|
|
Статьи Соросовского Образовательного журнала в текстовом формате
Описаны бифуркации динамической системы, задаваемой одномерным отображением - логистической функцией. Рассмотрены такие явления, как каскад бифуркаций удвоения периода, приводящий систему к хаосу, и инвариантное множество канторовского типа, на котором система ведет себя хаотическим образом.
ДИНАМИКА ЛОГИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИН. Б. МЕДВЕДЕВА
Челябинский государственный университет
ВВЕДЕНИЕ
Изучая физику в школе, мы привыкли думать, что если известны действующие силы, а также начальные положения и скорости частиц, то, обладая достаточно мощным вычислительным инструментарием, можно предсказать развитие системы для любого сколь угодно далекого момента времени.
Однако в последние десятилетия было обнаружено, что движение даже очень простых динамических систем бывает невозможно предсказать на большой интервал времени несмотря на отсутствие в уравнениях случайных параметров. Такие движения были названы хаотическими. Существует ряд физических критериев хаоса, например: чувствительность к изменению начальных условий, наличие бесконечной серии бифуркаций удвоения периода, дробность какой-либо размерности, наличие положительного ляпуновского показателя и т.д.
Одной из простейших задач, демонстрирующих хаотичность поведения, являются нелинейная модель роста популяции или логистическое уравнение
xn + 1 = lxn(1 - xn).
В статье на примере этой простой модели мы наблюдаем некоторые признаки хаотического поведения орбит дискретной динамической системы.
1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
Рассмотрим функцию, отображающую некоторое множество в себя:
f : M M.
Итерация f(n) функции f определяется как композиция f с самой собой в количестве n раз:
f (0) = f , f (n) = f (n - 1) + f.
Поскольку каждая точка x k M под действием итераций функции f как-то перемещается по множеству M, то функция (1) задает дискретную динамическую систему, то есть некое движение на множестве M с течением дискретного времени n. Итерации функции определены необязательно на всем множестве M. Если для некоторой точки x k M определены все итерации f (n)(x), то множество { f (n)(x): n k N } называется орбитой точки x под действием функции f.
Точка x называется неподвижной точкой функции f, если f (n)(x) = x для любого n. Неподвижная точка x функции f называется притягивающей, если все точки из некоторой ее окрестности стремятся к x под действием итераций функции f ; она называется отталкивающей, если все точки из некоторой ее окрестности покидают эту окрестность под действием итераций функции f.
Если функция f непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности неподвижной точки x и
| f '(x) | < 1,
то x является притягивающей неподвижной точкой. Действительно, из теоремы Лагранжа о конечных приращениях для всех y, достаточно близких к x, вытекает оценка
| f (n)(y) - x | = | f (n)(y) - f (n)(x) | # qn " | y - x |,
где q - величина, оценивающая | f ' | сверху в малой окрестности точки x. В силу условия (2) q < 1, поэтому левая часть стремится к нулю с ростом n.
Аналогично, если
| f '(x) | > 1
то x является отталкивающей неподвижной точкой.
Если в неподвижной точке выполняются условия (2) или (3), то x называется гиперболической неподвижной точкой.
Точка x называется периодической точкой функции f периода k, если f (k)(x) = x, причем f (i)(x) ? x при i < k. Орбита периодической точки состоит из k точек и называется циклом периода k. Точка x является периодической точкой функции f периода k, если она является неподвижной точкой итерации f (k), но не является неподвижной точкой итераций с меньшими номерами.
2. ЛОГИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ
Качественное поведение динамической системы определяется количеством и расположением неподвижных точек, циклов и предельным поведением орбит.
Рассмотрим семейство функций fl , зависящее от параметра l:
fl : M M.
При каждом значении l функция fl определяет дискретную динамическую систему. Чаще всего при малом изменении параметра динамика, определяемая функцией fl , меняется мало. Лишь немного сдвигаются неподвижные точки, циклы и т.д. Однако при некоторых значениях параметра происходит резкое изменение качественной картины, например меняется количество неподвижных точек или притягивающие точки превращаются в отталкивающие. Скачкообразное изменение качественного поведения динамической системы при плавном изменении параметра называется бифуркацией. Примеры бифуркаций динамических систем, в том числе дискретных, приведены в [1].
В статье мы будем изучать динамическую систему, задаваемую логистической функцией
fl(x) = lx(1 - x)
при положительных значениях параметра l. Неподвижные точки функции (4) определяются из уравнения lx(1 - x) = x и имеют координаты x1 = 0 и Вычисляя производные f '(0) = l, и приравнивая их к ?1, получаем, что неподвижные точки теряют гиперболичность при l = 1 и l = 3. Потеря гиперболичности, как правило, сопровождается бифуркацией.
Действие дискретной динамической системы в простых случаях удобно наблюдать на диаграмме Ламерея (рис. 1).
Если 0 < l < 1, то x1 = 0 является притягивающей неподвижной точкой, а точка x2 , лежащая слева от нуля, - отталкивающей. Как видно из рис. 1, а, каждая точка оси 0x под действием итераций функции f стремится либо к нулю, либо к x2 , либо уходит в бесконечность.
Значение l = 1, когда точка x1 = 0 теряет гиперболичность, является бифуркационным. При этом значении две неподвижные точки сливаются в одну негиперболическую точку x1 = 0, которая не является ни притягивающей, ни отталкивающей (см. рис. 1, б ).
Заметим, что при l $ 1 (см. рис. 1, в) все точки, лежащие вне отрезка [0; 1], уходят в бесконечность под действием итераций функции fl , поэтому далее мы будем интересоваться только поведением орбит точек из отрезка [0; 1].
При 1< l < 3 точка x1 = 0 является отталкивающей, а точка - притягивающей неподвижной точкой. Диаграмма Ламерея для этого случая изображена на рис. 1, в; все точки интервала (0; 1) стремятся к x2 .
3. БИФУРКАЦИИ УДВОЕНИЯ ПЕРИОДА
Следующая бифуркация происходит при l = 3, когда неподвижная точка x2 теряет гиперболичность и из притягивающей при l < 3 превращается в отталкивающую при l > 3.
Поскольку при l > 3 обе неподвижные точки являются отталкивающими, то естественно ожидать появления некого притягивающего объекта между ними. Так оно и происходит. Если посмотреть на график отображения при значениях l, немного больших 3, то помимо неподвижной точки x2 можно увидеть (см. рис. 2) еще две неподвижные точки a1 и a2 , которые не являются неподвижными точками fl и, следовательно, образуют цикл периода 2, причем притягивающий, поскольку Тем самым при l = 3 имеет место бифуркация удвоения периода: притягивающая неподвижная точка (цикл периода 1) превращается в отталкивающую, а рядом с ней появляется цикл вдвое большего периода. Все точки интервала (0; 1) притягиваются к этому циклу. Так происходит до некоторого значения l, при котором цикл периода 2 теряет устойчивость. Это значение l соответствует моменту обращения производных в минус единицу и равно l2 © 3,45. При прохождении параметром l этого значения динамика графика итерации вблизи каждой из точек a1 и a2 очень сильно напоминает рис. 2, а-в в окрестности точки x2 . При l > l2 рядом с каждой из точек a1 и a2 появляются еще две неподвижные точки , то есть возникает цикл периода 4, притом устойчивый. Таким образом, при l = l2 имеет место еще одна бифуркация удвоения периода.
При дальнейшем увеличении l появляется бесконечная последовательность {ln} значений параметра l, такая, что при l = ln происходит потеря устойчивости цикла периода 2n и возникает устойчивый цикл периода 2n + 1.
Для того чтобы пронаблюдать этот каскад бифуркаций удвоения периода, можно легко воспроизвести следующий численный эксперимент с помощью персонального компьютера. Выберем какое-нибудь начальное значение, например x0 = 0,1, и проделаем 100 итераций отображения fl . Затем отложим значения полученные в результате следующих 300 итераций по вертикальной оси, а соответствующие значения l - по горизонтальной. По оси l пройдем отрезок от 2,8 до 4 с шагом 0,001. Полученное множество (см. рис. 3) можно рассматривать как бифуркационную диаграмму. На диаграмме хорошо видны классические бифуркации типа вил в точках удвоения периода.
М. Фейгенбаум в 1978 году обнаружил, что последовательность {ln} бифуркационных значений сходится к пределу со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем где d © 4,6692 - число, которое с тех пор получило название константы Фейгенбаума. Эта константа замечательна своей универсальностью, которая состоит в следующем. Оказывается, последовательность бифуркаций удвоения периода часто реализуется в типичных однопараметрических динамических системах, необязательно одномерных, на конечном отрезке изменения параметра и приводит систему от устойчивого периодического режима к хаосу, причем величина одинакова для всех типичных семейств и равна d. В качестве упражнения читателю предлагается построить бифуркационную диаграмму и обнаружить каскад бифуркаций удвоения периода в семействах l sin px и x2 + l.
Свойство универсальности и число Фейгенбаума были обнаружены в различных многомерных физических системах на стадиях, предшествующих хаосу, например при численном исследовании знаменитой модели Лоренца.
Пользуясь константой Фейгенбаума, можно вычислить предельное значение последовательности {ln}. Для логистического семейства оно равно l? © 3,569. Отображение, соответствующее значению l? , имеет инвариантное множество канторовского типа F, окруженное бесконечным числом неустойчивых циклов периодов 2n. При этом все точки отрезка [0; 1], кроме точек этих циклов и их прообразов, притягиваются к множеству F. Подсчитана фрактальная размерность этого аттрактора; она равна ~ 0,538. Универсальность, обнаруженная Фейгенбаумом, проявляется также в том, что структура аттрактора, возникающего при завершении каскада бифуркаций удвоения периода, в частности его фрактальная размерность, одинакова для всех типичных однопараметрических семейств. В следующем пункте мы встретимся с похожим инвариантным множеством при значениях l > 4.
При дальнейшем увеличении параметра l до значения l = 4 динамика логистической функции является весьма сложной и не до конца изученной. Например, в окрестности точки l © 3,83 можно обнаружить цикл периода 3 (рис. 4). Известна теорема А.Н. Шарковского [2], согласно которой, если функция имеет цикл периода 3, то она имеет циклы всех периодов, что само по себе свидетельствует о сложности поведения динамической системы.
4. СИМВОЛИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА И ХАОС
Пусть l > 4. При таких значениях l график функции fl не помещается в единичном квадрате {0 # x # 1; 0 # # y # 1}, и поэтому на интервале (0; 1) существуют точки x0 и x1 , такие, что fl(x0) = fl(x1) = 1 (рис. 5). Пусть I0 = = [0; x0], I1 = [x1 ; 1]. Легко видеть, что функция fl отображает отрезки I0 и I1 строго на отрезок [0; 1].
Из теоремы о промежуточном значении легко вывести следующее утверждение.
Теорема. Если образ отрезка I под действием определенной на нем непрерывной функции содержит отрезок I, то функция имеет неподвижную точку на отрезке I.
Доказательство этой теоремы может быть проиллюстрировано рисунком 5: функция fl имеет по одной неподвижной точке на каждом из отрезков I0 и I1 .
Теперь отметим точки x0 и x1 на единичном отрезке оси ординат. Прообраз объединения отрезков I0 > I1 при отображении fl состоит из четырех отрезков I00 , I01 , I10 , I11 . Каждый из этих отрезков функция отображает на отрезок [0; 1] и, следовательно, имеет на нем неподвижную точку. Отсюда, в частности, следует наличие у функции fl цикла периода 2.
Продолжим этот процесс дальше по индукции. Прообраз при отображении fl объединения отрезков I00 > > I01 > I10 > I11 состоит из вдвое большего количества отрезков, которые получаются из предыдущих выбрасыванием некоторого интервала в центральной части каждого из них. Каждый из полученных восьми отрезков взаимно однозначно отображается на отрезок [0; 1] итерацией Отсюда следует, что отображение fl имеет цикл периода 3.
Этот процесс может быть продолжен до бесконечности. Объединение всех 2n отрезков, полученных на n-м шаге, обозначим через Fn :
F1 = I0 > I1 , F2 = I00 > I01 > I11 > I10 , _
Итерация отображает каждый такой маленький отрезок на отрезок [0; 1] и, следовательно, имеет цикл периода n. Заметим, что интервалы, выбрасываемые на каждом шаге построения множества F, состоят из тех точек, образы которых однажды уходят за пределы отрезка [0; 1] и больше не возвращаются. Поэтому пересечение состоит как раз из тех точек, которые остаются на отрезке [0; 1] под действием любой итерации fl .
Построение множества F аналогично построению канторова совершенного множества, когда из отрезка [0; 1] выбрасывается его средняя треть, затем из каждого оставшегося отрезка опять выбрасывается его средняя треть и т.д. Эта конструкция описана, например, в [3]; там же вычисляется фрактальная размерность канторова множества, которая не является целым числом. Множество F обладает свойствами, аналогичными свойствам канторова совершенного множества: оно замкнуто и ограничено, не содержит интервалов, любая его точка является предельной, оно имеет нецелую фрактальную размерность, а значит, является фракталом.
При дополнительном ограничении на l можно показать, что длины отрезков из Fn стремятся к нулю при n ?. Решая уравнения || = || = 1, получаем Поэтому при с учетом убывания производной || получаем оценку || $ > 1 на F1 и, следовательно, на F. Пользуясь теоремой о конечных приращениях, как в разделе 1, получаем, что длины всех отрезков из Fn не превосходят qn, где q < 1. Далее будем предполагать, что
Так как все точки, не принадлежащие множеству F, уходят на бесконечность под действием итераций функции fl , то в дальнейшем ограничимся исследованием нашей динамической системы на множестве F. Инструмент, с помощью которого будем производить это исследование, есть символическая динамика, когда действие динамической системы представляется в виде манипуляций с некоторыми символами.
Каждой точке x k F поставим в соответствие последовательность из нулей и единиц s0s1_sn_ следующим образом. Если точка x k I0 , то положим s0 = 0, а если x k k I1 , то положим s0 = 1. Далее, sn = 0, если и sn = 1, если
Итак, каждой точке x k F ставится в соответствие ее "судьба" s = s0s1_sn_ - последовательность из нулей и единиц.
Обратно, каждой последовательности s = s0s1_sn_ из нулей и единиц соответствует некоторая точка из множества F, притом единственная. Действительно, каждой такой последовательности соответствует последовательность вложенных отрезков
I(1) _ I(2) _ _ _ _ I(n) _ _,
такая, что I(n) - один из 2n отрезков, составляющих Fn . Поскольку длины этих отрезков стремятся к нулю, то, как известно, пересечение такой последовательности отрезков состоит из единственной точки x, которая к тому же принадлежит F, поскольку она принадлежит Fn при любом n.
Когда функция fl действует на элементы множества F, судьбы его элементов как-то преобразуются. Оказывается, действие отображения fl на F сопровождается чрезвычайно простым изменением судеб: для того чтобы узнать судьбу образа fl(x) элемента x k F, достаточно <забыть> первый элемент судьбы точки x:
S : s0s1_sn_ s1_sn_
Действительно, если судьба x есть s0s1_sn_, а судьба fl(x) есть p0p1_pn_, то, по определению, sn и pn
Таким образом, исследование динамики логистической функции на множестве F сводится к исследованию поведения отображения сдвига S на множестве последовательностей из нулей и единиц.
При построении множества F было уже отмечено одно замечательное свойство функции fl : она имеет циклы всех периодов. Мы можем еще раз в этом убедиться, используя символическую динамику. В самом деле, любой периодической последовательности s (с периодом k) соответствует периодическая точка x, поскольку из условия периодичности sn + k = sn для любого n следует, что точки и x имеют одинаковую судьбу и, следовательно, совпадают. Например, периодической последовательности, состоящей из одних нулей, соответствует неподвижная точка x1 = 0; вторая неподвижная точка x2 имеет судьбу, состоящую из одних единиц.
Прежде чем обнаружить некоторые другие замечательные свойства отображения S и, следовательно, fl , обсудим вопрос: как связаны между собой точки, имеющие одинаковый начальный отрезок судьбы?
Пусть судьбы двух точек x и y совпадают до элемента sn . Это означает, что до n-го шага построения множества F эти точки все время попадали на один и тот же отрезочек в множестве Fk , k # n. Поскольку длина каждого из 2n маленьких отрезков в множестве Fn не превосходит qn, то и расстояние между x и y не превосходит этой малой (при больших n) величины. Таким образом, чем дольше совпадают судьбы двух точек, тем ближе эти точки друг к другу. Верно и обратное: близким точкам соответствуют судьбы, совпадающие до некоторого момента.
Возьмем произвольную конечную, но очень длинную последовательность из нулей и единиц и допишем ее двумя произвольными способами до бесконечности. Тогда точки, соответствующие двум полученным судьбам, очень близки между собой, но в финале под воздействием итераций функции fl могут оказаться как угодно далеко друг от друга или вообще повести себя как-нибудь очень сложно.
Таким образом, в нашей динамической системе проявляется один из признаков хаоса: как угодно малое изменение начальных условий может непредсказуемым образом повлиять на финальное поведение точки.
Примером сложного финального поведения может служить орбита, всюду плотная в множестве F, то есть такая, точки которой содержатся в любой окрестности любой точки множества F. Судьба орбиты такой точки строится следующим образом. Для каждого n $ 1 выпишем подряд всевозможные наборы из нулей и единиц, содержащие n элементов. Полученные конечные последовательности расположим одну за другой в порядке возрастания n. Орбита с описанной судьбой всюду плотна в F, поскольку любой начальный отрезок судьбы произвольной точки из F обязательно встретится где-то в этой последовательности. Тогда, если <забыть> все предыдущие цифры (или, что то же самое, сделать несколько, быть может очень много, итераций функции fl ), то получится точка орбиты, которая находится от рассматриваемой точки множества F на расстоянии меньше заданного.
Из существования всюду плотной орбиты вытекает, что с помощью итераций функции fl мы можем попасть из окрестности одной заранее заданной точки F в окрестность другой заранее заданной точки. Другими словами, функция fl хорошо перемешивает множество F.
Еще одним признаком хаотического поведения является тот факт, что периодические точки fl всюду плотны в F, то есть как угодно близко от любой точки из F имеются периодические точки fl . Действительно, выбирая любое число n, рассмотрим (n + 1)-й отрезок судьбы данной произвольной точки из F и будем повторять этот отрезок периодически. Полученная периодическая последовательность соответствует периодической точке, которая находится на расстоянии от рассматриваемой точки F не более qn.
Можно показать, хотя это и сложнее, что при 4 # # l # логистическая функция также обнаруживает хаотическое поведение.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В настоящее время число публикаций, посвященных явлениям хаоса в детерминированных системах, стремительно растет, поэтому за более широкой и подробной информацией мы отсылаем читателя к специальной и популярной литературе. В статье [4], например, популярно излагается пример двумерного отображения - подковы Смейла, который в свое время стал сенсацией в теории динамических систем. В книге [5] и статье [6] читатель найдет обширный перечень систем различной природы, допускающих хаотические колебания, их математические модели, а также описания численных и физических экспериментов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Белых В.Н. Элементарное введение в качественную теорию и теорию бифуркаций динамических систем // Соросовский Образовательный Журнал. 1997. ╧ 1. С. 115-121.
2. Шарковский А.Н., Коляда С.Ф., Спивак А.Г., Федоренко В.В. Динамика одномерных отображений. Киев: Наукова думка, 1989. 216 с.
3. Вишик М.И. Фрактальная размерность множеств // Соросовский Образовательный Журнал. 1998. ╧1. С. 122-127.
4. Ильяшенко Ю., Котова А. Подкова Смейла // Квант. 1994. ╧ 1. С. 15-19.
5. Мун Ф. Хаотические колебания. М.: Мир, 1990. 312 с.
6. May R.M. Simple Mathematical Model with Very Complicated Dynamics // Nature. 1976. Vol. 261. P. 459-467.
Рецензент статьи В.Б. Колмановский
* * *
Наталия Борисовна Медведева, кандидат физико-математических наук, доцент Челябинского государственного университета. Область научных интересов - обыкновенные дифференциальные уравнения, динамические системы. Автор около 20 научных статей и одного учебного пособия.
