ш
А
а
"~ ' LJ
∙ ∙ ∙ Л- . ^
∙ ∙ ∙ ∙ 1
РИС. 5. Пример графи и клп [Yi't.'[1-ном разложении модели Плттга.
у ч а и н ы х кластеров. Статистич.
оттса можно представить графически, используя след, представление ПСВ; ехр (^',, └ ) = = l-l-i/'Sp _ , у = ехр К≈ 1. На графе сопоставим 1 пустое ребро, а сб_ _ ≈заполненное (рис. 5). Кластером
наз, совокупность узлов, соединенных заполненными ребрами. Изолиров. узел также считается кластером. Статистич. сумма q-КОМПОНЕНТНОЙ модели Поттса представляется в виде Z (q, 1--}= 2 Ч*""1, где й-число кла-
по графам
стеров, a w ≈число заполненных ре'брр в графе. Определив статистич. сумму графически, можно ни считать q целым числом. Модель Поттса при q ≈-1 связана с процессами протекания (см. Протекания теория), а при q = 0 ≈ со статистикой длинных полимерных молекул без самопересечения. Модель случайных кластеров можпо преобразовать и бУ'-модеш..
Критические свойства двумерных систем. При достаточно низких темп-рак ср. значение параметра порядка (намагниченности) системы с дискретной абелрйой группой симметрии отлично от нуля. При высоких темп-pax система находится В неупорядоч, состоянии. В системах с непрерывной группой симметрии намагниченность отсутствует во вс╦м диапазоне темп-р. В модели Б В различие между фазами выражается в поведении корреляторов на больших расстояниях. Ниже точки перехода (в т, н. мягкой фазе) они убывают по степешшму закону, выше точки перехода убывание происходит экспоненциально, В мягкой фазе взаимодействие между пробными зарядами кулоновское (логарифмическое). После диссоциации вихревых молекул пробные заряды экранируются и взаимодействуют экспоненциально слабо. Изменение характера взаимодействия приводит к изменению зависимости коррелятора от расстояния.
В ^симметричных моделях при q > 4 существует интервал темп-р (4 < 2л/эл], < д',4, где /эфф ≈эфф. постоянная взаимодействия), в к-ром симметрия восстанавливается. В утой фазе корреляторы убывают по степенному закону (мягкая фаза). На верх, границе интервала происходит описанный выше переход в ку-лоновском газе вихрей. Высокотемпературная фаза характеризуется полным беспорядком и экспоненц. спаданиом корреляторов. При q < 4 промежуточная (мягкая) фаза отсутствует. Фазовые диаграммы для q = 4 и g > 4 изображены на рис, 6.
Точное решение модели Изиыга демонстрирует существование единств, фазового перехода 2-го рода
Рис. 9. Фазовые циаг-уиммы модели Б up* ЗИН-ского ≈ Виллэна с нарушенной симметрией (ом. таил. 1). Утолщ╦нный отрезок оси абсцисс соответствует мнгкий фазе. При д>4 заштрихованная область между длумя жирными линиями соответствует мягкой фазе.
в точке, где параметры /ь и /;, связаны соотношением дуальности sh (2J/,) sn (2/└) =_1. В изотропной модели
критич. значение /<Г) ≈ln(f^2 ± 1), где знак «-,-» соответствует ферромагнетику, а ч≈» ≈ пнтиферромагнетику. Для моделей Поттса при q > 4 показано, что экви-е,о валентная 6 F-модель имеет единств, точку фазового 5ОО перехода при u=s = 0. Параметры К/, и Kv в анизо-
тропной модели связаны ДП (ехрЛГ/, ≈ 1)-(<зхрК└≈ 1) = = 17. Считается, что то же соотношение определяет критич. точку при 9^4. При q > 4 переход происходит скачком (переход 1-го рода), а при д»^4 ≈ непрерывно (переход 2-го рода).
Свободная энергия модели Бакстера ≈ аналитич. ф-ция параметров а, Ь, с, d > 0, за исключением плоскостей
a ≈ b-\-c-\-d, b~a-{-c + d, c
(3)
На этих плоскостях корреляц. радиус обращается в бесконечность. Параметр kz=abcd/ а Ьг. а обращается
Рис. 7. Фазовая диаграм-ма однородной и изотроп-ной модели Ашьина ≈ теллера: о ≈ листы критич ее к ой поверхности пересекаются попарно БДПЛЬ отрезков PL,, t'Ls, PL, с общей тройной точкой Р. все три отрезка лежат н чинх-.иоггги N,N,fiil 6 ≈ сочение фа-аоной диаграммы плоскостью N,N,Nt.
в 1 на плоскостях (3) и толь-ко на них. Система находится в упорядоч. фазе при fes<l и в неупорядоченной при ft!>l.
Фазовую диаграмму моде-ли ЛТ удобно представить в координатах я,-=uv/u>i), 0<; ∙s£ti<\, (=1, 2, 3 (рис. 7, а). Критич. поверхность состоит из 3 листов. Изотропная модель AT эквивалентна ыо-дели Бакстера с а≈Ъ при
условии л^+агз+ж,, ≈ 1. И этой плоскости (рис. 7, 6} отрезки Xj≈Xj состоят из критич. точек. Линия а-2 = з1э соответствует <1≈0 в модели Бакстера. Центр треугольника является критич. точкой 4-компонентной модели Поттса.
Фазовое пространство модели ЖГ в координатах L, М ограничено кривыми z(L, Д/) = 0, где а выражается через L и М согласна ф-ле [2]. Области z(L, M)<0, заштрихованные на рис. 8, кефизичсскне. В оставшийся области значение параметра Д=г";11≈з exp(i+jVf)l определяет, в какой фазе находится системе. Границы фаз определяются условием Д=±_Де, где Дс*= = [(H-V"5)/2]*. Фазовая диаграмма симметрична относительно замены осей L и М. В фазах I, III, V плотность на под реш╦тках одинаковы (жидкая фаза). В фазах II и VI частицы занимают преимуществеппо одну из тр╦х подрепгеток (треугольный кристалл). В фазе IV занята одна из двух под-решеток (квадратный кристалл).
Критич. показатели. В модели БВ масштабная размерность параметра порядка Д в точке фазового перехода рання ','g, что подтверждено при намерении в плСнках 4Не отношения сверхтекучей
н,
Рис. 8- Фазовая диаграмма точно решаемой оОойщенвой ыодели 1негтник гонсэгонов.
