|
|
Ур-ния в форме (fi) обычно и паз, в физике ур-ниями -Лагранжа. Преимущество этих ур-ний состоит и том, что они позволяют изучить движение механич. системы, "зная для не╦ одну только ф-цию £, полностью характеризующую систему. Такая форма ур-ний имеет место не только для консервативных систем. Если обобщ╦нные силы можно представить через нек-рый «обобщ╦нный потенциал» U (g/, g/) в виде
OU d / ди \
динат можно принять компоненты А х, Ау, Аг векторного потенциала А и скалярный потенциал <р. В этом случае
8л
∙рФН-^rJ
то ур-ния (3) представляются тоже в виде (6), где L= ≈ Т≈U. Напр., для заряж. частицы массы m с зарядом <?i движущейся в эл.-иаги. поле, к-рое характеризуется векторным -I и скалярным ф потенциалами, существует «обобщенный потенциал»
≈ дев и
т/и-
"где v ≈ скорость частицы, с ≈ скорость света.
Область приложения ур-ний (В) оказывается ещ╦ более широкой благодаря их связи с наименьшего действия принципом. Согласно этому принципу, для истин-
ного движения системы величина S~ \ Ldt, наз. дей-
\) <i
∙ствие.ч, имеет экстремум, условие существования к-рого состоит в том, что ф-ция L должна удовлетворять ур-ниям Эйлера, совпадающим с ур-ниями (6). Отсюда следует, что ур-ния вида (6) справедливы для .любой физ. системы (непрерывная среда, гравитац. .или эл.-магн. поле и др.), к-рая характеризуется соответствующей ф-цией Лагранжа и подчиняется вариационному принципу, аналогичному принципу наим. действия.
Для среды или поля, представляющих собой систему с бесконечным числом степеней свободы, роль обобщ╦нных координат 7i играют такие величины, как смещение частицы, плотность, потенциал и т. п., зависящие в общем случае от координат г, г/, z точек среды '(ноля) и от времени; поэтому для такой среды (поля) g =q. (я, j/, Zj t). Характеристикой системы в этих случаях служит удельная (отнес╦нная к единице объ╦ма) ф-цня Лагранжа, Или лагранжиан
_
(//)
dt
1 X->
2, О.
и Л. у. для среды (поля) принимают вид в dt
дх
ду
дг
-.
ae/
Ур-нил (7), в отличие от (3) или (6), представляют собой систему ур-ний в частных производных; число их равно числу величин <?/.
Примером приложения ур-ний (7) к упруго деформируемой среде может служить задача о продольных вдоль оси х колебаниях призматич. стержня. В этом случае имеется одна обобщ╦нная координата q±~ u(x, t), где и ≈ продольное смещение частиц стержня, и ф-ция LQ, составляемая как разность удельных кинетической и потенциальной энергий, имеет вид.
гдо Е ≈ напряж╦нность электрич. поля, В ≈ маги, индукция, J ≈ плотность тока, р ≈ уд. заряд. При этом значении £0 равенства (7) дают ур-ния Максвелла. Л. у. в виде (Н) сохраняют смысл и при движениях со скоростями, сравнимыми со скоростью света, но при этом в выражение ф-ции £ вместо кинетич. энергии
частицы входит величина ≈ mc^^i≈v2/^. См, также
Лагранжев формализм.
Лит.: 1} Л а г р а н ж Ж., Аналитическая механика, пер. с франц., 2 изд., т. 1≈2, М.≈ Л., 1950; 2) Жуковский Н. Е., Теоретическая механика, 2 изд., М.≈ Л., 1952; 3) Суслов Г. К., Теоретическая механика, 3 изд., М.≈-Л., 1946: 4) Лойцянский Л, Г., Л у р ь о А. И., Курс теоретической механики, 6 изд., т. 2, М., 1983; 5} Ландау Л, Д., Лифшиц Е. М., Механика, 4 изд., М., 1988, гл. 1; 6) Г и л д с т е и л Г., Классическая механика, пер. с англ., 2'иад., М., Ш:>, гл. 1, 2, 11. С. М. Торг.
ЛАГРАНЖА ФУНКЦИЯ (кинетический потенциал) ≈
характеристич. функция L (g/, qt-, t] механич. системы, выраженная череп обобщ╦нные координаты д,-, обобщ╦нные скорости q,- и время t. В простейшем случае консервативной системы Л. ф. равна разности между кинетической Т и потенциальной П энергиями системы,
выраженными через gt и д/, т. е. L= Т (<?/, д,-, () ≈ П (д,), Зная Л. ф., можно с помощью наименьшего действия принципа составить дифференциальные ур-ния движения механич. системы. Понятие о Л.ф. распространяется и на др. физ. системы (см. Лагранжиан, Лаг-ранжа уравнения механики 2-го рода, Лагранжев формализм).
ЛАГРАНЖА ≈ ДИРИХЛЕ ТЕОРЕМА ≈ устанавливает достаточное условие устойчивости равновесия консервативной механич. системы. Согласно Л.≈ Д, т., консервативная мехацич. система находится в положении устойчивого равновесия, если потенц. энергия системы в этом положении имеет строгий минимум. В частности, из Л.≈ Д. т. следует, что положение равновесия мехаиич. системы в однородном поле тяжести будет устойчивым* когда центр тяжести системы занимает наинизшее положение.
ЛАГРАНЖЕВ ФОРМАЛИЗМ ≈ основанная на вариационном принципе формулировка механики и теории поля, в к-рой состояние системы зада╦тся обобщ╦нными координатами д(- и их производными по времени ≈
*
обобщ╦нными скоростями qi (см. Вариационные принципы механики). Исходным, для Л. ф. являются фун-дам. понятия действия S и его полной производной по времени, взятой вдоль траектории системы,≈ Лагран-
*.
жа функции L(t)\ при этом S= \ L(t) dt. Для меха-it
нич. системы с конечным числом степеней свободы (напр., для системы материальных точек) обычно принимают, что ф-ция Лагранжа зависит от д, и. д,:
где р ≈ плотность среды, Е ≈ модуль упругости при растяжении. Подстановка этого значения L0 в (7) да╦т ур-ние продольных упругих колебаний:
&ги Е J^_n dt2 р дх* ~
Др. примером может служить эл.-ыагн. поле в вакууме, для к-рого в качестве четыр╦х обобщ╦нных коор-
(где з, q ≈ совокупность q , £;). Существуют и обобщения Л. ф. на случаи, когда L зависит- от высших производных q . Для систем с бесконечным1 числом степеней свободы ≈ физ. полей ≈ роль обобщ╦нных координат играют значения компонент поля фя(з?) во всех пространств, точках.-». Зависимость L от всех фа(:с) означает, что L является функционалом. Для физики наиб, интересны локальные функционалы, для к-рых вторая вариац. производная б2///5фа (дз)6<р6 (ж') отлична от нуля лишь при ас=оо'. Тогда ф-ция Лагранжа
может быть представлена в виде L(f)= \«Sf (ж, t)
J
о. <
а
543
