X
о.
АТРИЦЫ ≈ 4x4 матрицы, действующие па 'ременную четыр╦м компонентного сиииора (fJHfiiniiopa) Дирака (vf). Д, и. входят в квантовое вол-повое ур-иир для релятивистской чист, иды со спином 'Л. а также в гамильтонианы взаимодействия полей, в случае если во взаимодействии участвуют частицы со спином !'г (напр., в гамильтониан слабого взаимодействии). Д. м. fit; (k≈ 1, 2, 3) и Р представляют собой эрмитовы матрицы, удовлетворяющие соотношениям
-bai«fc ≈
(ffi.i ≈ Цпонекгра символ). При вычленении сечений п,нщг.ссов <∙ участием частиц со сшшом !i явный вид Д. и. не нужен, достаточно iiciro.ii. ковать соотношения
(1). Однако при решении Дирака уравнения удобно
' "Т IT
ЦОЛМЮВатьСЯ ОПредел. представлением Д- М. Часто прсдставлелис, в к-ром матрица Р диаго-
иальпа (представление ир1'.цстап.Ч1ч]1'« матрицы
_ /Оой a* = l<ifr 0
Ди и
В
этом
,
ака - Паули!. имеют вид
/ 0^
о _ /J'
где а,, ≈ /Ttiy.-iii матрицы, а I ≈ единичная 2ХЙ шит-рица. Чюрма ур-иня Дирака, записанною в ковариант-ноч виде, ЯЙРНСИТ от выбора метрики. В метрике Паули [х=(л, л-,-^,,), ж(т1(л-3. г3) - пространственная коор-длнатв, ха ≈ времн; прлмсинстсл система единиц, о K-poii Й=с=11 yp-mie Дирака для свободной частицы массы m имеет вид .
~'" ) U1 = 0' ji -- I, 2, 3, 4 (3)
I у ≈ ^ V " w
(ЗДРСЬ и ДИЛРР по повторяющимся индексам ≈ в данной случас по и ≈ производится суммирование), где
эрмитовы матрицы, удовлетворяющие перестановочным соотношениям
f у , + у :f =2Й (5)
Важную роль о физике частиц траст матрица
T6≥VirWV4. (l>) Удовлетворяющая соотношениям
., у=_|_-уй1, ≈ о} у* ≈1, V"l" = Ys (7)
( + означает урм^тово сопряжение). В представлении Дираки ≈ Пнули матрица у5 имеет вид
0 -;>
Путем пр|1РМ1юи(гпня матриц у можно построить следующие Hi мелпчк'чмых матриц Днряь'а:
v
v,
-_ 632
Любая 4X4 матрица может быть разложена по полной системе матриц (У]. Между Д, м. имеет место ряд соот-iioiiieiniii, часто использующихся в приложениях,
"''"''" _ .
I'uVpTv- upVv'i jivl'o ' uvV,! - V'ptVs"
DHV---≈ -г*лгст0-ртъ- (Ю) Здесь Е└ └└ ≈ абсолсотно антисимметричный (отио-
IL' ['т снтелыю перестановки любых двух индексов) тензор,
е»«4= 1.
Если метрика выбрана так, что скалярное произволе-пне четыр╦хмерных векторов А а. В равно:
АВ= А»Г^--АИ- g,, J1M-BV, (11) v
v-- 0. 1, 2, 3
[т. е. i= (ха, я-,), *°≈ время, да {г1, ж*, ж3)], где упп=1| gJK = ≈ б,-д, goi ≈i'f(j = 0, TO yp-пис Дирака имеет вид
(iyi*≈≈≈т]т|> = 0. (12)
Матрицы 71' связаны с матрицами а. и р со<Ш1ошениями ул = р| -^"^Pctft, у'' = ≈ iy^v'vV (13) и удовлетворяют перестановочный соотношениям
Ия (13) видно, что у° ≈ эрмитова матрица, у* ≈ антиэрмитовы матрицы.
Лит.: П а у л и В.. Общие приш.ш[Л>т пс\'шоной мехвнинн, пер. с нем., М.≈ Л., 1Я47; Боголюбов Н. Н., Ш и р-к о и Д. В., Вис-дснис в теорию иь«итонапны£ нолей, 4 п^д., М.. iOS'i; Ь ь ╦ ]) к е н Д. Д., Д р е л л С. Д.. Релятивистская ьпнриоиап тиория, m:|i. с англ., т. 1. М.. 1U78.
ДИРАКА ПОЛЕ ≈ фш. поле частиц со спином и (а.тктронов, мюопов, кварков и др.)- При Лоренца преобразованиях н поворотах в пространстве преобразуется как четырикомпонентлын спинор (бисшшор). Н квантовой теории поля но взаимодействия представлении оператор Д. н. т|э(.г%) удовлетворяет Дирака ураа-ненчю для свободной частицы. Лагранжиан свободного Д. п. имеет вид (в системе единиц Д≈с=1):
L ^
(1)
где по повторяющемуся индексу [i--0, 1, 2, 3 произво-дится суммировйнно; п\ ≈ пасса глипорноп частицы, Уи ≈ Дирака матрицы, ж"- ≈ четырехмерные коорди-означает диракоиское сопряжение: попечено эрмитоно сопряжение).
черта [||1Д
ip~ij) + v(l (крестом
Четырехмерный вектор энергии-импульса (4-им пульса)
р _
( Г ^,.9 J "-^
является сохраняющейся величиной. Здесь Ря ≈ анер-гня. f≈ импульс Д. п. liiKTCrpiipoBainu' к (2) прово-дится по всему пространству].
Есл" * ~ ««?"«'<>∙> оператор, то Д. с. описывает зарлн;. частицы, при этом оператор заряда дается вы-ражеиием
Q._ е
(3)
где е ≈ заряд частицы. Сохралсинс заряда поля явля-етси следствием инвариантности относительно г л о-б а л ь м ьт х калиб/кточныя преобразований.
Ра:шон;ен11О оператора 1|з (У) по полной системе решении ур-ния Дирака С определ. импульсами имеет вид
_ -М^ (Р) е1?""} ( ≈ Р)]
(4)
Здесь а}(р) и а?+(р) ≈ операторы уничтожения частицы и
рождения античастицы с 4-пмпул1.СОМ р= (V~m3-,-/>2, /?) н ^"1>^"ностью i=±U, а спиноры U)l(p), кх(-р) удовлетворяют ур-пияш
г V^ о _ )it\ и - ( 1)1 ≈ О \v 1ц ! л '∙''
/YU» +└) u (- р) = 0, (5) \ м
(ТцРц =у°/>1' ≈ уара, м = 1, 2, 3).
Д. и. квантуется так, чтобы для системы частиц внпол-нялся принцип Паули. В соответствии о этим пршщи-
