87
Электроны и дырки , примесные уровни. При повышении темп-ры в полупроводниках и диэлектриках в соответствии с (4), (5) электроны начинают переходить из валентной зоны в зону проводимости, образуя пустые места в валентной доле, па;*, дыркам и. Движение носителей заряда в валентной зояе обычно описывают как движение дырок. Каждой дырке приписывают заряд и волновой вектор, равные с обратным знаком заряду и волновому вектору отсутствующего электро-
/ на. Энергия дырки £л (fc) = ≈ <?э ( ≈ fe)≈ ≈ £э (1с), и вероятность заполнения дырочных состояний определяется ф-цией Ферми дырок:
/д (в)'- 1 -
(6)
В иол умета ллах движение носителей в нижней из перекрывающихся зон также описывают как движение дырок.
В металлах с замкнутыми поверхностями Ферми последние могут ограничивать либо область энергий с £ (fc)s££>, либо область с & {&)>£>∙ В последнем случае движение носителей заряда описывается как движение дырок с £д (/с)< ≈ 8 р. Число пустых мест, ограниченных этой поверхностью , паз. числом дырок, тогда как в первом случае число электронов в области, где £э (ft)<#F, пая. числом электронов проводимости, Практически во всех металлах с замкнутыми поверх-- костями Ферми .(кроме щелочных металлов) есть и электроны и дырки.
Во всех кристаллах имеются уровни, связанные с дефектами кристаллич. реш╦тки и чужеродными атомами. Заполнение уровней примеси также определяется (4). В металлах, имеющих большое число свободных электронов, переходы носителей с примеси в зоны не играют заметной роли. В полупроводниках и диэлектриках (а также в полуметаллах с большой концентрацией примеси) концентрация носителей при не очень высоких темп-pax определяется числом электронов, перешедших с доиорных уровней в зону проводимости, или числом электронов валентной зоны, захваченных акцепторами с образованием дырок [9, 10].
Наряду с объ╦мными уровнями в кристалле имеются поверхностнее состояния. Волновая ф-ция электронов в этих состояниях локализована вблизи поверхности кристалла, внутри него. Различают собственные поверхностные состояния {уровни Т а м м а) и примесные. Уровни Тамма возникают в результате «обрыва» реш╦тки на границе и искажении приповерх-ностиых ячеек. Эти уровни образуют поверхностные зоны. Примесные поверхностные уровни связаны с дефектами и чужеродными атомами на поверх-
ности.
Обычно энергия электрона на дне зоны проводимости меньше его энергии в вакууме, однако в исключит. случаях ≈ напр., в кристаллич. и жидком гелии (см. Гелий тв╦рдый] ≈ дно зоны проводимости лежит выше уровня покоящегося электрона в вакууме и поэтому электроны из вакуума не могут проникать в кристалл; однако они, поляризуя кристалл, притягиваются к нему индуцированным на поверхности зарядом. В результате образуются поверхностные состояния с волновой ф-цией, локализированной вне кристалла у его поверхности.
Основные методы расч╦та зон. В первых расч╦тах зонной структуры использовались приближения слабой и сильной связи. В методе слабой связив качестве нулевого приближения берутся волновые ф-ции свободного электрона (плоские волны), а пери-одич. поле кристалла рассматривается как возмущение. В этой модели электронный спектр 8 (k) почти во вс╦м ^-пространстве описывается той же ф-лой, что и для свободного электрона:
£ (fc)=fi2kz!2m0, (7)
где mQ ≈ масса свободного электрона, и лишь у границы зоны Бриллюэна испытывает разрывы (рис. 1, б),
Эти разрывы связаны с брэгговским отражением электронов в кристалле; волновые векторы, для к-рых выполняется условие брэгговского отражения (см. Брэгга ≈ Вулъфа условие], как раз образуют поверхности зоны Бриллюзна. При этом каждая из граней зоны соответствует отражению от системы определ. плоскостей прямой реш╦тки. В отличие от состояний внутри ЗБ, к-рым соответствуют бегущие волны (1), всем состоянием на е╦ поверхности соответствуют стоячие волны.
Приближение слабой связи хорошо описывает электронный спектр простых металлов. Для определения формы их поверхности Ферми достаточно провести вокруг узла обратной реш╦тки сферу, определ╦нную условием kp ≈ Зл;2ЛуК, где /г/т ≈ формиевский импульс, N ≈ число валентных электронов (м е т о д X а р-р и с о н а [7]). Если эта сфера выходит за пределы ЗБ, то форма поверхности Ферми оказывается несферической.
Если возмущающий потенциал не мал, то волновую ф-цию (1) можно разложить по векторам обратной реш╦тки g-:
у и задача сводится к решению секулярпого ур-пия:
det
(в)
Т. к. волновая ф-ция валентных электронов ортогональна волновым ф-циям нижележащих состояний, она сильно осциллирует вблизи атомных остовов. Поэтому вклад в энергию валентных электронов от области атомного остова мал и истинный «сильный» потенциал может быть замен╦н более слабым сглаженным п с е в-до потенциал ом, что соответствует включению в (9) лишь матричных элементов Vgg/ с небольшими , д≈ |я ≈ g'\. Для расч╦та нсевдопотснциала предложен ряд методов, из к-рых наиб, часто используют методы ортогонализованных плоских волн (ОПВ) и присоедин╦нных плоских волн (ППВ). При этом в обоих методах п с евд о потенциал оказывается нелокальным, т. е. включает и компоненты Vgg>, зависящие от g и gr по отдельности [6, 9].
В эмпирич. методе псевдопотенциала Vgg< не рассчитываются, а подбираются, с тем чтобы значения £ц, (/с) в выбранных точках ЗБ совпадали с определ╦нными экспериментально. Потенциалы Vgg> можно представить как сумму вкладов отд. атомов реш╦тки. Последние записываются в виде произведения структурного фактора, зависящего только от положения атома в ячейке, и формфактора атомных потенциалов, к-рые определяются только типом атома и практически не зависят от соединения, куда этот элемент входит. Это да╦т возможность, определив пссвдопотсициалы данных атомов из спектров одних веществ, рассчитывать затем спектр др. соединений, образованных ими.
Метод сильной связи. В качестве базисных ф-ций выбираются волновые ф-ции изолированных атомов я|за(г), и ф-ция пулевого приближения, удовлетворяющая (1), записывается в виде:
1
2 v= 1
(10)
где Rv ≈ координата v-ro атома в реш╦тке. При этом перекрытие волновых ф-ций соседних атомов считается малым и соответствующий вклад в энергию £ (/с) рассчитывается по теории возмущений. Обобщением этого метода является метод линейных комбинаций атомных орбиталеи (ЛКАО), где в качестве базиса выбирается набор неск, атомных волновых ф-ций, включая волновые ф-ции возбужд╦нных состояний [11]. В эмпирич. методе ЛКАО интегралы перекрытия не рассчитываются, а подбираются так, чтобы получаемый спектр £ (k}
X
О
91
