8
X О
ro
совпадал с экспериментальным, определ╦нным в отд, точках ЗБ, а энергия атомных состояний "W) определяется из эксперим, значений потенциалов ионизации атомов или ионов [12].
А;≈/>-метод и метод инвариантов. Электрич. и многие др. свойства полупроводников и полуметаллов, в к-рых число свободных носителей заряда мало, определяются лишь спектром вблизи точек экстремума, т. е. у «потолка» валентной зоны и «дна» зоны проводимости. Возможное положение экстремумов, число эквивалентных экстремумов и вид спектров вблизи них зависят от симметрии кристалла. Для расч╦та спектра вблизи данного экстремума /е0 используется либо теория воз-мущепий (k≈р-метод), в к-ром волновая ф-пия электрона в рассматриваемой зоне в точках k^fc$ раскладывается по волновым ф-циям всех др. зон в точке Л0» либо метод инвариантов, позволяющий непосредственно учесть требования, накладываемые симметрией кристалла [5, 10]. При этом константы, определяющие спектр, находятся из сравнения с эксперим. данными.
Для зол, не вырожденных в точке fc0, поверхность пост, энергии вблизи не╦ ≈ эллипсоиды и спектр определяются тензором эффективной массы'.
(И)
В системе координат, связанных с гл. осями эллипсоида, этот тензор имеет в общем случае 3 компоненты
-1 £
(12)
где k' ~k≈Й0. Для электронов вблизи потолка валентной зоны maa отрицательны, для дырок яг£а ≈≈пг^а положительны. Если зона вблизи tc.0 вырождена, то спектр имеет более сложный вид к определяется из решения секулярного ур-ния, порядок к-рого зада╦тся кратностью вырождения. Аналогичные уравнения используют и для одноврем. описания близко расположенных зон, напр. в узкозонных полупроводниках, что да╦т возможность учесть непараболичпость спектра, т. е. отступление от закона (12) с увеличением fc.
Движение электронов во внешних долях. В металлах движение электронов в электрич. К и магн. И полях определяется квазиклассич. ур-ниями:
dt
где
(p). (13)
Из (13) следует, что при движении в поле Н сохраняются (составляющая импульса, параллельная Н) pz и полная энергия электрона £ (%)), Поэтому электрон на поверхности Ферми в магн. поле движется по траектории, представляющей собой е╦ сечение плоскостью pz==const. Для закрытых поверхностей эти сечения
* ff г « J. I
замкнуты, для открытых они могут быть замкнутыми и разомкнутыми в зависимости от ориентации //. Для замкнутых траекторий период обращения электрона;
2лст* л I 98{pr,g) lt ,,
- ≈. (14)
еН.
т =-.
92
Здесь S ≈ площадь, ограниченная траекторией электрона в плоскости p2=const, величина <ac=i/T наз. циклотронной частотой, а т* ≈ циклотронной эфф. массой. При движении по замкнутым траекториям в сильном магн. поле происходит квантование орбит. Расстояние между возникающими Ландау уровнями. ран но tiwc- Определив зависимость wc(pz) или площади S($p, PJ) от ориентации Н, можно восстановить форму поверхности Ферми.
В полупроводниках и диэлектриках с невырождеп ными зонами движение носителей также описывается квазиклассич. ур-нием (13).
Квантовая теория, использующая Шр╦дишера уравнение для спектра, задаваемого ур-нием (12), приводит
к тому же выражению для 1ьшс, что и ф-ла (14). В случае вырожденных или близких зон в полупроводниках, а также вблизи точек пересечения поверхностен Ферми в металлах квазиклассич. приближение (13) неприменимо и спектр электронов или дырок в электрич. п магн. полях определяется системой связанных ур-шш Шр╦дингсра, число к-рых определяется кратностью вырождения. В этих случаях уровни Ландау оказываются неэквидистантными. Отступление от квазиклассики для близко расположенных ветвей спектра можно описывать как туннелирование электронов с одной траектории Ландау на другую (см. Пробой маз-нитный).
Границы применимости зонной теории. 3. т. исходит из предположений: а) потенциал кристаллит, реш╦тки строго периодичен; б) взаимодействие между свободными электронами может быть сведено к одноэлектрон-ному самосогласованному потенциалу, а оставшаяся часть рассмотрена методом теории возмущений; в) взаимодействие с фононами слабое и может быть рассмотрено по теории возмущений (см. Электронно^ фононное взаимодействие].
В неупорядоченных системах условие а) не выполняется. Однако т. к. размытие атомных уровней связано с перекрытием волновых ф-ций соседних атомой, то и в неупорядоченных средах, в т, ч. в жидкостях, образуются разреш╦нные зоны и квазйзапрещ╦нные, с резко пониженной плотностью состояний. В неупорядоченных средах имеются два типа состояний электро-иа ≈ локализованные и делокализованные. Локализация, связанная с разупорядочением решетки, нал. андерсеновской, а граничная энергия между локализованными и делокализованными состояниями ≈ уровнем локализации. Если уровень Ферми в металле или сильно легированном полупроводнике проходит выше уровня локализации, то их проводимость носит металлич. характер (см. Аморфные металлы), В обратном случае проводимость осуществляется пут╦м активированных перескоков между локализованными состояниями или тепловым забросом электронов выше уровня локализации.
Условие б) хорошо выполняется в полупроводниках и диэлектриках с малым числом свободных электронов, когда взаимодействие между ними мало и может быть учтено как электрон-электронное рассеяние. В металлах, где число свободных электронов велико, взаимодействие с осн. массой электронов учитывается самосогласованным одноэлектронным потенциалом. Взаимодействие с электронами, находящимися в толком слое вблизи поверхности Ферми, может быть учтено в рамках теории ферми-жидкости,, в к-рой в качестве элементарных возбуждений рассматриваются зарнж. квазичастицы ≈ фермионы, описывающие самосогласованное движение всей системы электронов. Электрон-электронное взаимодействие приводит, как правило, лишь к перенормировке спектра. Исключение составляют кристаллы с узкими зонами, где энергия отталкивания двух электронов на одном узле превышает ширину зоны. Если в таких кристаллах число электронов равно числу атомов, они являются диэлектриками, даже если число мест в зоне (с уч╦том спина) больше числа атомов. При изменении ширины разреш╦нной зоны в результате сближения атомов происходит аереход к металлич. проводимости (переход Мотта).
Наряду с возбуждениями фермиевского типа в многоэлектронной системе в результате электрон-электронного взаимодействия возникают возбуждения ≈ бозоны, не связанные с переносом заряда (плазмоиы, спиновые волны), В этих колебаниях могут участвовать электроны и частично заполненных, и полностью заполненных зон. В полупроводниках и диэлектриках в результате взаимодействия электрона зоны проводимости и дырки валентной зоны образуются связанные состояния Ванъе ≈ Мотта экситоны. В молекулярных кристаллах и диэлектриках возбужд╦нные состоя-
