|
|
где £ ≈ ораз точки |, многоточии обо-кначают нелинейные члены, а А ≈ матрица, собств. чис-.ла к-рой совпадают с -уь ∙-∙- YH-I-
Существуют системы с глобальной секущей, у к-рых каждая траектория последовательно пересекает нек-р у ю поверхность бесконечное число раз. Отображение
└└с. 2. Устойчивая WL и не,
устойчивая W9 сепаратрисы щим в окрестности седловогп
∙гедлоБого пгриодического паи- периодического движения.
НГСШ1Я L И Случае ПОЛПЖИТЕ'ЛЬ-
ных мультипликаторов.
Пуанкаре фактически определяет Д. с. с дискретным временем. К этому классу относятся все системы, онн-
∙сывиющие действие пернодпч. возмущении иа апто-лоиную систему, к-рые можно записать п виде
.ж^Л" (а-, И), б ≈ о», где Х- периодическая по 6 вектор-функция. Фазовое пространство этой системы ци-
.лпндрической: точки (!г, в) и (от, й-|-2л) отождествляются. Глобальная секущая ≈ гиперплоскость S = 0. В частности, ур-ния
х -|-sin л = ≈ ах ≈ AsAiJ sin (kx ≈ 0), в = <о, (*)
пписывающио движение электрона в поле двух волн,
∙определяют Д. с. с глобальной секущей.
Устойчивые и неустойчивые сепаратрисы равновесия п (пли) периодич. движений могут пересекаться. Траектории, принадлежащие пересечению устойчивых и неустойчивых сепаратрис разных периодич. движений, нал. гетерокдиннческими. Траиктория, принадлежащая пересечению устойчивой и неустойчивой сепаратрис псрнодич. движения L (и отличная ОТ L), нал. гом о клинической. Как правило, в е╦ окрестности имеется бесконечное множество разнообразных траекторий, среди к-рых содержится счетное множество седловых периодич. движений. Наличие ю-моклинич. траекторий может служить критерием существования сложных режимов и Д. с. (см. Стохастические колебания, Странный аттрактор), а также яв-
Сапарлриса
литься основой для объяснения ряда нелинейных эффектов. Так, напр.. в системе (*) при наличии даже очень слабой второй волны (A 2<£l) в отсутствие потерь (<%=0) внеш. возмущение может сделать захвачеп7ше злект-роны пролетными и наоборот. Это объясняется след, образом, В отсутствие второй волны (А з=0) траектории захваченных и пролетных электронов разделены сепаратрисой (рис.4). Плоскость [х, х) может служить секущей плоскостью для траекторий системы (*) как при -42=0, так п при л,^0. Но при .4Я=0 траектории отображения Пуанкаре (точки последовательного пересечения в пространство {г, х, 0) траекторий системы ∙(*) с плоскостью О≈О] лежат строго на траекториях автономной системы, я частности, устойчивые и неус-
плоскость
IIO.1IC ГЛрмОТШЧР-СЕЮЙ ВОЛНЫ.
тойчивые сепаратрисы периодич. движения х=х^0 совпадают, а при А 2т^0 это не так. Сепаратрисы пересекаются, возникает гомоклинлч. траектория, образуется "стохастический слой» (рис. 5), внутри к-рого большинство траекторий неустойчиво. Это приводит к тому, что электроны, имеющие сколь угодно близкие зна-
Рис. 5. Невозмуш╦нная сепаратриса (штриховая линия! и гомо-клипитесная траектория в е╦ окрестности на секущеВ 9 ≈ 0. Пунктирной линией оСоаначеиьт границы стохастического слон.
чепия координат я импульсов внутри стохастнч. слоя, могут стать как прол╦тными, так и захваченными.
Критерии поведения траекторий. При исследовании конкретных систем важно знать типы состояний равновесия, периодич. движений, поведения сепаратрис. Существуют критерии, позволяющие определить их непосредственно по ф-лам, задающим правый части систем днфферрнн. ур-пий. Для систем с двумерным фа-эоямм пространством методы исследования развиты настолько глубоко, что многие задачи уда╦тся решить ло конца. Примером подобного критерия для систем на плоскости служит критерии Бендиксона ≈
Д ю а а к а: если для системы i,^/, (it, ra), a-i=/s (i|, TJ) существует гладкая ф-ция В (j-j, -r2) такая, что выражение Э (Bj^idx^d (В}^!дгг знакопостоянно в одаюевязной (двусэяэной) области, то в этой области отсутствуют замкнутые траектории (не может быть более одной замкнутой траектории).
Для п^аЗ ситуация значительно сложнее. Однако и здесь существуют разл. критерии, в т. ч. и критерии возникновения сложной структуры траекторий. Напр., критерий Мельникова существования гомоклинич. траектории заключается в следующем. Пусть периодическая по ( система
x^U (х, у) + еи(х, у, t), y = V (х, jO + eD(jc, 3, О
при е=0 является гамильтоновой и имеет сепаратрису, идущую из седла О[ о седло Ог, ур-ние к-рой х= = л-0(( ≈i0), y = y<,(t≈ ta). Тогда, если ф-ция
0>
ieW= { dl{u(r<l(t (└), !Jo(t-tu), t}V ≈ bV},
где в V, v, U подставлены те же аргументы, тго и в и, имеет простые нули, то возмущ╦нная система имеет (гетеро)гомоклинич. траекторию, принадлежащую пересечению устойчивой и неустойчивой сепаратрис седел О1 к Оу (седла О,=Ог). Напр., система {*) всегда (при а=0, А 2=^=0) имеет гомоклинич. траекторию и стохис-тич. слой.
Критерий III и л ь и п к о в а сформулируем лишь для систем с трехмерным фазовым пространством.
Пусть система Xi=--Xi(xt, х,,, ^э)> '≈^> 2, 3, имеет состояние равновесия О'. ;с=ж*, характер ист и ч. ур-ние для к-рого имеет положит, корень Х3>0 и два комплексно сопряж╦нных: Xj=^a, Re Xj|2=a<0 и ^3-|-«>0. Пусть также одна из траекторий'одномерной неустойчивой сепаратрисы точки О лежит на двумерной устойчивой, образуя петлю сепаратрисы Г. При этом как ДЛЯ данной системы, так и для всех близких к ней в окрестности Г существует сложная структура траек-
ас и
ш
627
40*
