Д. с. описывают набором переменных, ни соображений естественности их интерпретации, простоты описания, симметрии и т. и. Множество состояний Д. с. образует фазовое пространстве, каждому состоянию отвечает точки в н╦м, а эволюция изображается (фазовыми) траекториями. Чтобы определить близость состояний, в фазовом пространстве Д. с. вводят понятие расстояния. Совокупность состоянии в фикснров. момент времени характеризуется фазовым объ╦мом.
Каче-ств. особенности эволюции Д. с. проявляются н характере фазовых траекторий. Напр.. состоянию равновесия отвечает вырожденная траектория ≈ точка в фазовом пространстве, пррподич. движению ≈ замкнутая траектория. Траектория кваяипериодич. движения с гл несоизмеримыми частотами ш,- (т. е. такими, что не существует отличных от нуля целых чисел ^,-, удовлет-
воряющих равенству
o,-=0) сколь угодно близко
626
проходит около любой точки m-мерного тора (всюду плотна на нем). Вообще, для стационарного режима (установившегося движения системы) характерны траектории, плотные в не к- рои подмножестве фазового пространства, а для переходного процесса ≈ траектории, не возвращающиеся в окрестность сионх начальных точек.
Виды динамических систем. По характеру ур-ний и методам исследования Д. с. делят на классы. Конечномерные и бесконечномерные (распредел╦нные) Д. с. ≈ системы с конечномерным и бесконечномерным фазовым пространством. В конечномерном случае консервативный п днсси-п а т и в в u e Д. с. системы с, сохраняющимся и л сохраняющимся фазовым объ╦мом. Гамильтаиояы. системы с ф-цией Гамильтона, не зависящей от времени, образуют подкласс, консервативных систем. У дис-снпативных систем с неогранич. фазовым пространством часто существует ограниченная область в ней, куда попадает навсегда любая траектория. Д. с. с и е п р е-рывным временем (потоки) и Д. с. с дискретным временем (каскады); дискретность времени иногда отражает существо реального процесса (дискретность моментов прохождения импульса через усилитель в оптическом квантовом генераторе, сезонность в экологии, смена поколений в генетике н Т. Д.)' Грубые и негр у быв Д- с.; ронятио грубости (структурной устойчивости) характершует качественную неизменность типа движения Д. с. при малом изменении ее параметров. Значения параметров, при к-рых. система переста╦т быть грубол, наз. б и ф у р-i; а ц и о н :г ы м п (см. Бифуркация}. При раямррнос-ти фазового пространства болыпр 2 могут существовать целые области в пространстве параметров, где Д. с. оказывается нргрубой.
Установившемуся движению диссипативной системы отвечает яттрактор ≈ множество траектории, к к-рому притягиваются все близкие траектории. Ста-тич., периодич, или квазинериодич. режимам отвечают простейшие аттракторы: состояние равновесия, периодич. траектория и тор соответственно. Сложному непе-риодич. режиму отвечнет странный аттрактор. С фил. точки зрении, днссипативность системы означает, что все движения с достаточно большой энергией затухают.
Нногда (не совсем точно) днсснпативяой наз. систему, в к-poii уменьшается объ╦м любой области фазового пространства при сдвиге по траекториям. (В бесконечномерном случае предполагается, что уменьшается объ╦м любого ^-мерного шара при достаточно большом ft.) Для конечномерной Д. с., заданной системой диффе-ренц. ур-ний & = Х(х], циссипативность в этом смысле соответствует неравенству dtv X<.Q.
Локальные свойства траекторий описывают при помощи понятий диффс'рекц. геометрии. Примером может служить Д. с., задаваемая системой п (нелинейных)
дифференц. ур-нпн х ≈ Л' (а-); здесь ж ≈ Xi, .... х└ а ДГ ≈ «-мерные векторы, а точкой обозкачино дифференцирование но времени. (Такая система, у к-рой ф-цпи А' не зависят от времени I, н<и. a UIOHOMUOLI.) Поведение в окрестности состояния равновесия О: ж ≈ ж* (где ДГ(я;*) = 0) прежде всего зависит от свойств линеаризованной вблизи О системы, а имел но, корней }.i, . . . , Я,п характеристич. ур-ния det \дХ^дх/ ≈ ≈ "b&if\xsx» =0, где ujj ≈ символ Кронекера. Пусть. Re Я,- отрицательны для р н положительны для q корней, причем p+q ≈ n, Если р^п (р≈ 0), точка О наз. устойчивым (неустойчивым) узлом: траектория с началом в малой окрестности точки О попадает в О при t ≈ <- -\- со (( ≈ >- ≈ ее ). Если р f 0 ;= q, точка О ылз. седлом. Через не╦ проходят две поверхности: ^-мерная Wo и ^-мерная H'J, наз. устойчивой и неустойчивой сепаратрисами точки О; они образованы траекториями, стремящимися к О при t ≈ »∙ -J- во и ( ≈ i- ≈ со соответственно. Остальные траектории уходят из окрестности седла при t ≈ ~± оо (рис. 1). Траектория, лежащая одновременно в ╧"{> и И-'р (и пе совпадающая с О), наз. д в о я к о а с и и п-тотической к О или петлей сепаратрисы седла. При стационарном движении ей отвечает бегущая локалидон. волна, в данвом случае спадаю-щая при ( ≈ ^ J- со (таковы нек-рые солиаитя) . Если Reb,- = 0 для некоторых X,-, то устойчивость состояния равновесия определяется следующими членами разло-
I. Угтойчиван
устойчивая
и не«парэтрисы
содлового состояния равновесии О.
ЖРНИЯ векторного поля X в ряд Тейлора вблизи О.
Тот же при╦м линеаризации применяют для изучения ПОВРДРПИЯ траектори/i в окрестности периодич. движения L: x--^a(l), где и(/ +т) =∙ а {/)∙ Фундам. матрица решений ликеаризованноп вблизи пс ≈ и системы ур-нш* имоет вид с (() exp R (I), где с (t) ≈ периодич. ф-цпя с периодом т. Поведение траекторий характеризуют мультипликаторы |собств. значения уь ..., у,, матрицы ехрЛ(т)]; один из них, скажем ун, равен 1. Если | т,11 < 1 (| у,-1 > 1) для всех i *£ п ≈ 1, то периодич. движение устойчиво (неустойчиво). Если р мультипликаторов лежат внутри, a q ≈ вне единичного круга в комплексной плоскости, р-;-д ≈ п ≈ 1, то имеем периодич. движение ссдлоиого тиса. В этом случае L. лежит в пересечении двух поверхностей: (р -|-1)-мерноп f^l и {? + 1)-иерной \V'i (устойчивой и неустойчивой сепаратрис).
Поверхность Wi(Wt) состоит на траектории, стремящихся к L при ( ≈'-[- t» (г ≈. ≈ оо). При п ≈ 3 п р = д=г1 поверхность W\_ (W'l) топологически аквива-линтна листу Мебиуса, если мультипликатор у, по модулю меньший (больший) 1, отрицателен, или цилиндру, если у положитрлеп (рис. 2).
Поведений траекторий в окрестности L удобно-изучать, рассмотрев их следи на (п ≈ 1)-мерной секущей поверхности D, без касания пересекающей L, и близкие к L траектории. Отображении точки '»└ на D в первую точку пересечения с О траектории, проходящей через «'└(рис. 3), наз. отображением! Пуанкаре (или отображением исследования). В координатах § = £i> -.., \a-i таких, что L пересекает D в нуле, отображение Пуанкаре имеет вид.
