о.
<
с;
сйствпо
в виде 5=Cj?(x, t)dx dt, где плотность Эти тенз°Ры находятся по заданному JS по формулам
I * Л /П ^ *л О5 t ^ / "~i ft \ \ *~k fJ fJ?
1 r/ ≈≈ * I .-J V^ / ЛТ / fm fT\ b* 1 Л f\ ГГ*1 ____ tfT ^f
ч>а J?f, называемая лагранжианом, зави- _, т> т А^ЧЯ/Л V-*\ ь ъ
и, как правило, от их дсрвых произвол- M-X.V"^ vx ^K^VM- '" ( ' ( \*г)) ^ииФ '
ф-цип Лагранжа называемая лагранжианом, зависит от полон (и, как правило, от их первых производных), взятых в одной и той же точке пространства-времени х, t. [Иногда термин «лагранжиан» используют и для самой ф-ции Лагранжа L(t}t a X наз. плотностью лагранжиана ,]
Б релятивистской теории и действие S, и лагранжиан X являются скалярами относительно преобразований Пуанкаре группы. В четыр╦хмерных обозначениях перемслдыо (t, х} ≈ {яц}≈ х (и.≈ О, 1, 2, 3) входят равноправно, п денстнлс записывается как локальный функционал нолей и их первых производных, заданных на иок-рой 4-области £3:
S=
х)
(принято сокращение <9д
В механике и теории ноля постулируется фундаментальный наименьшего действия принцип, утверждающий, что для реальных движений системы функционал S принимает экстрем, значение, т. е. его вариации 6tV = 0. Ур-шш движения получаются из него по правилам вариац. исчисления как условия экстремума; они ыаз. Эйлера ≈ Лагранжа уравнениями и имеют вид
где дд^:г. я/ятц ≈«полная частная производная», учитывающая зависимость X от х как явную, так и через поля Фа(^)7 по повторяющемуся индексу ц предполагается суммирование. Т. о., задание формы лагранжиана полностью определяет ур-ния движения. [Для систем со связями f/Mj(tyat дц фа, #)=0 вариац. принцип применяется к моднфициров. лагранжиану £' (#) =
x}~\-2j"/^\j(x}, прич╦м множители Лагранжа
находятся интегрированием соответственно моди-ф'ициров. ур-ний Эйлера ≈ Лагранжа.]
При наличии в теории симметрии Л. ф. позволяет, помимо ур-ний движения, найти соответствующие сохранения законы с помощью Истер теоремы. В силу этой теоремы из инвариантности действия относительно каждой однопараметрич, группы преобразований симметрии следует сохранение одной явно строящейся
*
ф-ции координат и скоростей F(g, g, t). В релятивистской теории аналогом момента времени t служит про-страпственноподобная поверхность а, а аналогом сохранения во времени, dF/dt≈Q, является независимость от о1 соответствующего функционала о, полей и их производных:
Иными словами, каждой сохраняющейся величине F отвечает локальный четыр╦хмерный «ток» FV(X), удовлетворяющий дифференц. закону сохранения dvFv(x}~Q.
В частности, всякое релятивистское описание должно быть иквариа>ггло относительно трансляций и вращений в 4-пространстве (образующих 10-нараметрич. группу Пуанкаре), Инвариантность *У относительно преобразований группы Пуанкаре приводит к сохранению четыр╦х компонент анергии-импульса Р я шести
компонент момента М =≈Мл . Если взять поверхность о в виде #п = г, то они выражаются ф-лами
<я)> Мы =
M
* до
через свои «токи» ≈ тензоры энергии-импульса Т и момента -Af v, удовлетворяющие дифференцн-
544 алышм законам сохранения
М1 *
где матрица 5я6 описывает изменение многокомпонентного поля фа при бесконечно малом преобразовании
Лоренца с параметром о> , бфа = 1/2**м^ Ф^и-^-
Если в теории имеются и др. группы симметрии, т, о. действие инвариантно относительно преобразований из этих групп, теорема Н╦тер дает дополнит, сохраняющиеся величины (напр., заряды; см. Квантовая теория поля}. В гамилътоповом формализме выясняется, что сохраняющиеся величины являются генераторами соответствующих преобразований симметрии. (Отметим, что в теориях, содержащих динамические симметрии, возникают дополнит, законы сохранения, к-рые не могут быть получены из теоремы Пстор.)
Т. o.t лагранжиан полностью определяет теорию,' Л. ф. да╦т ур-ния движения и сохраняющиеся динамич. величины. Напротив, по заданной теории лагранжиан восстанавливается неоднозначно, напр. к нему всегда можно добавить 4-дивергеицию любой ф-ции, что не сказывается ни на ур-ниях движения, ни на сохраняющихся величинах.
Л. ф. играет важную эврпсткч. роль при построении матем. описания новой области явлений. Действительно, в соответствии с требованиями инвариантности относительно преобразований из группы Пуанкаре и др. грунп симметрии X может зависеть только от инвариантных комбинаций полей, к-рые нетрудно перечислить. Если по соображениям простоты оставить в X инварианты миним. степени по полям, получающиеся из Л. ф. ур-пия движения часто оказываются линейными. В этом случае они наз. уравнениями свободного ноля. Так, для векторного поля с абелевой калибровочной группой (напр.т эл.-магн. поля) все возможные лагранжианы эквивалентны выражению ≈ V^uv^uv» гДе тенз°Р ноля F =* =d^Av≈Я-у^д! ^ц ≈ 4-потенциал, а ур-ния свободного поля имеют вид ^M^MV=^' В случае более сложной
симметрии, напр, с неабелсвой калибровочной группой, тензор поля
fa ,≈ Q Аа_я Аа_tabcAb AC ^iv ц v v М- М- v
(где tabc ≈ структурные константы группы), а простейший лагранжиан »5? = ≈V^uv^uv* ^же простейшие нетривиальные ур-ния оказываются нелинейными по полю: YJ-^ рь =0, где \ral)=$abd ≈ta^c Ac ≈ ко-
вариантная производная для данной калибровочной группы.
Квантовая теория поля заимствует у классической весь Л. ф. с той лишь разницей, что полевые ф-ции являются теперь не с-числамит а, вообще говоря, lie-коммутирующими операторами. Поэтому операция варьирования, применяемая для вывода ур-ыии движения и получения динамич. величин, требует доопределения 15, 6]; в ряде случаев (напр., в квантовой электродинамике) оно сводится к той или иной симметризации операторов.
Фупдам. роль Л. ф. была вскрыта в лагранжевой форме квантовой динамики [Р. Фсйпмап {R. Feynman), 1948] ≈ третьем, наряду с традиционными шр╦дни-геровым и гейзенберговым, способе е╦ построения. На этом пути отщепление квантовой теории от классической связано с разными законами композиции вероятностей перехода между последоват. состояниями а, Ь, с,. . . динамич. системы. В то время как в классич. теории для вероятностей Р имеет место интуитивно очевидный мультипликативный закон композиции
Ptic^^jPabPbc (здесь «суммирование» производится ъ
