циал коорДМЬаТтя^ ИМ1, понимают как «бесконечно малое при ращение-» и заменяют конечным, но достаточно малмм приращением Дэ-' . Поэтому Д. ф. оказывается ф-цией, зависящей от разностей координат двух «Оес-кощ'чно Слизких» точек. Д. ф. можни определить в любом многообразии.
Нажнейшим примером Д. ф. является метрика (квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками в римановом пространстве] rfs- = = K\j (ж1, . . . , х") At' fix/, определяемая метрическим тензором щ/ (по повторяющимся индексам нолраяуме-настся суммирование, п ≈ раз мерность многообразия). Произвольная симметричная Д. ф. степени г имеет вид
ь>1 *∙*!, ir^1' ∙"' *") ^-е'' ∙ ∙ ∙^jr'r ll определяется симметричным ковариантиым тензорным нолем ранга г (см. Тепзар). Несимметричное ка вариантов тензор-нос поле также определяет Д.ф. И атом случае «ходящие в определение фирмы дифференциалы (прира-
щения) координат, dx< ∙""'
,
различны: ш ≈
- ∙ -dxYr)- Напр., антисиммет-
. определяет в форму (мелели
da>'(,Ji ≈ элемент
ричныи днекрн Ш1НЯНТ1П.ГИ тензор т|( я-мерном евклидовом пространстве
п йнда 0. = ^...,└<(*{;,...ib$(=dot _
об'ь╦ма (это объ╦м параллелепипеда, вдоль j-u стороны к-рого приращение координат равтго dx',/,].
При переходе к др. системе координат дифференциалы dx' и коэф. Д. ф. v>i ( меняются согласованно, так что сама форма ш оста╦тся неизменной (инпарнант-нон).
Особенно важны т. н. внешние Д.ф-, определяемый тензорами, антисимметричными по всем индексам. Для внешней Д.ф. степени (ранга) г используют запись
w ≈ ш|'1. . . /г (я11 ∙ ∙ ч я") dx l Л ... Л dx'r, (*)
где de'1 Л ... Л dx'r (т. а. внешнее произведение дифференциалов} ≈ формальное выражение, антисимметричное, по всем индексам. Кояф. ы,- , не обязательно антисимметричны, но ь Д.ф. ш дао'т вклад лишь антисимметричная часть, tii,( t .. Пырнжгние (*) нригод-. ио лишь в том случае, если все многообразие покрывается одной системой координат. В протпвнпм случае Д.ф. следует представить в виде суммы Д.ф., каждая из к-рых обращается в ноль за пределами одной координатной окрестности, т. е. представима в виде (*)-Внешнюю Д. ф. ранга *∙ обычно наз. г-формой. Внешняя Д. ф не может иметь ранг выше п (иначе она обращается в ноль). Формой ранга Г> по определению является ф-ция на многообразии (тензор нулевого ринга). Каждой г-форми ш вида (*) можно сопоставить
(г-]-1)-форму dui≈ (do>,- tr'Sx'} *Е|' Л <*'с<' Л - ∙ ∙ Л dx'r, к-рая наэ. впешнрй производной или в н е-шаим дифференциалом формы ш. Вторичное применение операции d обращает в ноль любую внешнюю Д. ф.- т. в. dd ≈ 0, Внешняя произведши 0-фор-мы. т. е. ф-ции, совпадает с е╦ дифференциалом, <й|> = ={(?Ф/аг') dx', поэтому
rfoi ≈(dw/!...; ) Л dx'1 Л ... Л dx'r.
Бнешнин Д. ф. со наз. замкнутой, если (/ш = 0, и т О ч н о и, если существует такая форма о, что т = =da. В силу свойства dd=0 всякий точная форма является замкнутой. Обратное справедливо по всегда, напр. это так ни многообразии, покрываемом одной системой координат. Поэтому классы замкнутых форм, отличающихся на точные формы, можно использовать для «арактеристики топологии многообразии.
Для г-формы ш и s-формы о определена («∙-)-sj-форма
ш Л п ≈ы,-, .. ./.а/, ... i,dx>t. л ... Л dx'r л
наз. их в ц е ш н п м произведение ми удовлетворяющая соотношениям:
о Л ш≈ (≈ 1)г*<о л о, d (ш л я) ≈ (du>) ла-| ( ≈ 1)г ш л (da).
В я-мерном евклидовом (псевдоолклпдовом) пространство, где при помощи метрич. тензора можно поднимать тензорные индексы, для шкчлллх Д. ф. определяется операция перехода к дуальным Д. ф, (см. также Дуальные тензора}'.
**~ i^' w/1 ' "If1\!t - - - i, /, ∙ - -ln-t dx" Л '' ' ...Л dx»>~r,
переводящая г-фпрму в (п ≈ г)-форыу.'
В римановом пространстве внеш. производную можно выразить через ковариаптные производные,
dw= (Vj'Wf,, . . i' 1 dif ЛЛг'1 Л ... Л dx'r,
т. к. в силу симметричности Кристоффеля символпв члены, отличающие ковариаптную проилводиуто от оРыч-noit, ле дают нклада в rfto. Дуальная форма в римановом пространстве определяется как
где индексы подняты при помощи метрич. тензора, а вместо дискрпмпнаитного тензора использован тензор (точнее, тензорная плотность) Лени-Чпвиты
Оператор * н этом случае паз. опер а тором Ход-ж а. В римановом пространстве вводят также операцию внешнего кодифференциала, понижающего ранг формы:
Эти операции обладают след, свойствами: dd =--65 =*0, **(й = ( ≈ 1К'ич'"<
*6а(п = ( ≈ !)« ""**-' йы, (г -ранг ш).
На ориентируемых многообразиях корректно определ╦н интеграл от внешней Д. ф. макс, ринга. Если п ≈ размерность многообразия, то
dr'1 Л ... Л it'" = л'1 ' ' ∙ '" dx1 Л . , - Л dx" , и поэтому и-фориу ш можно представить в виде
10 <∙>! . . . I dx'
<
Л
X ш
а ш
в 8
g
где а = ш, ,- r\'L''''n- n! dij (( (последнее равенство справедливо лишь п случав, когда величина ы,- е антисимметрична по всем индексам). При замене координат величина <т преобразуется по закону
совпадающему с законом преобразования плотности, если якобиан, del (dx'/dx'J), положителен. Поэтому величина о ведет себи пак плотность для ориентируемых многообразий. Для такого многообразия интеграл от формы ш равен
С Г
\ w '≈ \ о /JT^ хп\ dx - dx" ≈∙
1, . . ;j V ,-∙∙' / ...li ,
где фигурирует система координат лопожительной ориентации.
Если iii -нек-рая форма маке, ранга па ориентируе- ,»∙ мон многообразии, то умножая с╦ на произвольную 683
