473
оределение материи можно считать однородным, а все направления во Вселенной равноправными. Б фридма-вовских космологич. моделях, основывающихся на этих фактах, материя рассматривается как непрерывная среда, равномерно заполняющая пространство и в каждый момент времени имеющая определ. значения плотности р и давления Р. Для анализа движения этой среды обычно используют сопутствующую систему отсч╦та, аналогичную лагранжевым координатам в классич. гидродинамике, В этой системе вещество неподвижно, деформацию вещества отражает деформация системы отсч╦та, так что задача сводится к описанию деформации системы отсч╦та.
Тр╦хмерное пространство сопутствующей системы отсч╦та наз. сопутствующим простраи-с т в о м. В случае однородного изотропного пространства квадрат элемента длины dl может быть записан в виде
(1)
а квадрат четыр╦хмерного интервала ds ≈ в виде
(2)
Здесь t ≈ время, х, у, z ≈ безразмерные пространственные координаты, R ≈ радиус кривизны пространства (он не зависит от пространственных координат), с ≈ скорость света, коэф. k может принимать значения От ±1. При k=0 пространство евклидово, при Лг≈ + 1 пространство имеет положительную кривизну, при А= ≈ 1 ≈ отрицательную. [В случае fe~0, R ≈ произвольный масштабный множитель (масштабный фактор}*] Изменение R с течением времени описывает расширение или сжатие сопутствующей системы отсч╦та, а значит, и вещества.
Для решения задачи о деформации системы отсч╦та оста╦тся найти единств, неизвестную ф-цию R(t). Ур-ним ОТО в рассматриваемом случае сводятся к след, двум ур-ниям для R(t):
ft 4лС / , ЗР\ . AC* >ov
цов, Л (0 вновь обращается в нуль. Знак k определяется знаком разности р≈ЗЯ2/8л6 [см. ур-ние (4) при Л ≈0], Величина pc=3Hz/8nG наз. критической плотностью Вселенной. Если р<рс, то /:<Ч) и R (t) неограниченно нарастает, что означает неогранич. расширение системы отсч╦та и вещества. В этом случае силы тяготения слишком слабы, чтобы затормозить и остановить расширение Вселенной. При этом плотность р меняется от р=со при t~0 до р->0 при £->-GQ. Если р>рс, то, &>0, силы тяготения достаточно велики и расширение Вселенной через пек-рое время должно смениться сжатием. Плотность р сначала падает от бесконечно большого (при £≈0) до кек-рого мин. значения; затем снова возрастает до бесконечности. Состояния с р=оо, R ≈ 0 получили назв. с и н-г у л л р и о с т е и. Случай /с=0 является промежуточным, при этом значении k расширение происходит
Зависимость R~R (t) для однородной изотропной Вселенной с Л ≈0. При р>Р,, расширение
Вселенной сменяется сжатием, при р<рс Вселенная неограниченно расширяется; tn ≈ современная Вселенная.
2
Здесь точка над R обозначает дифференцирование DO ;, Л≈ космологическая постоянная, описывающая гравитацию вакуума. Величина RJR определяет скорость относит, изменения линейных масштабов в системе
отсч╦та, она обозначается R/R≈H и наз. постоянной Хаббла (поскольку Я зависит от времени, е╦ правильнее называть параметром Хаббла). Ур-ния (3), (4) определяют зависимость R от t и из них следует выражение
= 0. (5)
Ур-ние (3) описывает замедление темпа расширения Вселенной под действием тяготения. При этом учитывается, что в ОТО тяготение созда╦тся также и давлением вещества. Поскольку в однородной Вселенной нет градиентов давления, в ней нет и гидродина-лич. сил, определяемых перепадом давления и могущих влиять на движение вещества. Давление проявляется только в гравитации. Для решения ур-ний (3), (4) надо знать зависимость между р и Р (уравнение состояния вещества). На разных этапах эволюции Вселенной Эта зависимость различна.
В совр. Вселенной космологич. постоянная Л равна, по-видимому, нулю или очень мала, и ею в ур-ниях ^3) и (4) можно пренебречь. Для случая Л=0 и обыч-бых для вещества ур-ний состояния Р=Р(р) ф-ция И (t) имеет вид, показанный на рисунке. График R (t) всегда начинается с нуля (по определению Л(()^0). Если fcs^G, то при £-»-со ф-ция R (t) неограниченно возрастает. Если же fc>G, то возрастание R(t) в определ. момент сменяется уменьшением и, в конце кон-
неограниченно (рис.). Знак разности р≈рс неизменен в ходе эволюции модели, хотя р и рс меняются со временем. (О моделях с Л^=0 см. в ст. Космологические модели.} Пространства космологич. моделей в зависимости от значения k имеют разл. геом. свойства.
При /с=0 пространство евклидово, его объ╦м бесконечен в любой момент времени. При А<0 пространство обладает постоянной отрицат. кривизной, геометрия его неевклидова и оно также имеет бесконечный объ╦м. Модели, в к-рых пространства бесконечны, наз. открытыми. Если же &>0, то в такой модели пространство имеет постоянную положит, кривизну, оно не ограничено, но имеет конечный объ╦м У≈2я*Йэ(0. Такие модели наз. закрыты-м п или замкнутыми.
Здесь рассмотрены только пространства с простейшими топологич. свойствами. В принципе топология может быть более сложной, она не определяется полностью ур-нйями ОТО и должна задаваться дополнительно.
Ур-ния для R(t)≈дифференц. ур-ния второго порядка, поэтому, чтобы найти ф-цию R (t} и определить т. о. космологич. модель, необходимо при нек-ром t знать (задать) значения двух констант (в случае А=0). Напр., для сегодняшнего момента t≈/0 задать значение плотности р(*0)=р0 и постоянной Хаббла ff(t0)^ffn. Обычно вместо р(> используют безразмерную величину & ≈ Ро/Рг- Для определения модели, соответствующей реальной Вселенной, эти величины (параметры модели) надо найти из наблюдений.
3. Наблюдательная космология
Определение значений Я0 и р0 является одной из осн. задач наблюдательной К. начиная с е╦ зарождения в кон. 20-х гг. 20 в. В однородной нестационарной (расширяющейся) Вселенной все объекты, слабо связанные силами тяготения (галактики и особенно скопления галактик), должны удаляться друг от друга со скоростью, пропорциональной расстоянию между ними. В 1929 Э. Хаббл установил, что дал╦кие галактики удаляются от нашей Галактики со скоростями i?, пропорциональными расстоянию /:
о =-- я0г, (6)
Сложность определения Яп из астр, наблюдений связана гл. обр. С трудностями измерения больших расстояний. Скорость удаления галактик измерить го-
о о
и о
477
