
Дробно-линейная функция
где a, b, c и d - фиксированные числа, взаимно однозначна на области определения x ? - d / c. Она, вообще говоря, не является преобразованием R \ {d / c} (j(x) ? ? a / c при всех x ? - d / c). Дополним числовую прямую одной идеальной точкой ? (назвав ее бесконечностью и отождествив с + ?) и положим Доопределим функцию j(x) на - d / c и ?, приняв
(в случае c = 0 полагаем j(?) = ?). Из предыдущего следует, что доопределенная функция j(x) на R является преобразованием Эти преобразования будем называть дробно-линейными преобразованиями R.
Нетрудно заметить, что суперпозиция двух дробно-линейных преобразований R является дробно-линейным преобразованием, обратное преобразование к дробно-линейному - дробно-линейным. Совокупность всех дробно-линейных преобразований содержит как сдвиги, симметрии, подобия и инверсии R, так и их суперпозиции.
2. СИММЕТРИИ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
Напомним, что множество M ? X называется симметричным (инвариантным) относительно преобразования F : X X, если F (M ) = M, то есть если образ M совпадает с M.
Пусть j, y - дробно-линейные преобразования Тогда отображение F, которое каждой точке (x, y) множества ставит в соответствие точку (j(x), y(x)) этого же множества, является его преобразованием.
Пусть f - функция с областью определения D( f ) ? R. Доопределим функцию f (если это возможно) во всех предельных точках a области определения D( f ) по правилу
Очевидна следующая
Теорема 4. График функции y = f (x) симметричен относительно преобразования F тогда и только тогда, когда y(x) ? D( f ) при всех x ? D( f ) и справедливо равенство
f (y(x)) = j(f (x)).
Отсюда следует, что функция y = f (x) периодическая периода T в том и только том случае, если ее график симметричен относительно преобразования R i R, при котором точка (x, y) переходит в точку (x + T, y) ; график функции y = f (x) имеет ось симметрии x = a, если и только если 2a - x k D( f ) для любого x k D( f ) и f (2a - x) = f (x); точка (a, b) является центром симметрии графика функции y = f (x) тогда и только тогда, когда 2a - x k D( f ) при всех x k D( f ) и f (2a - x) = 2b - f (x).
При помощи последнего утверждения нетрудно убедиться, что точка перегиба (- b / 2a, f (- b / 2a)) кубической параболы f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, a ? 0, является центром ее симметрии.
График функции y = (x2 - 1)/ x симметричен относительно преобразования, которое точке (x, y) ставит в соответствие точку (1/ x, - y). График функции y = (4 - - 2x2)/ x симметричен относительно преобразования, при котором точка (x, y) переходит в точку (4/ x, 1/ y).
Используя теорему 4, легко доказать, что если график функции имеет или две вертикальные оси симметрии, или вертикальную ось симметрии и центр симметрии, то функция является периодической; если график функции y = f (x) имеет два центра симметрии, то найдутся линейная функция h(x) и периодическая функция g(x), такие, что f (x) = h(x) + g(x) при всех x k D( f ).
Функции линейная f (x) = x, показательная f (x) = a x, a > 0, a ? 1, логарифмическая f (x) = loga x, a > 0, a ? 1, степенная f (x) = x a относятся к основным элементарным функциям. Оказывается, их можно охарактеризовать при помощи совокупности рассматриваемых нами преобразований, относительно которых их графики симметричны.
Теорема 5. Функция f линейная ( f (x) = x) на R тогда и только тогда, когда ее график симметричен относительно всех преобразований R i R, при которых точка (x, y) переходит в точку (x + a, y + a) либо точка (x, y) переходит в точку (b - x, b - y), a, b k R.
Теорема 6. График функции y = ax симметричен относительно всех преобразований при которых точка (x, y) переходит в точку (x + b, aby) или точка (x, y) переходит в точку (b - x, ab / y), b k R. Если график функции y = f (x), определенной на R и принимающей положительные значения, симметричен относительно указанных преобразований, то f (x) = ax при всех x k R.
Теорема 7. График функции y = loga x симметричен относительно всех преобразований при которых точка (x, y) переходит в точку (abx, y + b) или точка (x, y) переходит в точку (ab / x, b - y), b k R. Если график функции y = f (x), определенной на (0, ?), симметричен относительно указанных преобразований, то f (x) = loga x для любого x k R.
Теорема 8. График функции y = x a симметричен относительно всех преобразований при которых точка (x, y) переходит в точку (kx, k ay) или точка (x, y) переходит в точку (k / x, k a / y), где k > 0. Если график функции y = f (x), определенной на (0, ?) и принимающей положительные значения, симметричен относительно указанных преобразований, то f (x) = x a при всех x > 0.
Доказательства приведенных теорем несложны. Докажем, например, теорему 7. Первая часть теоремы следует из свойств показательной функции и теоремы 4. Для доказательства второй части положим
h(x) = loga f (x).
Тогда функция h(x) определена на R и по теореме 4 при всех x, b k R справедливы равенства
h(x + b) = loga f (x + b) = loga ab f (x) = h(x) + b,
h(b - x) = b - h(x).
Согласно теореме 6, h(x) = x при всех x k R и, значит, f (x) = x a.
3. АВТОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ
Автоморфные функции являются обобщениями периодических и четных функций. Их теория, созданная в конце XIX и начале XX века, главным образом трудами А. Пуанкаре и Ф. Клейна, представляет собой в настоящее время обширную область комплексного анализа. Однако эти функции представляют интерес и при изучении функций действительного переменного.
Пусть функция f определена на D( f ) так, как указано в предыдущем разделе. Назовем ее автоморфной (квазиавтоморфной), если существует дробно-линейное преобразование j, такое, что j(x) т x, j(x) k D( f ) для любого x k D( f ) и f (j(x)) = f (x) (соответственно f (j(x)) = f (x)). При этом функцию j будем называть инвариантом (соответственно квазиинвариантом) функции f. Функцию j(x) ╞ x будем считать тривиальным инвариантом.
Иными словами, функция f автоморфна (квазиавтоморфна), если ее график симметричен относительно некоторого преобразования, при котором точка (x, y) переходит в точку (j(x), y) (соответственно (j(x), - y)), причем j(x) т x.
Ясно, что периодические функции (j(x) = x + T, T - период), четные функции (j(x) = j(- x)) являются автоморфными, а антипериодические и нечетные функции - квазиавтоморфными.
Функции x /(x2 + 1), ((x2 - 1) ln | x |)/ x являются автоморфными, j(x) = 1/ x - их инвариант; функция (x2 - - x + 1)3/ (x(x - 1))2 имеет пять инвариантов: 1 - x, 1/ x, 1/(1 - x), (1 - x)/ x, x /(1 - x).
Функции x /(x2 - 1), ln x, (x3 - 1)/(x3 + 1) квазиавтоморфные, j(x) = 1/ x - их квазиинвариант.
Отметим, что дробно-линейная функция j(x) является инвариантом (квазиинвариантом) многочлена ненулевой степени p(x) тогда и только тогда, когда j(x) = = 2b - x и (соответственно p(x) = ).
Теорема 9. Если непостоянная функция f (x) непрерывна на R, а линейная функция j(x) = kx + a является инвариантом или квазиинвариантом f (x), то | k | = 1.
Доказательство. Пусть j(x) = kx + a - инвариант f (x). Ясно, что k ? 0. Предположим, что | k | < 1. Поскольку
(j(n)(x) - n-кратная суперпозиция j(x)) - инвариант f (x), то при всех x k R и любом n k N справедливо равенство
Так как k n 0 при n ?, то из непрерывности функции f (x) следует, что f (x) = f (a /(1 - k)). Это невозможно.
Если предположить, что | k | > 1, то, заменив j(x) на
(j-1(x) - функция, обратная к j(x)), опять получим противоречие. Следовательно, | k | = 1.
Если j(x) - квазиинвариант функции f (x), то
j(2)(x) = k2x + ka + a
есть инвариант f (x) и, значит, k2 = 1.
Следующая теорема характеризует инварианты и квазиинварианты непрерывной периодической функции.
Теорема 10. Пусть f (x) - непрерывная периодическая функция на R периода T. Если j(x) - инвариант (квазиинвариант) f (x), то j(x) = x + nT + T /2, где n k Z.
Отыскание инвариантов функций - задача достаточно сложная. Однако для дробно-квадратичных функций
можно указать алгоритм их поиска.
Положим
s1 = bc1 - b1c, s2 = ac1 - a1c, s3 = ab1 - a1b.
Преобразуя равенство f (x) = f (y), где y = j(x), нетрудно получить, что
(y - x)(s1 + s2(x + y) + s3xy) = 0.
Отсюда следует, что
Заметим, что условие равносильно тому, что квадратные трехчлены ax2 + bx + c и a1x2 + b1x + + c1 имеют общий корень. Дробно-квадратичная функция f (x) не может иметь других инвариантов, ибо каждое свое значение она принимает не более двух раз (решение уравнения f (x) = c сводится к решению квадратного уравнения).
Если s3 = 0, то j(x) = - x - s1 / s2 . Это означает, что прямая x = - s1 /(2s2) является осью симметрии функции f (x). Условие s3 = 0 равносильно условию - b /(2a) = = - b1 /(2a1)). Поэтому график дробно-квадратичной функции симметричен относительно некоторой вертикальной прямой тогда и только тогда, когда оси симметрий парабол y = ax2 + bx + c, y = a1x2 + b1x + c1 совпадают.
4. СИММЕТРИИ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
И УРАВНЕНИЯ
В этом разделе изложим способы применения симметрий графиков функций при решении уравнений и начнем с приемов использования инвариантов автоморфных функций.
Применение инвариантов при решении уравнений вида
f (g(x)) = f (h(x)),
где f, g, h - некоторые функции, основано на следующем очевидном факте. Если функция j - инвариант f (в том числе и тривиальный), то решения уравнения
j(g(x)) = h(x),
содержащиеся в ОДЗ уравнения (2), являются корнями уравнения (2). Заметим, что спектр уравнений (2) достаточно широк - от хорошо знакомых по курсу математики средней школы до уравнений олимпиадного характера, предлагаемых и на Соросовских олимпиадах (см. пример 2). Перейдем к примерам.
Пример 1. Решите уравнение
Решение. ОДЗ уравнения: x ? 0; 1; 3; 7/2. Уравнение имеет вид (2), причем
Используя инварианты f, выписанные в предыдущем разделе, получим, что решения совокупности уравнений
содержащиеся в ОДЗ исходного уравнения, являются его корнями. Следовательно, 6, 7/3, суть решения уравнения. Поскольку уравнение сводится к алгебраическому уравнению десятой степени, то оно других решений не имеет.
Пример 2. Найдите наименьший положительный корень уравнения
{tg x} = sin x,
где {a} - дробная часть a [1, задача 11.1.1].
Решение. Ясно, что искомый корень уравнения содержится в одном из промежутков (0; p /2) и (p /2; p]. Будем искать его (если он есть) в интервале (0; p /2). В этом случае уравнение имеет вид (2) (sin x = {sin x}), причем
f (x) = {x}, g(x) = tg x, h(x) = sin x.
Функция f периодическая периода 1 и строго возрастающая на [0, 1), поэтому уравнение на (0; p /2) равносильно совокупности уравнений
tg x = sin x + k,
где k k Z. Поскольку tg x - sin x - строго возрастающая на (0; p /2) функция, то каждое уравнение совокупности может иметь не более одного корня, при этом если k1 < k2 (k1 , k2 k Z), то таким же неравенством связаны корни соответствующих уравнений. Очевидно, что при k # 0 уравнения совокупности не имеют требуемых решений. Уравнение
tg x = sin x + 1
имеет такой корень, равный Ясно, что этот корень требуемый.
Совокупность уравнений, порожденных всеми инвариантами функции f, вообще говоря, неравносильна уравнению (2) (см. пример 3). В некоторых случаях можно указать процедуру, позволяющую находить потерянные корни.
Пусть автоморфная функция f (x) каждое свое значение принимает не более n раз и j1 , j2 , _, jn - совокупность различных ее инвариантов (ясно, что в этом случае функция не может иметь более n инвариантов). Очевидно, что если x0 - решение уравнения (2), не являющееся решением совокупности уравнений
ji(g(x)) = h(x), i = 1, 2, _, n,
то либо либо найдутся номера i и j, такие, что i ? j и ji(g(x0)) = jj(g(x0)) (в противном случае функция примет значение f (x0) n + 1 раз).
Пример 3. Решите уравнение
(3x - 4)(x2 - 1) ln | x | = x(9x2 - 24x + 15) ln | 3x - 4 |.
Решение. ОДЗ уравнения: x ? 0; 4/3. Уравнение можно записать в виде (2), полагая
Как было отмечено в предыдущем разделе, функция j(x) = 1/ x является инвариантом функции f (x). Поэтому решения уравнений
то есть 2 и , являются корнями исходного уравнения.
Если x > 0, то Ясно, что f '(x) > 0 при x > 1 и f '(x) < 0 при 0 < x < 1. Отсюда следует, что функция f (x) строго убывает на (0, 1], строго возрастает на [1, ?) и f (x) > f (1) = 0 при x > 0, x ? 1. Поскольку функция f (x) нечетная, то из предыдущего следует, что она каждое свое значение принимает дважды. Поэтому если есть потерянный корень, то он является решением уравнения x = 1/ x. Проверкой убеждаемся, что 1 является решением исходного уравнения, а -1 нет. В итоге получим, что корнями исходного уравнения являются 1, 2,
Пример 4. Решите уравнение
где {x} - дробная часть x, [x] - целая часть.
Решение. Приняв
замечаем, то уравнение имеет вид (2). Функция f (x) является дробно-квадратичной, поэтому она каждое свое значение принимает не более двух раз. Инвариантом функции f будет функция
Так как g(x) ? 1 при любом x и уравнение j(g(x)) = g(x), то есть уравнение
решений не имеет, то исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
Очевидно, что корнем первого уравнения семейства будет 1/2. Поскольку 0 # {x} < 1, то, решив неравенство
получаем, что корни второго уравнения совокупности должны удовлетворять неравенству [x] # - 4. Теперь, используя тождество x = [x] + {x}, легко заметить, что корнями уравнения являются x = n + (2n - 7)/(2n - 1), где n k Z и n # - 4. Ясно, что корни уравнений совокупности образуют решения исходного уравнения.
Теперь приведем примеры использования симметрий графиков функций более общего вида.
Пример 5. Решите уравнение
Решение. Положим
Так как
то уравнение можно записать в виде f (x) = 1/ f (t(x)). Поскольку
(график функции f симметричен относительно преобразования, при котором точка (x, y) переходит в точку (- x, 1/ y)) и f (x) ? 0 при любом x, то уравнение равносильно уравнению f (x) = f (- t(x)). Нетрудно проверить, что f ' < 0 при всех x и, значит, является убывающей на R. Тогда уравнение эквивалентно уравнению x = - t(x), то есть уравнению x = 1 - 2x. Отсюда получаем, что уравнение имеет единственное решение x = 1/3.
Пример 6. Решите уравнение
где [a] - целая часть a.
Решение. Приняв
уравнение можно записать в виде f (x) = 1 - f (t(x)). Если | x | < 1, то [(x + 1)/2] = 0 и, значит, f (x) = | x |. Кроме того, при всех x
Следовательно, функция четная и периодическая периода 2. Построив график функции, замечаем, что точка (1/2, 1/2) является центром симметрии графика, поэтому справедливо равенство f (1 - x) = 1 - f (x). Отсюда получаем, что уравнение записывается в виде f (x) = f (1 - t(x)). Поскольку функция f является возрастающей на [0, 1], то уравнение равносильно совокупности уравнений
? x = 1 - (3x - 5) + 2n,
где n k Z. Поэтому решениями исходного уравнения являются x = n /2, где n k Z.
ЛИТЕРАТУРА
1. Третья Соросовская олимпиада школьников, 1996-1997. М.: МЦНМО, 1997. 512 c.
Рецензент статьи В.А. Ильин
* * *
Иван Иванович Чучаев, кандидат физико-математических наук, доцент, зав. кафедрой математического анализа Мордовского государственного университета. Область научных интересов - теория полуупорядоченных пространств, спектральный анализ операторов. Автор и соавтор учебно-методического пособия и более 50 научных работ.
