|
|
Статьи Соросовского Образовательного журнала в текстовом формате
Излагаются элементарные основы межпланетных перелетов в Солнечной системе и обсуждается простейший алгоритм компьютерного моделирования процесса перелета с Земли на Марс в рамках модели сопряженных конических сечений.
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕЖПЛАНЕТНЫХ ПЕРЕЛЕТОВ В СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЕФ. И. КАРМАНОВ
Обнинский институт атомной энергетики, Обнинск Калужской обл.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящей работе рассматриваются орбиты межпланетных переходов, основы их выбора, а также связь орбит с начальным расположением планет. При планировании межпланетных переходов необходимо учитывать прежде всего то, что подобные полеты связаны с огромной затратой энергии, создаваемой двигательной установкой. По этой причине мы будем обсуждать только переходы с минимальной затратой энергии по траекториям, известным под названием орбит Гомана [1, 2]. Одна из целей подобного обсуждения состоит в том, чтобы дать достаточно подробное и доступное школьнику описание процедуры компьютерного моделирования межпланетного перелета.
1. ТРАЕКТОРИИ В КОСМОСЕ
Конкретный вид орбиты планеты или космического аппарата определяется небесной механикой, созданной Тихо Браге, И. Кеплером и И. Ньютоном на основе наблюдений за движением планет вокруг Солнца. Разбирая и анализируя результаты наблюдений Тихо Браге, Кеплер установил свои законы движения планет. Напомним их формулировки.
Первый закон Кеплера утверждает, что орбита каждой планеты есть эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце.
Согласно второму закону Кеплера, радиус-вектор планеты при ее движении вокруг Солнца в равные промежутки времени заметает равные площади.
И наконец, третий закон гласит, что квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их эллиптических орбит.
Как известно, законы Кеплера были установлены чисто опытным путем на основе анализа информации об астрономических наблюдениях. Ответ на вопрос, почему эти законы таковы, каковы они есть, был найден Ньютоном, установившим универсальный характер закона тяготения. Согласно закону всемирного тяготения Ньютона, материальная точка массы m притягивается к Солнцу, масса которого M, с силой
где G = 6,67 " 10-11 Н " м2/кг2 - гравитационная постоянная, r - расстояние между телами.
Сила всемирного тяготения обладает свойством консервативности, и потому для нее можно ввести понятие потенциальной энергии. Потенциальная энергия тела массы m в таком силовом поле определяется формулой
причем начало отсчета потенциальной энергии выбирается в бесконечно удаленной от Солнца точке. Закон сохранения полной механической энергии для тела, имеющего массу m и скорость V, выражается равенством
Такое гравитационное поле называется центральным, поскольку сила и потенциальная энергия тела зависят только от расстояния от этого тела до некоторой неподвижной точки (центра поля).
Траектория тела в центральном поле всегда лежит в одной плоскости, в которой находится и центр поля. Тело под воздействием такой центральной силы будет двигаться по орбите, представляющей собой одно из конических сечений: гиперболу, параболу или эллипс.
Из геометрии известно, что тип кривой определяется безразмерной характеристикой e - эксцентриситетом. Траектория тела будет окружностью, если e = 0, эллипсом, когда e < 1, и гиперболой при e > 1 или параболой, если e = 1. При этом кривая каждого типа характеризуется некоторым параметром p. Для окружности он равен ее радиусу. В случае эллипса параметр p связан с большой a и малой b полуосями соотношениями
из которых следует равенство p = b2 / a. В полярных координатах (r, j) расстояние r от центра поля до тела в любой момент времени задается формулой
где p и e - параметр и эксцентриситет орбиты, зависящие от начальных условий (v0 , r0) движения тела из точки его вывода на орбиту. Если - ускорение свободного падения в точке вывода тела на орбиту, то параметр и эксцентриситет определяются соотношениями [3]
В формуле (1) угол j k [0, 2p], а свободный параметр j0 выбирают так, что точка с j = j0 является ближайшей к центру поля точкой орбиты (перицентр орбиты). Как легко видеть из формулы (1), орбита тела - окружность (e = 0) при а при орбита принимает форму эллипса (e < 1). Скорость называется параболической, поскольку соответствует параболической орбите тела (e = 1), а значения скорости характерны для гиперболической формы траектории (e > 1).
При обсуждении межпланетных перелетов важную роль играют понятия характеристических космических скоростей. Для того чтобы тело, находящееся на расстоянии r0 от центра некоторой планеты массой M, стало спутником этой планеты, ему необходимо сообщить скорость направленную параллельно поверхности (горизонтально). Эта скорость называется первой космической (круговой) скоростью на расстоянии r0 или высоте h0 = r0 - R над поверхностью планеты (R - радиус планеты). Кроме того, сообщаемая телу скорость не должна превышать величины называемой второй космической (параболической) скоростью, иначе тело навсегда покидает данную планету.
При исследовании движений планет вокруг Солнца и спутников вокруг планет можно выбирать в качестве силового центра либо Солнце, либо соответствующую планету. Однако во втором случае силовой центр не является неподвижным относительно Солнца и поэтому при описании движения спутника относительно планеты необходимо принимать во внимание относительное ускорение спутника и планеты. Например, легко оценить, что Солнце сообщает Луне большее ускорение, чем Земле. Почему же Луна обращается все-таки вокруг Земли, а не вокруг Солнца? Причина состоит в том, что Солнце притягивает как Луну, так и Землю. Чтобы найти возмущающее воздействие Солнца, надо взять разность ускорений, сообщаемых Солнцем Луне и Земле. Отношение этого возмущающего ускорения к ускорению, сообщаемому Луне Землей, составляет величину ~1%.
Под сферой влияния планеты, по определению Лапласа, подразумевается часть пространства, в которой при анализе движения малого тела со второй космической скоростью в качестве основного центра тяготения следует считать планету, а не Солнце. Радиус этой сферы определяется по формуле [5]
где R - расстояние планеты от Солнца, m и M - массы планеты и Солнца соответственно. Некоторые астрономические характеристики планет (радиусы, массы, большие полуоси орбит и радиусы сфер влияния) приведены в табл. 1.
2. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ТЕЛА
В СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЕ
Проанализируем структуру поверхности потенциальной энергии тела в гравитационном поле Солнечной системы и попробуем описать межпланетный перелет космического аппарата (КА) в терминах энергии. Для простоты анализа будем считать, что все планеты расположены вдоль одного луча, выходящего из центра Солнца ("парад планет"), и перемещением планет за время перелета можно пренебречь.
Потенциальная энергия тела массы m0 в поле планет Солнечной системы есть аддитивная функция и может быть найдена как сумма
где mi и ai - массы и радиусы орбит планет, начало координат выбрано в центре Солнца (a10 = 0) и r $ 700 000 км. В формуле (4) предполагается, что из рассмотрения исключаются промежутки | r - ai | # Ri , соответствующие областям r внутри каждой планеты. Для определенности в пределах этих интервалов вклад соответствующей планеты в суммарную потенциальную энергию КА можно положить равным потенциальной энергии на поверхности этой планеты. Поведение функции U(r) в основном определяется слагаемым, соответствующим вкладу от Солнца (i = 10), за исключением областей с размерами Dr © 10Ri около каждой планеты. Поэтому следует ожидать, что график функции U(r) есть гипербола на которую накладываются очень узкие вертикальные пики, расположенные около каждой планеты. Наиболее ярко этот эффект проявляется в окрестности планет-гигантов Юпитера и Сатурна (рис. 1.) В окрестности Земли и Марса поведение графика потенциальной энергии космического аппарата напоминает зависимость, показанную на рис. 1.
Из анализа графиков ясно, что для перелета с Земли на Марс нужно затратить работу на вытаскивание корабля из потенциальной ямы Земли, затем на то, чтобы по склону потенциальной ямы Солнца добраться до границы потенциальной ямы Марса. После этого КА сам будет "сваливаться" в гравитационную воронку к Марсу. Если предполагается мягкая посадка, то аппарат необходимо затормозить. Частично для этого можно использовать атмосферу Марса, но она значительно более разреженная, чем у Земли. Поэтому придется совершить работу, по порядку величины равную глубине потенциальной ямы Марса.
Итак, для перемещения с поверхности Земли на поверхность Марса необходимо совершить работу, равную сумме трех потенциальных энергий. В пересчете на 1 кг полезного груза эта величина составляет ~ 4 " 108 Дж/кг.
3. МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ
Предположим, что автоматическая межпланетная станция (АМС) совершает перелет с одной планеты Солнечной системы на другую, например с Земли на Марс. При анализе подобных задач традиционно используют некоторые предположения. Будем считать, что если заданный переход с орбиты на орбиту осуществляется при минимальном приращении энергии, то он соответствует переходу, требующему минимального расхода горючего. Кроме того, изменение состояния происходит в результате мгновенного приложения силы тяги. Фактически, конечно, ввиду инерции любой физической системы состояние ее движения невозможно изменить мгновенно. Всегда при маневре космический аппарат подвергается действию тяги в течение некоторого конечного интервала времени. Но в сравнении с общим временем полета время действия силы тяги обычно очень мало.
3.1 Гомановские переходы
Пусть переход осуществляется с исходной круговой орбиты на конечную круговую орбиту, лежащую в той же плоскости. В некоторой точке А (рис. 2) на исходной орбите к АМС прилагают импульс, направленный по касательной к орбите и по ходу движения станции. Приобретаемая дополнительная скорость увеличивает энергию движения, и оно происходит далее по эллипсу. Станция движется так до точки В, совпадающей с афелием промежуточного эллипса, где АМС сообщают другой импульс. Энергия движения опять увеличивается, и АМС движется далее по круговой траектории конечной орбиты. Такая траектория касается обеих орбит и носит название гомановской по имени немецкого астронома Гомана (W. Hohman), изучавшего в начале века проблему межпланетных перелетов. Если бы мы хотели перевести станцию с орбиты большего радиуса на орбиту меньшего радиуса, то ее следовало бы дважды притормаживать, то есть направления импульсов должны быть противоположными направлению движения.
Ясно, что большая полуось эллиптической части орбиты станции a = (a1 + a2)/2 и по третьему закону Кеплера время ее движения равно половине периода обращения t = 0,5T1(a / a1)3/2, где T1 - период обращения планеты 1.
Вычислим изменение скорости станции в точках А и В, необходимое для перехода с круговой орбиты радиуса a1 на орбиту с радиусом a2 . Используем закон сохранения энергии и второй закон Кеплера для нахождения скоростей движения станции по эллиптической орбите в точках А и В в форме
где M - масса Солнца.
Решая эту систему уравнений относительно и находим
Скорости планет, двигающихся по круговым орбитам,
Поэтому изменение скорости станции в точках А и В
Для перелета от Земли к Марсу параметры эллиптической орбиты и скорости планет a © 188,75 млн км, t © © 259 суток, V1 © 29,785 км/с, V2 © 24,13 км/с, а требуемые изменения скоростей станции в точках А и В составляют величины порядка DVA © 2,945 км/с, DVB © © 2,65 км/с. Форма моделируемой траектории станции показана на рис. 2. Здесь же приведены и другие параметры перелета (скорости станции до и после коррекции, координаты относительно Солнца и Марса, время полета, параметры и эксцентриситеты орбит).
Положение Марса к моменту запуска можно определить зная его среднюю угловую скорость движения по орбите w2 . 2p / T1(a2 / a1)3/2. Угол j2 по отношению к прямой, проходящей через положение Солнца и точку В (см. рис. 2) на орбите Марса, j2 = w2t © 2,37 радиан. В процессе моделирования траектории АМС можно считать допустимым отклонение станции от Марса на расстояние порядка радиуса сферы его области действия. Приближенное значение радиуса сферы действия Марса (см. табл. 1) r2 © 0,579 млн км. Если отклонение станции в окрестности точки В превышает величину r2 , то будем считать, что она пролетает мимо Марса.
3.2. Перелет с учетом сфер влияния планет
Выполним более детальный анализ траектории перелета к Марсу и обсудим возможности превращения АМС в спутник Марса.
3.2.1. Полет в сфере действия Земли. Рассмотрим начальный участок перелета в пределах действия поля тяготения Земли. Будем считать, что внутри сферы действия Земли АМС движется по кеплеровой геоцентрической орбите под действием притяжения одной только Земли, а после выхода из этой сферы - по кеплеровой гелиоцентрической под действием притяжения одного только Солнца. Параболическая скорость на расстоянии rC от Солнца, равном радиусу земной орбиты, составляет Vпар = (2GMC / rC)1/2 = 42,12 км/с. Если АМС, удалившись от Земли на 930 тыс. км (радиус сферы влияния), имеет гелиоцентрическую скорость V < < 42,12 км/с, то она в дальнейшем будет двигаться вокруг Солнца по эллиптической орбите, напоминая одну из малых планет Солнечной системы, во всяком случае до тех пор, пока не приблизится к какой-либо планете. Гелиоцентрическая скорость движения Земли вокруг Солнца VЗ . 29,785 км/с. Если учесть направления полета Земли и АМС в момент выхода АМС на границу сферы действия Земли, то требуемая геоцентрическая скорость АМС на расстоянии 930 тыс. км от Земли может быть существенно меньше V1, m © V - VЗ . . 12,33 км/с.
Оценим геоцентрическую скорость АМС при ее выходе на орбиту вокруг Земли на высоте, например, h = 200 км (r0 © 6578 км). Из закона сохранения энергии для единичной массы находим (r1 = 930 тыс. км, MЗ - масса Земли)
© 16,5 км/с.
Это и есть приближенное значение наименьшей геоцентрической скорости на высоте 200 км над поверхностью Земли, при которой АМС может выйти, достигнув границы сферы действия Земли, на гелиоцентрическую параболическую орбиту. Это третья космическая скорость на данной высоте над Землей.
При запуске АМС геоцентрическая скорость V0 должна превышать вторую космическую на данной высоте. Орбита АМС вокруг Солнца должна пересекаться с орбитой планеты. Кроме того, момент запуска надо выбирать так, чтобы орбита АМС была наиболее выгодной с точки зрения сроков полета, затрат топлива, условий радиосвязи и других требований.
Принимая во внимание параметры гомановской траектории, вычислим теперь геоцентрическую скорость АМС при ее старте с орбиты относительно Земли с перигеем r0 = 6578 км (h = 200 км):
© 11,358 км/с.
Эта скорость превышает параболическую на высоте h = 200 км (Vпар © 11,1 км/с) примерно на 250 м/с. Следовательно, траектория на этом участке будет гиперболой. Причем асимптота к гиперболе должна быть параллельной скорости Земли VЗ . Параметры гиперболической траектории p и e легко найти по заданным значениям скорости V0 = 11,358 км/с и радиуса r0 = 6578 км околоземной орбиты станции, а затем и рассчитать координаты точек траектории согласно уравнению (1). Неопределенной остается только точка старта станции с круговой орбиты (рис. 3). Если характеризовать эту точку углом j0 ее радиуса-вектора по отношению к оси OX, то, принимая во внимание оценки параметра p и эксцентриситета e, можно видеть, что cos (j - j0) © © -1 / e © - 0,87. Из соображений симметрии можно ожидать, что j © 90?, а j0 © - 60?.
Тогда координаты станции при выходе из сферы влияния Земли
X © ? (2_3)RЗ © ? (10_15) тыс. км, Y © 930 тыс. км.
На рис. 3 показаны околоземная круговая и начальный участок гиперболической орбиты станции. В качестве результатов расчета приведены данные о величине и направлении вектора скорости по отношению к вертикали по мере удаления от Земли. Для того чтобы подчеркнуть пространственные масштабы в данной задаче, можно пересчитать и построить траекторию станции несколько раз, постепенно увеличивая размеры области. При этом форма траектории сильно изменяется и создается эффект удаления от Земли.
3.2.2. Перелет в поле тяготения Солнца. Второй этап перелета в поле тяготения Солнца мы подробно обсуждали в разделе 3.1 при анализе гомановской траектории перелета. Здесь лишь отметим, что детальный расчет траектории на границе сфер влияния планеты и Солнца представляет собой очень сложную задачу. В рамках принятого приближения можно выполнить сопряжение участков траектории (конических сечений) к моменту выхода станции на границу сферы влияния Земли путем выбора величины начальной скорости V0 и точки старта j0 на околоземной орбите.
3.2.3. Полет в окрестности Марса. И наконец, третий этап состоит в описании движения станции в окрестности Марса. Если в процессе сближения станция попадает в область влияния Марса, то будем считать, что в этой области она двигается под воздействием одного только Марса. Из анализа параметров гомановской траектории перелета становится ясно, что к моменту встречи станции с планетой скорость Марса больше скорости станции и, следовательно, он догоняет станцию. В системе отсчета, связанной с Марсом, оси координат которой направлены так же, как координатные оси неподвижной системы отсчета, связанной с Солнцем, станция приближается к Марсу из области отрицательных значений Y. Скорость станции относительно Марса на входе в сферу влияния V s © 2,6 км/с, что заметно превышает величину параболической скорости ( км/с) на данном расстоянии от Марса. Поэтому траектория станции в поле Марса без коррекции ее скорости будет гиперболой.
Будем считать, что станция входит в сферу влияния Марса в точке с координатами X © ? (2_3)rМ © ?10 тыс. км и Y © - 580 тыс. км. Модуль вектора скорости V s = VМ - - (VЗ + DVA)aЗ / aМ можно найти на основе второго закона Кеплера, где VЗ - орбитальная скорость Земли, а DVA - геоцентрическая скорость станции на выходе из сферы действия Земли. Компоненты скорости станции положим равными и где RM - радиус сферы влияния Марса.
Вычислим полную энергию E0 станции (на единицу ее массы) в поле Марса (E0 > 0): и модуль ее момента импульса
а затем, воспользовавшись законами сохранения энергии и момента в форме
определяем скорость и удаление Rp станции в перицентре первоначальной гиперболической орбиты в поле Марса:
Далее находим фокальный параметр p, эксцентриситет e первоначальной орбиты (см. соотношения (2), (3)) и границы изменения углов для расчета и построения гиперболического участка траектории j1 © 3p / 2, j0 = arccos ((p / Rp - 1)/ e), а затем и координаты точек траектории на основе соотношения (1).
Можно рассмотреть возможность корректировки модуля скорости станции в перицентре ее орбиты с тем, чтобы попытаться перевести станцию на орбиту спутника Марса: После корректировки скорости следует вновь найти параметры p и e для второго участка траектории (см. (2), (3)). Начальный угол (конечная точка первого участка), а конечный угол для замкнутой траектории определяется соотношением Направление на перицентр Для незамкнутой орбиты выход станции на границу сферы Марса соответствует углу a, такому, что cos a = (p / RМ - 1) / e, а угол Подчеркнем, что углы и отсчитываются в направлении против часовой стрелки, начиная от оси OX. На рис. 4 показаны первоначальная гиперболическая траектория станции в сфере действия Марса и получившаяся после корректировки скорости станции замкнутая эллиптическая орбита. Здесь же приведены значения скорости станции до и после коррекции, а также параметры и эксцентриситеты траекторий.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В обсуждаемой схеме моделирования траекторий межпланетных перелетов содержатся по крайней мере три свободных параметра: начальная скорость и координата в точке старта станции на околоземной орбите, а также величина приращения скорости в перицентре гиперболической траектории в поле Марса, используя которые можно реализовать игровой вариант компьютерной программы межпланетного перелета. Например, представляет интерес ответ на вопрос, какой совокупности свободных параметров будет соответствовать перелет с круговой околоземной орбиты (hЗ = 200 км) на круговую орбиту в окрестности Марса (hМ = 200 км). Отметим, что более детальное описание данного алгоритма можно найти в [4].
Проведенный анализ траекторий и результатов их расчетов является, конечно, приближенным. Этот анализ дает лишь общее представление о траекториях межпланетных перелетов. Фактические траектории межпланетных станций рассчитываются с учетом истинных эллиптических орбит планет и наклонения этих орбит по отношению друг к другу. Очень важным является выбор начальных положений и скоростей АМС. На протяжении всей траектории движения станции учитывается одновременное влияние Солнца, Земли и других планет [1, 2].
ЛИТЕРАТУРА
1. Гребеников Е.А., Демин В.Г. Межпланетные полеты. М.: Наука, 1965. 357 с.
2. Рябов Ю.А. Движения небесных тел. М.: Наука, 1988. 240 с.
3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. М.: Наука, 1988. Т. 1: Механика. 215 с.
4. Карманов Ф.И., Карманова Л.В., Шаблов В.Л. Задачи по физике для компьютера: Механика. Обнинск: ИАТЭ, 1994. 137 с.
5. Эскобал П. Методы астродинамики. М.: Мир, 1971. 341 с.
Рецензент статьи А.М. Черепащук
* * *
Федор Иванович Карманов, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры общей и специальной физики Обнинского института атомной энергетики. Область научных интересов - математическое моделирование физических процессов в рамках классической и квантовой механики, физики плазмы и теории переноса частиц в веществе. Автор и соавтор более 30 статей.
