|
|
Статьи Соросовского Образовательного журнала в текстовом формате
Статья посвящена теории линейных разностных уравнений второго порядка. Рассмотрены проблемы асимптотического поведения решений и их колеблемости. Все доказательства элементарные.
УРАВНЕНИЯ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХВ. А. КОНДРАТЬЕВ
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
Теория конечных разностей имеет большое значение для приближенного решения дифференциальных уравнений, численного интегрирования и конструктивной теории функций действительного и комплексного переменного.
Соотношение
F [x; f (x); D f (x), _, Dn f (x)] = 0,
где функция F задана, функция f искомая,
D f (x) = f (x + 1) - f (x), Dn f (x) = Dn - 1f (x + 1) - Dn - 1f (x),
называется разностным уравнением порядка n.
Классической монографией, посвященной этой теме, является монография А.О. Гельфонда [1]. Этой проблематике посвящена также книга Р. Беллмана и К. Кука [2].
Свойства решений уравнений с конечными разностями (иногда говорят, "уравнения на сетках") во многом напоминают свойства решений дифференциальных уравнений, и в то же время их исследование часто значительно проще.
Доказательства многих теорем элементарны и доступны студентам младших курсов и школьникам.
Начнем рассматривать уравнение
где n = 1, 2, _; q(n) - заданная последовательность вещественных чисел.
Требуется найти последовательность y(n), удовлетворяющую (1). Уравнение (1) по свойствам его решений очень напоминает классическое уравнение Штурма-Лиувилля
y''(x) + Q(x)y = 0,
которое является предметом большого числа исследований, продолжающихся вплоть до настоящего времени [2].
Заметим, что, задав произвольно y(0) и y(1), из (1) можно однозначно найти y(2), y(3), _ Пусть, в частности, y1(0) = 0, y1(1) = 1, а y2(0) = 1, y2(1) = 0. Обозначим получившиеся решения Y1(n), Y2(n). Тогда всякое решение уравнения (1) можно представить в виде
y(n) = y(1)Y1(n) + y(0)Y2(n).
Заметим, что если последовательность q(n) не зависит от n, то есть q(n) = q = const для всех n, то уравнение (1) легко решается в явном виде.
Легко видеть также, что если y(n) обращается в нуль в каких-либо двух последовательных точках, то есть y(k) = y(k + 1) = 0 при каком-нибудь k, то y(n) = 0 при всех n.
Будем говорить, что решение y(n) уравнения (1) осцилляционное, если оно принимает неограниченно много раз как положительные, так и отрицательные значения. В противном случае решение называется неосцилляционным. В обоих случаях речь идет о нетривиальных решениях, то есть таких, что y(n) не обращается в нуль хотя бы в одной точке.
Проблема осцилляции решений занимает достойное место в классической теории линейных дифференциальных уравнений [3].
Определение. Уравнение (1) называется неосцилляционным, если все его нетривиальные решения являются неосцилляционными, и называется осцилляционным, если все его нетривиальные решения осцилляционные.
Важно заметить, что если одно решение уравнения (1) осцилляционное, то и все являются осцилляционными. То же верно и для неосцилляционных решений.
В самом деле, пусть y(n) - осцилляционное решение (1), а - некоторое другое его решение. Так как y(n) осцилляционное, найдутся целые числа m1 и m2 , 0 # m1 < m2 - 1, такие, что y(m1) < 0, y(m2) < 0, y(n) $ 0, если m1 < n < m2 , причем хотя бы для одного значения n = i1 (m1 < i1 < m2) имеет место строгое неравенство y(i1) > 0. Покажем, что среди чисел m1 # j # m2 , есть как положительные, так и отрицательные. Не нарушая общности, можно считать, что положительно хотя бы в одной точке j, m1 # j # m2 . Если не принимает отрицательных значений между m1 и m2 , то > 0 для всех j, m1 < j < m2 . В самом деле, если окажется = 0, то из (1) следует y( j1 - 1) = y( j1 + 1) = 0, но мы уже знаем, что решение, обращающееся в нуль в двух последовательных точках, тривиально. Итак, > 0, m1 < j < m2 , (m1) $ 0, (m2) $ 0. Пусть C - наименьшая положительная константа, такая, что
(j) $ y(j), m1 < j < m2 .
Такая C, очевидно, найдется, ибо - конечный набор положительных чисел, а среди y( j ) есть положительные. Рассмотрим последовательность
z(n) = (n) - y(n).
Эта последовательность является решением уравнения (1). Ясно, что z(i) $ 0, m1 # i # m2 , z(m1) > 0, z(m2) > 0 и в некоторой точке k, m1 < k < m2 , z обращается в нуль. Из (1) следует, что z(k - 1) = z(k + 1) = 0. Отсюда z(n) = 0 для всех n. Получено противоречие, ибо z(m1) > 0. Таким образом, меняет знак, если m1 # n # m2 . Поскольку y(n) меняет знак бесконечно много раз, то же верно и для .
Классическая теорема Штурма [3] в теории линейных дифференциальных уравнений утверждает, что если в уравнении (2) Q(x) # 0, то его нетривиальное решение может менять знак не более одного раза. Такого типа утверждение справедливо и для разностного уравнения (1): если q(n) # 0 для всех n, то y(n) - решение уравнения (1) - не может менять знак два раза.
Докажем это. Пусть y(n) - решение уравнения (1) - меняет знак более одного раза. Это означает, что найдутся m1 , m2 , такие, что
y(m1) < 0, y(m2) > 0, y(m3) < 0, m1 < m2 < m3 .
Среди чисел y(i), m1 < i < m3 , найдется максимальное. Пусть это число есть m (ясно, что y(m) $ y(m2) > 0) и y(j) = m при некотором j, m1 < j < m3 . Если таких j несколько, выберем самое маленькое из них. Положив в (1) j = m, получим y( j - 1) = y( j + 1) = m. Это противоречит выбору j.
В классической теории уравнения Штурма-Лиувилля [2] можно отметить следующую теорему.
Теорема Кнезера. Если Q(x) # x > 0, то каждое решение уравнения (2) неосцилляционное на [0, ?), а если
Q(x) > e > 0, x $ 1,
то каждое решение уравнения (2) является осцилляционным на [1, ?).
Аналогичная теорема имеет место и для решений уравнения (1).
Теорема 1. Если в уравнении (1) последовательность q(n) такова, что
то уравнение (1) неосцилляционное. Если же при некотором e > 0
начиная с некоторого n, то уравнение (1) осцилляционное.
Доказательство. Пусть имеет место неравенство (3). Прямое вычисление показывает, что
при n $ 1. Более того,
Предположим, что y(n) меняет знак более одного раза, это значит y(m1) < 0, y(m2) > 0, y(n) > 0 при m1 < n < m2 . Пусть C > 0 - наименьшая постоянная, такая, что
z(n) = m1 < n < m2 .
Из (1), (5) следует
при m1 < n < m2 . Тем более
z(n + 1) + z(n - 1) # 2z(n), m1 < n < m2 .
В силу выбора C в (5) найдется i1 , m1 < i1 < m2 , так что z(i1) = 0. Будем рассматривать самую левую из таких точек. Из (6) следует, что и z(i1 - 1) = 0. Противоречие.
Доказательство осцилляционности решений при выполнении условия (5) значительно более сложное, оно основано на изложенных выше идеях и использует тот факт, что при e > 0, уравнение (1) является осцилляционным.
Следующая теорема является аналогом классической теоремы сравнения (теорема Чаплыгина) в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Эта теорема имеет самостоятельное значение и широко используется в качественной теории дифференциальных уравнений.
Теорема 2. Если z(n) $ 0 при всех n $ N,
то y(n) $ z(n) при n $ N.
Доказательство. Обозначим u(n) = y(n) - z(n). Из (9) следует, что y(N + 1) $ z(N + 1). Пусть y(N + i) $ $ z(N + i) при i = 0, 1, _, k - 1. Покажем, что y(N + k) $ $ z(N + k). Пусть это неравенство неверно. В таком случае u(N + k) < 0, u(N + i) $ 0 при 0 # i < k. Пусть m - максимальное из чисел u(N + i), i = 0, 1, _, k, и u(N + i1) = m, причем i1 - самое большое из всех i, таких, что u(N + i) = m $ 0. Из (7), (8) следует
Отсюда
u(n + i1 + 1) $ 2m - u(n + i1 - 1) $ m.
Это противоречит выбору i1 .
Теорема Кнезера об осцилляции решений как дифференциальных, так и разностных уравнений является по существу теоремой сравнения, в которой искомое уравнение сравнивается с конкретным. Несколько другого типа теоремы о колеблемости формулируются в терминах рядов, содержащих члены известной последовательности q(n). Перед тем как остановиться на такого рода критериях, приведем очень простую лемму.
Лемма. Если y(n) $ 0, n $ N - 1, y(n)? 0,
y(n + 1) + y(n - 1) - 2y(n) # 0, n $ N,
то yn(x) $ k 2 = const > 0, n $ N + 1.
Доказательство. Из (10) следует
y(n + 1) - y(n) # y(n) - y(n - 1),
то есть последовательность Dy(n) = y(n + 1) - y(n) не возрастает. Значит, существует
Ясно, что неравенство l < 0 невозможно, ибо оно приводит к
откуда
и
то есть
что противоречит условию y(n) $ 0. Таким образом, l $ 0 и y(n + 1) - y(n) $ 0, n > N. Поскольку y(n0) > 0 при некотором n0 , то y(n) $ y(n0) при n $ n0 . Заметим, что в качестве n0 можно взять N. Действительно, если y(N ) = 0, то из (10) следует y(N - 1) = y(N + 1) = 0. Полагая в (10) n = N + 1, получим y(N + 2) = 0 и вообще y(n) ╞ 0.
Теорема 3. Если q(n) $ 0, n $ 0
то уравнение (1) осцилляционное.
Доказательство. Пусть имеет место противное, то есть существует решение y(n), такое, что y(n) > 0, n $ N. Из леммы 1 следует, что
y(n) $ k 2 > 0, n $ N + 1.
Отсюда и из (1)
y(n + 1) - y(n) # - k 2q(n) + [y(n) - y(n - 1)],
y(n + 2) - y(n + 1) # - k 2q(n + 1) + [y(n + 1) - y(n)].
Суммируя последовательно эти неравенства, получим
y(n + k) - y(n) # - k 2[q(n) + q(n + 1) + _
_ + q(n + k - 1)] + y(n + k - 1) - y(n - 1).
Следовательно,
y(n + k) - y(n + k - 1) # -H, H > 1.
Суммируя опять эти неравенства по k, получим
y(n + l ) - y(n) # - lH - ?
при l + ?. Это противоречит гипотезе: y(n) $ 0.
Перейдем к рассмотрению асимптотических свойств решений уравнения (1). Предположим при n ?, что последовательность q(n) $ 0 такова, что
Тогда существует y(n) - решение уравнения (1), такое, что
Более того, (11) - необходимое условие существования решения (1), удовлетворяющего (12).
Доказательство достаточности условия (11) не очень элементарно, оно требует применения некоторых свойств числовых рядов и теории метрических пространств. Доказательство необходимости совершенно элементарно. Итак, пусть
Обозначим по-прежнему Dny = y(n + 1) - y(n). Из (1) следует
Dn(y) = Dn - 1(y) - q(n)y(n).
Таким образом, Dn + 1(y) # Dn(y) начиная с некоторых n. Последовательность Dn(y) невозрастающая, следовательно, она имеет предел: Легко видеть, что l = 0. Если l > 0, то окажется, что а если l < 0, то Так что Dn(y) стремится к нулю убывая и Dn(y) $ 0. Это означает, что последовательность y(n) неубывающая. Просуммировав все равенства (13) по n от n = k до n = N, получим
В этом равенстве можно N устремить к бесконечности, ибо
После этого получим
Просуммируем теперь и эти равенства по k от k = m до k = m + s:
Устремляя k к бесконечности, получим, что все частичные суммы ряда
ограничены. В то же время значит, при больших j, то есть выполнено (11).
Конечно, вполне естественно рассматривать и уравнения более общего вида, чем уравнение (1). Такие обобщения могут возникать за счет увеличения числа точек в левой части уравнения (то есть увеличивается порядок уравнения) и за счет появления новых (возможно, нелинейных) членов.
Рассмотрим, например, уравнение
any(n + 1) + bny(n - 1) + gny(n) = 0,
где an , bn , gn - заданные последовательности. Если a ? ? 0 ни при каком n, то уравнение (14), как и уравнение (1), имеет общее решение вида
y = c1Y1(n) + c2Y2(n),
где Y1 , Y2 - решения уравнения (14) такие, что
Y1(0) = Y2(1) = 0, Y1(1) = Y2(0) = 1.
Если an + bn > 0, то уравнение (14) обладает тем же свойством, что и (1): все решения осциллируют или не осциллируют одновременно.
Сформулируем еще одну теорему об асимптотических свойствах решений разностных уравнений - классическую теорему Пуанкаре.
Теорема Пуанкаре. Если линейное разностное уравнение
y(n + k) + ak - 1 y(n + k - 1) + ak - 2 y(n + k - 2) + _
_ + ay(1) = 0, n = 1, 2, _,
таково, что существуют конечные пределы
и если корни уравнения
lk + ak - 1lk - 1 + _ + a0 = 0
все различны по модулю, то, каково бы ни было решение y(n) уравнения (15), существует и равен одному из корней уравнения (16).
Много интересных, хотя часто и элементарных задач возникает при рассмотрении многомерных разностных уравнений. Одним из уравнений такого вида является следующее:
где m, n - всевозможные целые числа (как положительные, так и отрицательные).
Следующая задача может быть решена совершенно элементарно: доказать, что если все y(m, n) ограничены по модулю одной и той же постоянной, то y(m, n) принимает во всех точках одно и то же значение. Более трудно доказывается, что если все y(m, n) неотрицательные, то все они одинаковые. Эти теоремы суть разностные аналоги теоремы Лиувилля для гармонических функций.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967. 375 с.
2. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с.
3. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во иностр. лит., 1958. 474 с.
Рецензент статьи С.А. Кащенко
* * *
Владимир Александрович Кондратьев, доктор физико-математических наук, профессор кафедры дифференциальных уравнений МГУ. Область научных интересов - дифференциальные уравнения. Автор и соавтор более 150 научных статей в отечественных и зарубежных журналах, соавтор одной монографии.
