О
кер Р., Электронная теория, пер. с нем., 16;/Л а н на у Л, Д., Л и фш и ц Е. М.. Тио-. \rf;i., М.. (VHH. М. А. Миллер, Е. В. Суворов.
ЛОРЕНЦА СИСТЕМА ≈ система тр╦х неливейных диффс-ренц. ур-лий первого порядка:
х= Рг (у ≈ х), у≈ ≈у-\-гх≈xz, г=- ху ≈ (iz,
решения к-рпй в широкой области параметров являются нерегулярными ф-циями времени и по мн. своим характеристикам неотличимы от случайны,;. Л. с. была получена Э. Лоренцем (Е. Lorenz) и& ур-нгш гндроди-
Рис. 1. Иллюстрация последовательных бифуркации в системе
Лоренца при увеличении параметра г: а) 1 < ?∙< r(; D) г≈п;
в) г,<г<г,; г] r = rs; д) г,</< г*; е) г*<г.
намнки как модель для описания тепловой конвекции в горизонта.!ьком слое жидкости, подогреваелюй снизу (Рг ≈ Прандтля числа, r≈-RajRac ≈ привед╦нное PJ-леь ч\'сло, Ь ≈ определяется выбором моды в Фурье-раз.южонии поля скорости п темп-ры).
Л. с.≈ один из примеров динамической системы,
имеющей простой фна. смысл: она демонстрирует сто-хастнч. поведение системы. В фазовом пространстве этой системы в области параметров, указанных на рис. 1, существует странный аттрактор, движение изображающей точки на к-ром соответствует «случайному" ≈ турбулентному течению жидкости при тепловой кин-иекшш.
Л, с. (при 6 = 1) описывает, в частности, движение жидкости в конвек-тивноп петле, расположенной в вер-
Рис. 2. Ниншжтнвнал петля ≈ физическая и,77~Т ыодиль, дли которой выводятся уравнения НагРеЕ Лоренаа.
тикалыюй плоскости в однородном поле тяжести тороидальной полости, заполненной жидкостью (рис. 2). На стенках полости поддерживается не зависящая от времени (но зависящая от угла (|Ч темл-ра ^(ф); кяж. часть петли теплее верхней. Ур-ния движения жидкости в конвективной петле сводятся к Л. с., где x(t) ≈ скорость двнзкения жидкости, y(t) ≈ темп-pa в точке N, а г(() ≈ темп-pa в точке М при больших (. С ростом г характер движения жидкости ыеняетсн: сначала (при г<1) жидкость неподвижна, далее (при 1<г<г2) устанавливается циркуляция с пост, скоростью (либо по часовой стрелке, либо против); при ещ╦ больших г вс╦ течений становится чувствительным к малым изменениям вач. условий, скорость циркуляции жидкости меняется уже нерегулярно: жидкость вращается иногда по часовой стрелке, иногда ≈ против.
При обычно используемых значениях Рг=Ш, Ь= =B/s Л. с. обладает след, свойствами: ур-ния Л. с. инварианты относительно преобразования x-i∙≈х, у-* ->≈у, z-rz; фазовый объ╦м сокращается с пост, скоростью
яаляется устойчивый узел в начале коордипат О (О, О, 0]. 2) При 1<г<г1т где rj = 13,92, Л. с. кроме упомянутого трнинильного (О) имеет ещ╦ два состояния равновесия С"% С~. Состояние равновесия О является седлом, имеющим двумерное устойчивое многообразий и одпо-мсрное неустойчивое, состоящее из О и двух свсаратрис Г+ и Г~, стремящихся к С"+ и С ~ (рис. 1, а). 3) При г≈ = ri каждая пз сепаратрис становится двоякоасимпто-тической к седлу О (рис. 1, б). При переходе г чере;) гг из замкнутых петель сепаратрис рождаются неустойчивые (седловые) периодич. движения ≈ предельные циклы LI и [,%. Вместе с этими неустойчивыми циклами рождается и очень сложно организованное предельное множество; оно, однако, не является притягивающим (аттрактором), п при г,<г<Г2 (рис. 1, в), гдо г2 = 24,06, нсетраекторни по-прежнему стремятся к С с. 9та ситуация отличается от предшествующей тем, что теперь сепаратрисы Г4 и Г~ идут к «не своим» состояниям рав-цонесня С~ и С~ соответствен но. 4) При г2<гО*, где r*^24,7'j, в ."[. с. наряду с устойчивыми состояниями равновесия С± существует ещ╦ притягивающее множество, характеризующееся сложным поведением траекторий.≈ аттрактер Лоренца (рис. 1, d и рис. 3}. 5) При г-*г* седловые циклы Lt и LI стягиваются к состояниям равнонесия С+ и С~, к-рые при г=г* теряют устойчивость, 11 при г>г* единственным притягивающим мыо-
1>нс. я. Траектория, вос-
пуоиаипдншая пттрак-TIJJJ Лоренца (выхооит из инча.ча координат), горизонтальная плоскость соответствует z = = 27, г=2Й.
" &х ' сщ
_j
аа единицу времени объем сокращается н е =10* раз. I _ С ростом г в Л. с. происходят след. осн. бифуркации.
жеством Л. с. является аттрактор Лоренца. Т. о., если стремить г к г* со стороны меньших значении, то сто-хастичаость в Л. с. возтшкает сразу, скачком, т. е. имеет место жесткое возникновение стохастнчности. К Л. с. сводятся ве только ур-ычя, описывающие копвективные движения жидкости, но и др. фиа. модели (тр╦хуровневый лазер, дисковое динамо и т. д.).
Лит.: Loreni Е., Deterministic oonperijclic [low. «J. Atmos. Sci.n, 1ЙЕЗ, v. 20, p. 130; в руг,, пер., в кн.: Странные этграктпры, М., 19В1, С. 8S; Г а п о н о в -Т р е х и в Л. В., Рабинович М. п.. Хаотическая динамика простых Систем, «.Природа», 1981, К. 2. с. 5i; Афрлймович Е. С., Е ы к о о В. В., JII и л ь н а К о в Л. П.. О прнтягивяющих негруПых предсльмыч множествах типа аттрактора Лоренца, *<Тр. Московского матем. оОндоства», 1ЭЙ2. т. 44. с. 15U; V я-С и н о в и ч М. И.. Т р у 6 е ц и о в Д. И., Введение в теорию колебаний и волн, М., 1984. В. Г. Ше.чое.
ЛОРЕНЦА ≈ ДИРАКА УРАВНЕНИЕ ≈ релятивист-скос ур-нио движения классич. точечной заряж. частицы в эл.-магн. поле, учитывающее силу реакции, с к-рон действует на частицу е╦ собств. ноле излучения. Ута сила реакции исследовалась до возникновения теории относительности X. А. Лоренцем (1892), релятивистски инвариантное рассмотрение вопроса проведено П. А. М. Дираком (Р. А. М. Dirac. 1938}. Л,≈Д. у. имеет вид {в СГС)
1) При
единственным состоянием равновесия
da/
≈
2 о1 ~17
f ri'..1'
ds'
