|
|
Статьи Соросовского Образовательного журнала в текстовом формате
Приведена история открытия одной из известных теорем классической дифференциальной геометрии - теоремы Гаусса-Бонне и рассказано о ее многочисленных приложениях в наши дни.
ТЕОРЕМА ГАУССА-БОННЕС. Е. СТЕПАНОВ
Владимирский государственный педагогический университет
ВВЕДЕНИЕ
В предыдущих статьях [1, 2] мы рассказывали о дифференциальной геометрии, одном из разделов геометрии, которым долгое время считалась и топология, изучавшая на начальном этапе свойства кривых и поверхностей, не изменяющиеся при малых непрерывных деформациях. Сейчас это самостоятельная активно развивающаяся наука, с которой можно познакомиться по книгам [3, 4], излагающим в доступной форме ее основы.
В настоящей статье речь пойдет о теореме Гаусса-Бонне, которая устанавливает связь между топологическими свойствами поверхности и свойствами ее гауссовой кривизны. Эта теорема замечательна тем, что является родоначальницей многих соотношений, связывающих топологические свойства многообразий с их дифференциально-геометрическим строением.
ЭЙЛЕРОВА ХАРАКТЕРИСТИКА ПОВЕРХНОСТИ
В этой части статьи мы сжато на интуитивно понятном уровне опишем некоторые важные понятия и утверждения топологии. Объектом нашего рассмотрения будут связные поверхности M2 ? E3 , то есть поверхности M2 в трехмерном евклидовом пространстве E3 , состоящие из одного куска (см. [1]).
Исходная идея всей топологии заключается в концепции непрерывности. Непрерывность является и основным понятием математического анализа, элементы которого изучаются в курсе математики средней школы. Там рассматриваются функции f (x), непрерывно зависящие от х. В топологии же рассматривают непрерывные функции более общего вида. Их принято называть непрерывными отображениями f : M2 . Каждое такое отображение сопоставляет любой точке А поверхности M2 единственную точку В = f (A ) на поверхности , и при этом бесконечно близким точкам поверхности M2 сопоставляются бесконечно близкие точки поверхности . В топологии идея непрерывности непосредственно трансформируется в имеющий фундаментальное значение вопрос о топологическом или гомеоморфном отображении поверхностей.
Две поверхности M2 и называются топологически равными или гомеоморфными, если для некоторого точечного отображения f : M2 выполняются два условия:
1) отображение f является взаимно однозначным соответствием (условие эквивалентности поверхностей M2 и как множеств);
2) отображения f и обратное ему f -1 : M2 непрерывны (условие взаимной непрерывности).
Наглядно топологически равные поверхности M2 и получаются одна из другой в результате некоторой деформации, при которой не происходит разрывов и склеек. В процессе такой деформации каждая точка первой поверхности, перемещаясь по непрерывной кривой (ее траектории), переходит в определенную точку второй поверхности. При этом различные точки переходят в различные. В этом контексте под нарушением непрерывности следует понимать нарушение цельности (разрыв) поверхности M2 при ее деформации.
В топологии линейные размеры фигур в расчет не берутся, а потому поверхности произвольных тетраэдра K2 и сферы S2 топологически равны (рис. 1). Если для наглядности положить, что поверхность тетраэдра изготовлена из эластичного материала, то тогда ее можно "раздуть" до размеров сферы. Кроме того, каждая из двух поверхностей K2 и S2 не будет топологически равной тору T2 (рис. 2).
Будем говорить, что поверхность M2 допускает триангуляцию, если ее можно расчертить на криволинейные треугольники таким образом, чтобы M2 представляла собой объединение этих треугольников, а пересечение любых двух из них было либо пусто, либо их общей вершиной, либо общей стороной. Например, триангуляцию сферы S2 можно получить с помощью проектирования на нее из центра ребер и граней помещенного внутрь S2 тетраэдра (см. рис. 1).
Если в триангуляции поверхности M2 число треугольников окажется конечным, то поверхность назовем компактной.
Для произвольного криволинейного треугольника поверхности M2 его вершину назовем нульмерным симплексом, сторону - одномерным симплексом, а сам треугольник - двумерным симплексом. Если таких симплексов в триангуляции компактной поверхности M2 будет a0 , a1 и a2 соответственно, тогда число
c(M2) = a0 - a1 + a2
называется эйлеровой характеристикой поверхности M2 . Так, в частности, c(K2) = c(S2) = 4 - 6 + 4 = 2.
В общей теории доказывается (см., например, [3]), что число c(M2) не зависит от выбора триангуляции, а определяется самой поверхностью M2 . Более того, c(M2) = для гомеоморфных поверхностей M2 и , поскольку отображение f : M2 переводит триангуляцию поверхности M2 в триангуляцию , а потому и .
Напрашивается вопрос: будут ли гомеоморфными поверхности M2 и , если их эйлеровы характеристики равны? Для ответа на него нам потребуются еще несколько определений.
Окрестностью точки А на поверхности M2 называется часть этой поверхности, заключенная внутри сферы S2 некоторого малого радиуса с центром в данной точке А.
Компактная поверхность M2 называется замкнутой, если каждая ее точка имеет окрестность, гомеоморфную открытому диску (кругу) евклидовой плоскости E2 . В общей теории доказывается (см., например, [3]) следующая
Теорема 1. Каждая связная замкнутая поверхность M2 гомеоморфна сфере с p ручками для некоторого p $ 0 (см. рис. 2), и ее эйлерова характеристика равна c(M2) = 2 - 2p.
Поверхность M2 называется ориентируемой, если для каждого криволинейного треугольника АВС триангуляции M2 задано направление А В С обхода его сторон и при этом общая сторона двух любых смежных треугольников имеет противоположные направления обходов (см. рис. 1). Если такой триангуляции не существует, то M2 называется неориентируемой. Оказывается, что среди замкнутых поверхностей неориентируемыми могут быть только поверхности с самопересечениями (рис. 3).
Теперь может быть сформулирован ответ на поставленный выше вопрос.
Теорема 2. Две связные замкнутые ориентированные поверхности с равными эйлеровыми характеристиками гомеоморфны.
Поверхность M2 называется гладкой в точке А, если в этой точке существует касательная плоскость T2(A ) к поверхности M2 , на которую однозначно проектируется некоторая окрестность точки А на поверхности M2 . Если поверхность M2 состоит только из гладких точек и ее касательные плоскости изменяются непрерывно, то M2 называется гладкой.
Зададим в каждой касательной плоскости T2(A ) такой поверхности вектор так, чтобы при переходе от точки А к другой произвольной точке В векторы изменялись непрерывно. В этом случае говорят, что на поверхности задано векторное поле Оказывается, что не всякие поверхности M2 допускают непрерывные векторные поля. Основное препятствие к их заданию на замкнутых поверхностях - наличие у последних отличных от нуля эйлеровых характеристик.
Точка А k M2 , в которой вектор поля обращается в нуль, называется особой или нулем векторного поля (рис. 4). При этом особая точка называется изолированной, если у нее существует окрестность, не содержащая других особых точек. Заметим, что замкнутость поверхности M2 гарантирует, что любое данное на M2 векторное поле будет иметь только конечное число изолированных особых точек.
Каждой особой точке А векторного поля приписывается по определенному правилу целое число ind (A, ) ? 0, которое называется ее индексом (см. [4] и [3]). При этом справедлива
Теорема 3. Сумма индексов векторного поля с изолированными особыми точками на замкнутой ориентированной гладкой поверхности не зависит от выбора векторного поля и равна эйлеровой характеристике поверхности.
ЛОКАЛЬНАЯ И ГЛОБАЛЬНАЯ
ТЕОРЕМЫ ГАУССА-БОННЕ
Во второй части статьи мы от топологии перейдем к дифференциальной геометрии, где все рассматриваемые функции являются дифференцируемыми, а кривые и поверхности - гладкими.
В любой точке А гладкой поверхности существует нормаль - прямая N(A ), проходящая через А и перпендикулярная T2(A ). Если при этом на каждой нормали можно задать положительное направление, то гладкая поверхность является ориентируемой, поскольку в этом случае можно различить ее лицевую и оборотную стороны. Например, сфера S2 ориентируется с помощью проходящих через радиусы сферы и направленных наружу нормалей (см. рис. 1).
Рассмотрим на ориентированной поверхности M2 криволинейный треугольник АВС. Вычислим его внутренние углы как углы между касательными к сторонам в вершинах А, В и С. Тогда справедлива формула
называемая локальной теоремой Гаусса-Бонне. Первое слагаемое в правой части формулы (1) является интегралом от гауссовой кривизны К поверхности (см. [1]) по области, ограниченной сторонами криволинейного треугольника АВС. Каждый член второго слагаемого содержит в качестве подынтегральной функции геодезическую кривизну kg соответствующей дуги криволинейного треугольника. Эта функция показывает, насколько рассматриваемая сторона криволинейного треугольника АВС отклоняется от дуги геодезической (см. [2]), соединяющей его вершины. Поэтому сторона треугольника будет дугой геодезической в том и только том случае, когда kg = 0 в каждой ее точке. Если, в частности, DАВС составлен из дуг геодезических линий, формула (1) принимает вид
В статье [2] описано практическое приложение этого равенства.
Пусть теперь M2 - связная замкнутая ориентированная поверхность. Зададим ее триангуляцию и выпишем для всех криволинейных треугольников локальные теоремы Гаусса-Бонне (1). При этом вдоль каждой стороны любого из треугольников ее геодезическую кривизну придется интегрировать дважды и в противоположных направлениях, поскольку поверхность ориентирована. Поэтому, если эти формулы почленно сложить, придем к следующей глобальной теореме Гаусса-Бонне:
Формула (2) позволяет сформулировать характерные для глобальной геометрии утверждения. Первое и самое очевидное состоит в том, что - целое число. В качестве второго может быть сформулирована следующая
Теорема 4. Если для односвязной замкнутой ориентированной поверхности M2 ее гауссова кривизна К не является тождественным нулем и при этом К $ 0, то c(M2) > 0 и M2 гомеоморфна сфере S2 .
Для доказательства достаточно напомнить, что эйлерова характеристика поверхности M2 , гомеоморфной сфере S2 с р ручками, равна 2(1 - р) для р $ 0. Потому из условия теоремы и формулы (2) следует, что р = 0.
Теорема 5. Если на замкнутой ориентированной поверхности существует касательное векторное поле без особых точек, то
Предварительно напомним, что c(M2) совпадает с суммой индексов изолированных особых точек векторного поля на M2 . Поэтому справедливость данного утверждения вытекает из сделанного замечания, условия теоремы и формулы (2). При этом необходимо заметить, что из доказываемого в теореме 2 равенства вовсе не следует, что К ╞ 0, поскольку это означало бы, что поверхность изгибаема на плоскость. В противоположность этому тор T2 имеет изменяющуюся от точки к точке гауссову кривизну и при этом поскольку T2 допускает не обращающееся в нуль векторное поле (см. [3, 4]).
Здесь очевидно
Следствие 1. Если для односвязной замкнутой ориентированной поверхности M2 ее гауссова кривизна К не является тождественным нулем и при этом К $ 0, то на M2 не найдется векторного поля без особых точек.
В частности, для сферы S2 единичного радиуса ее гауссова кривизна К = 1 (см. [1]), а потому на S2 и, следовательно, на любой поверхности, ей гомеоморфной, как бы причудливо она ни выглядела, не существует векторных полей без особых точек.
МНОГОМЕРНЫЙ АНАЛОГ
ТЕОРЕМЫ ГАУССА-БОННЕ
Рассмотрим n-мерное евклидово пространство En , наглядно представить которое при n > 3 невозможно. Поэтому сосредоточимся на его аналитическом описании. Под точкой Х пространства En понимают набор из n отдельных чисел (х1 , х2 , _, хn), а под самим En - множество всех таких точек Х = (х1 , х2 , _, хn), когда числа xi пробегают независимо друг от друга все возможные значения. В евклидовом пространстве En между двумя любыми точками Х = (х1 , х2 , _, хn) и Y = (y1 , у2 , _, yn) расстояние находится по формуле
Рассмотрим в En множество точек Х = (х1 , х2 , _, хn), удовлетворяющих условию хn = 0, тогда как остальные из чисел x1 , х2 , _, xn - 1 изменяются независимо друг от друга. Это множество составляет (n - 1)-мерное евклидово пространство En - 1 , которое называется координатной гиперплоскостью пространства En . Пересечение n - 1 подобных гиперплоскостей, например хn = 0, хn - 1 = 0, _, x2 = 0, задает координатную прямую E1 .
Другим интересным объектом в En является множество точек Х = (х1 , х2 , _, хn), чьи координаты удовлетворяют уравнению
(x1)2 + (x2)2 + _ + (xn)2 = r 2.
Это множество точек представляет собой (n - 1)-мерную сферу Sn - 1 радиуса r с центром в начале координат - точке О(0, _, 0).
Соединим уравнения (3) и xn = 0 в систему, тогда множество точек, которое она будет описывать, предстанет (n - 2)-мерной сферой Sn - 2 = Sn - 1 < En - 1 , целиком лежащей в гиперплоскости En - 1 . Если в этой системе уравнение (3) заменить неравенством
(x1)2 + (x2)2 + _ + (xn)2 < r 2,
то множество точек Х = (х1 , х2 , _, хn), чьи координаты удовлетворяют новой системе, представляется (n - 1)-мерным открытым диском в гиперплоскости En - 1 , границей которого служит Sn - 2 .
Гиперплоскость En - 1 и (n - 1)-мерная сфера Sn - 1 - это примеры (n - 1)-мерной поверхности Mn - 1 , которая представляет собой множество точек Х, удовлетворяющих двум условиям:
1) множество Mn - 1 связное, то есть каждая его пара точек может быть соединена непрерывной линией, целиком лежащей в Mn - 1 ;
2) для каждой точки А из Mn - 1 найдется (n - 1)-мерная сфера Sn - 1 некоторого малого радиуса r с центром в этой точке, такая, что часть поверхности Mn - 1 , содержащаяся внутри Sn - 1 , будет гомеоморфной (n - 1)-мерному открытому диску гиперплоскости En - 1 .
Так, например, сферу Sn - 1 можно полностью покрыть n полусферами определяемыми дополнительным к уравнению (3) условием хk > 0 для k = 1, 2, _ _, n. При этом в качестве гомеоморфного отображения будет выступать ортогональное проектирование
на открытый диск
(x1)2 + (х2)2 + _ + (xk - 1)2 + (xk + 1)2 + _ + (xn)2 < r
координатной гиперплоскости En - 1 : хk = 0. Это, в частности, будет гарантировать выполнение второго условия из определения поверхности.
Кроме того, сфера Sn - 1 является примером замкнутой поверхности; на ней можно задать триангуляцию и подсчитать ее эйлерову характеристику. Для этого введем в рассмотрение n-мерный многогранник, который задается a0 = n + 1 вершинами А1 , А2 , _, Аn , An + 1 , не лежащими ни в какой гиперплоскости En - 1 , имеет a1 = n(n + 1) ребер А1А2 , _, A1An + 1 , _, AnAn + 1 и k-мерных граней для биномиального коэффициента 1 # i1 < i2 < _ _ < ik + 1 # n + 1 и 2 # k # n - 1. Поверхность Kn - 1 нашего многогранника является замкнутой и представляет собой объединение всех его граней. Ее эйлерова характеристика находится из равенства
c(Kn - 1) = a0 - a1 + _ + (-1)mam + _ + (-1)n - 1an - 1 .
На основании тождества для биномиальных коэффициентов
справедливого при всех натуральных m, доказывается, что
c(Kn - 1) = 1 + (-1)n - 1.
Поскольку линейные размеры фигур в топологии в рассмотрение не берутся, то разместим вершины нашего многогранника на сфере Sn - 1 , тогда координаты каждой из n + 1 его вершин должны подчиняться уравнению (3). Произвольный радиус, проведенный из центра О сферы Sn - 1 , пересечет границу Kn - 1 многогранника в некоторой точке А и сферу Sn - 1 в некоторой точке В. Посредством этого центрального проектирования будет осуществляться гомеоморфное отображение f : Kn - 1 Sn - 1 . При этом ребра и грани Kn - 1 будут гомеоморфным образом отображаться на определенные подмножества сферы Sn - 1 , которые, в свою очередь, и зададут триангуляцию сферы Sn - 1 . Число k-мерных симплексов триангуляции (0 # k # n - 1) будет равно , а потому
c(Sn - 1) = c(Kn - 1) = 1 - (-1)n - 1.
Рассмотренный пример со сферой Sn - 1 в достаточной степени прост. Подсчет же эйлеровой характеристики произвольной замкнутой (n - 1)-мерной поверхности Mn - 1 в евклидовом пространстве En - 1 является процессом достаточно сложным; с ним можно ознакомиться по книгам [5, 6].
Согласно определению, для произвольной точки A k Mn - 1 всегда найдется кусок поверхности, гомеоморфный открытому диску плоскости En - 1 . При этом точке А соответствует точка О на плоскости En - 1 , через которую проходит n - 1 координатных прямых. С помощью гомеоморфного отображения эти прямые превращаются в n - 1 кривых линий, проходящих через точку А на поверхности Mn - 1 . На n - 1 касательных к этим кривым в точке А натягивается, вообще говоря, (n - 1)-мерная плоскость Tn - 1(A ), называемая касательной плоскостью к поверхности Mn - 1 в точке А. Если такая плоскость существует и некоторая окрестность точки А однозначно проектируется на Tn - 1(A ), поверхность Mn - 1 называется гладкой в точке А. Поверхность Mn - 1 называется гладкой, если она является гладкой во всех своих точках и касательные плоскости ее изменяются непрерывно.
В каждой точке А гладкой (n - 1)-мерной поверхности Mn - 1 существует нормаль - прямая N(A ), перпендикулярная в En касательной плоскости Tn - 1(A ). Если на каждой нормали N(A ) гладкой поверхности Mn - 1 можно задать положительное направление, поверхность Mn - 1 называется ориентируемой.
Определение гауссовой кривизны К ориентируемой (n - 1)-мерной поверхности Mn - 1 повторяет соответствующее определение для поверхности M2 ? E3 (см. [1]), но при этом
где V и V* суть объемы области поверхности Mn - 1 и ее сферического изображения на Sn - 1 единичного радиуса.
Глобальная теорема Гаусса-Бонне для замкнутой ориентированной гладкой поверхности Mn - 1 в евклидовом пространстве En нечетной размерности имеет вид следующей формулы:
где Vol (Sn - 1) - объем сферы Sn - 1 единичного радиуса.
Здесь, как и в случае с поверхностью M2 ? E3 , эйлерова характеристика c(Mn - 1) замкнутой ориентируемой гладкой поверхности Mn - 1 равна сумме индексов векторного поля с изолированными особыми точками (см. об этом в [7]). Поэтому наши читатели без труда могут сформулировать ряд следствий обобщенной теоремы Гаусса-Бонне, аналогичных теоремам 3 и 4 и следствию 1.
ВМЕСТО ЗАКЛЮЧЕНИЯ
Название теоремы, вынесенное нами в заголовок, содержит имена двух известных математиков XIX века. На самом же деле теорема принадлежит двум другим математикам прошлого века: Л. Кронекеру и В. ван Дейку. Первый в 1869 году доказал, что интеграл от гауссовой кривизны замкнутой ориентированной поверхности M2 ? Е3 равен степени описанного нами в [1] гауссова отображения M2 S2 , умноженной на 2p. Второй в 1888 году установил, что степень гауссова отображения равна эйлеровой характеристике поверхности M2 , чем и завершил доказательство предложения, ныне называемого теоремой Гаусса-Бонне.
Первый шаг в обобщении глобальной теоремы Гаусса-Бонне на поверхности более высоких размерностей был сделан Х. Хопфом, который перенес в 1925 году результат Л. Кронекера на случай гиперповерхности Mn - 1 евклидова пространства En - 1 . Завершили доказательство обобщенной теоремы С. Алендорфер (1939 год) и В. Фенкель (1940 год). А в 1944 году американский математик Чжень Шень-Шень перенес эту теорему на произвольное 2m-мерное замкнутое ориентированное риманово многообразие M2m .
За прошедшее время были получены другие аналоги данной теоремы, с которыми можно познакомиться, например, по материалам трудов семинара А. Бессе [7].
ЛИТЕРАТУРА
1. Степанов С.Е. О кройке одежды по Чебышеву // Соросовский Образовательный Журнал. 1998. ╧ 7. С. 122-127.
2. Степанов С.Е. Геодезические линии // Там же. 2000. Т. 6, ╧ 8. С. 115-120.
3. Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. М.: Наука, 1982.
4. Прасолов В.В. Наглядная топология. М.: МЦМНО, 1995.
5. Понтрягин Л.С. Основы комбинаторной топологии. М.: Наука, 1986.
6. Торп Дж. Начальные главы дифференциальной геометрии. М.: Платон, 1998.
7. Бессе А. Четырехмерная Риманова геометрия. М.: Мир, 1985.
Рецензент статьи Ю.П. Соловьев
* * *
Сергей Евгеньевич Степанов, доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры геометрии Владимирского государственного педагогического университета. Область научных интересов - глобальная риманова и лоренцева геометрии и теория поля. Автор более 40 научных статей и соавтор двух коллективных монографий.
