|
|
ний в будущем по нач. данным (нач. условиям), заданным на нек-рой аространственноподобной тр╦хмерной поверхности (частичной поверхности К о ш и). Термин «К. г.» был введ╦н в 1966 Р. Пенроу-зом (R. Penrose) и С. Хокингом (S. Hawking) при исследовании задачи Коши (т. е, задачи определения значении физ. полей, включая гравитационное, по нач. данным на поверхности Коши) в общей теории относительности. За К. г. однозначные предсказания ни в классической, ни в квантовой теории невозможны, поскольку часть необходимой информации может приходить туда из др. областей пространства, не пересекающихся с нач. частичной поверхностью Коши. К. г. представляет собой тр╦хмерную поверхность с нулевым геодезнч. интервалом, т. е. он образован траекториями световых лучей. В Минковского пространстве-времени существование К, г. вызвано только тем, что частичная поверхность Коши, по отношению к к-рой он определ╦н, имеет край (иначе говоря, нач. условия заданы не во вс╦м пространстве). Для максимально расширенной поверхности Коши в пространстве-времени Минковского, примером к-рой является тр╦хмерная поверхность 2 ≈const в инерциалъной системе отсч╦та, К. г. отсутствует и область причинной предсказуемости совпадает со всем пространством-временем. В этом случао поверхность Коши паз. глобальной.
Принципиально иная ситуация с К. г. имеет место в общей теории относительности (ОТО) ввиду того, что пространство-время в этой теории может обладать сложной тоиологич. структурой. В решениях ОТО К. г. могут сохраняться даже при макс, непрерывном расширении любой частичной поверхности Коши. Такие К. г, являются уже свойством пространства-времени в целом. Их существование однозначно связано с отсутствием глобальной причинной предсказуемости. Обычно, говоря о К. г. в каком-нибудь искривл╦нном пространстве-врсмОЕги, имеют в виду именно эти К. г. В частности, решения ОТО, описывающие идеализированные вращающиеся или электрически заряженные ч╦рные,дыры, обладают К. г., определ╦нным по отношению ко всему тр╦хмерному асимптотически евклидову пространству, в к-ром находится ч╦рная дыра; при этом К. г. всегда находится под горизонтом событий ч╦рной дыры и, т. о., не виден внеш. наблюдателю. Для этих решений нельзя также построить глобальную поверхность Коши.
С принципиальной точки зрения существование К. г. даже для максимально расширенных частичных поверхностей Коши и отсутствие глобальной причинной предсказуемости для нек-рых решении ОТО ≈ нежелат. свойство. Однако теоретич. исследования (Р. Пенроуз, И. Д. Новиков и А. А. Старобинский и др.) показали, что К. г. внутри идеализированных (стационарных) вращающихся или заряж. ч╦рных дыр неустойчив как но отношению к малым нестационарным гравитац. возмущениям, так и вследствие квантового эффекта рождения пар элементарных частиц гравитац. или электрич. полем ч╦рной дыры (см. Квантовая теория гравитации). Поэтому можно полагать, что внутри реальных ч╦рных дыр, возникающих в результате коллапса первоначально регулярного распределения вещества, К. г. не образуется и имеет место глобальная причинная предсказуемость. А, Л. Старобинский. КОШИ ЗАДАЧА ≈ задача о нахождении решения дифференц, ур-ния {обыкновенного или в частных производных), удовлетворяющего нач. условиям. Рассмотрена в 1823≈24 О. Коши {A. Cauchy).
Примером К. з. может служить осн. задача механики, когда по известным нач. положениям и скоростям частиц требуется при известном законе взаимодействия между ними определить движение частиц во времени.
Поскольку ур-ния матем. физики, для к-рых ставится К. з., описывают реальные процессы, то естественно потребовать: существования решения в определ. классе ф-ций; его единственности; непрерывной зависимости решения от нач. данных. Даже в случае простейшей
К. з. dy/dx=f(x, у), */(^о)"=Уо> ГД° /(я, У] ≈ заданная ф-ция, выполнение этих требований накладывает ограничения на вид ф-ции f(x, у].
Аналогично ставится К. з. для систем обыкновенных дифференц. ур-ний; при этом у(х) и f(x, у] ≈ вектор-функции в к.-л. векторном пространстве. Поскольку обыкновенное дифференц, ур-нпе порядка п сводится к системе ур-ний первого порядка, К. з. для пего фиксирует нач. значения для производных искомой ф-цпи вплоть до я ≈ 1 порядка.
Для дифференц, ур-ний в частных производных в (я-}-1)-мерном пространстве-времени К. з. фиксирует нач. значения ф-ции (и е╦ k ≈ 1 производных, если k ≈ порядок ур-ния по времени) на «-мерной поверхности.
- дх
IT д*и Напр., для волнового уравнения
^ *" j
ние К. з. с нач. данными: и(х, ≈ jtfz), где ср(#), л(ж) ≈ достаточно гладкие ф-ции, да╦тся при п=1, 2, 3 Д'Ала.мбера формулой, Пуассона формулой и Кирхгофа формулой. При этом ренге-ние непрерывно зависит от ф-цпп гр и л. Для ур-ния ь частных производных требуется, чтобы К. з. была корректно поставлена. Напр., для волнового уравнении К. з. корректно поставлена в случае, если нач. данные заданы либо па гиперплоскости г≈ 0, либо на любой пространственноподобной поверхности, для к-poii
Лит--1 Петровский И. Г., Лекции об уравнениях о частными производными, 3 изд., М., 1 961 ; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, 5 над., М., 1988; Арнольд В, И., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 3 изд., М., 1984; Б и ц а д з е А. В.> Ураин^ншг математической физики, 2 изд., М., 1982. С, В. Молой-щж.
КОШИ ИНТЕГРАЛ ≈ интегральная ф-ла, выражающая значение аналитической функции f(z) в точке, лежащей внутри замкнутого контура у, не содержащего внутри себя особенностей / (з), через е╦ значения на этом контуре:
=* Г -
2лг J |-
где интегрирование производится против часовой стрелки. Если точка 2 лежит вне контура ут то
∙^6=0.
£~г
К. и. впервые рассмотрел О. Коши в 1831.
Если у ≈ произвольный гладкий контур (замкнутый или незамкнутый), а и?(£) ≈ комплекснозначная ф-ция,. заданная на у, то выражение
i
паз. интегралом типа Копш. Интеграл типа Копти определяет ф-цию, аналитическую вне контура у (если у замкнут, то фактически он определяет две аналитич. ф-ции ≈ вне и внутри него). В случае, когда ю(|) ≈ гладкая ф-ция, предельное значение интеграла типа Коши в точке 20 на контуре у, взятой слева от него (по отношению к направлению интегрирования), равно
1 ∙∙∙ М
2гп
ц? (Е)
l-zo
где Р ≈ символ гл. значения интеграла. значение справа в той же точке равно ≈ ≈
Предельное
Разность этих граничных значений равна
X
значению ф-ции и>(£) в точке гв.
Для того, чтобы предельные значения интеграла типа Коши, взятые со стороны области, ограниченной замкнутым контуром у, совпадали, с ф-дией H?(£)I т. е. для того, чтобы интеграл типа Коши был К. п., необходимо
i
о
48J
31
