85
Френеля (ч╦тные зоны ≈ непрозрачные), то действие всех выделенных (прозрачных) зон сложится и амплитуда колебаний в точке' наблюдения возраст╦т в 2k раз; то же получится, если прозрачными будут ч╦тные зоны, но фаза суммарной волны будет иметь противоположный знак. Если на стеклянную пластинку вместо непрозрачного слоя нанести прозрачный слой, вызывающий сдвиг фазы на Х/2, то интенсивность света в точке наблюдения возраст╦т в 4& раз. Т. о., 3. п. увеличивает освещ╦нность в точке наблюдения подобно собирательной (положительной) линзе. Но хроматнч. аберрация такой системы приблизительно в 20 раз больше, чем у линз из стекла типа «крои».
Примером 3. IT. может служить голограмма точечного источника; особенностью голограммы как 3. и. является то, что переход от т╦много поля к светлому осуществляется не скачком, а плавно, приблизительно но синусоидальному закону. Аналогичные устройства могут быть созданы и в диапазоне радиоволн, где благодаря зиачительно большим длинам вола реализация описанного принципа упрощается и оказывается возможным создание направленных излучателей типа зон-
ных антенн. Л. Я. Катгорский,
ЗОННАЯ ТЕОРИЯ ≈ один из осн. разделов квантовой теории тв╦рдых тел. 3. т. описывает движение электронов в кристаллах и является основой совр. теории металлов, полупроводников и диэлектриков [1 ≈ 4].
Электронные зоны в идеальном кристалле. Из-за близкого расположения атомов в кристаллах происходит перекрытие волновых ф-ций электронов соседних атомов или молекул. В результате из каждого дискретного энсргетич. уровня атома или молекулы образуется энергетич. зона и электроны, находящиеся на этих уровнях, приобретают способность свободно перемещаться по кристаллу.
Особенность кристалла, отличающая его от аморфных тел и жидкостей, ≈ периодичность в расположении атомов, т. е. наличие трансляц. снимет-р и и. Из-за трансляц. симметрии волновая ф-ция электрона в кристалле i|){r) в точках с пространств, координатами г и г-}- а (а ≈ вектор реш╦тки) отличается лишь фазовым множителем:
(г) = uk (r) exp (efcr), (1)
степени вырождения этого уровня на число эквивалентных атомов в элементарной ячейке, т. е. атомов, меняющихся местами при преобразованиях симметрии, входящих в группу симметрии кристалла. В Л-прост-ранстве существуют точки, в к-рых неск. состояний с определ. k имеют одну и ту же энергию, т. е.
-9-
где м^г+а^идС/1). Здесь k ≈ волновой вектор электрона (см. Блоха теорема, Елоховские электроны). Квазиимпульс p=1lk электрона является аналогом импульса свободного электрона, а величина Х^=2л/А; ≈ аналог длины волны де Бройля. Энергия электрона £ (k) ≈ периодич. ф-ция в /с-пространстве:
e(k + g) = &(k), (2)
где g ≈ любой из целочисленных векторов обратной реш╦тки, построенной на базисных векторах 0Ь jgr2, 03, связанных с векторами прямой реш╦тки «,- соотношениями: 0!≈ 2nla2(t3\/Q и т. д. Здесь Q ≈ сн[ааа8] ≈ объ╦м элементарной ячейки кристалла. В качестве элементарной ячейки обратной реш╦тки выбирают первую Бриллюэна зону (ЗБ). Объ╦м ЗБ равен flfi[!72ff3l~(2n)3/£i) а число электронных состояний в ЗБ (без уч╦та вырождения по спину) равно числу элементарных ячеек в объ╦ма кристалла F, т. е. V/Q* Т. о., плотность состояний в ^-пространстве не зависит от k и равна:
Состояние электрона в кристалле ^└&(/") с энергией £ц, (k) характеризуется непрерывным квантовым числом /с и номером энергетич. зоны или номером ветви (д, спектра, если зона включает неск. ветвей. Предполагается, что k лежит в пределах первой ЗБ (схема привед╦нных зон, рис. 1, а). Генетически каждая из ветвей ц. связана с определ. уровнем атомов, составляющих кристалл. Число ветвей, образующихся из каждого атомного уровня, равпо произведению
а б
Рис. 1. Спектр электрона £(&) в приближении слабой связи (2 ветви): а ≈ схема привед╦нных зон; б ≈ схема расширенных
зон.
соответствующие ветви спектра касаются или пересекаются. Существование и положение этих точек (вырожденные точки), как правило, обусловлено пространств, группой симметрии кристалла, а также требованиями, накладываемыми условием инвариантности к инверсии времени. Такое вырождение может возникать не только в изолированных точках ЗБ, но и на осях симметрии и ее гранях. Пример вырождения, связанного с инвариантностью к инверсии времени,≈ двукратное спиновое вырождение, к-рое в кристаллах с центром инверсии имеет место во всех точках ЗБ. Т. к. инверсия времени /С обращает и направление fc, и направление спина электрона, а пространств, инверсия /, обращая направление fc, не влияет на спин, то в таких кристаллах ф-ций -ф^ и КЩ^^ отвечающие
одному и тому же значению ╦ и /с, соответствуют разным спиновым состояниям. В кристаллах без центра инверсии спиновое вырождение может иметь место лишь в отд. точках, на осях симметрии и гранях ЗБ, для к-рых либо /с≈≈ k-\-g, либо имеется операция симметрии, обращающая k в ≈k-\-g. В остальных точках ЗБ инвариантность к инверсии времени требует лишь выполнения общего условия £ (k)~S (≈k) [5].
Наряду с вырождением, обусловленным условиями симметрии, пересечение ветвей спектра в изолированных точках может быть и случайным. При наличии точек вырождения одному и тому же интервалу энергий могут соответствовать неск. ветвей спектра (т, н. вырожденная зона). Как правило, вырожденные зоны возникают из вырожденных состояний изолированного атома. Наряду с этим в кристалле могут перекрываться и ветви, произошедшие из разных атомных уровней. Такое перекрытие может не сопровождаться возникновением точек вырождения.
Интервалы энергий, в к-рые попадают одна или неск. ветвей спектра, лаз. разреш╦нными зопа-м и, интервалы, в к-рые ни одна из ветвей не попадает, ≈ запрещ╦нными зонами. Иногда каждой из ветвей спектра £д (и), соответствующих разным разрешенным зонам, сопоставляют свою u-ю ЗБ, рассматривая спектр электронов во вс╦м fc-пространстве. Такая схема, наз. схемой расширенных зон (рис. 1, б), удобна при описании почти свободных электронов, т. к. при этом сохраняется соответствие между волновым вектором электрона в кристалле и волновым вектором свободного электрона.
Поскольку свойство периодичности энергетич. спектра в /с-пространстве ≈ следствие только трансляц. симметрии, то (2) справедливо и для всех др. элементарных
X
О
89
