|
|
рнмеры. 1) Дробно-линейное преобразование /(г) ≈ (az-\-b}/(cz-\-d)> ad≈bc^Q конформно отображает расширенную комплексную плоскость С на себя. При этом всякая окружность переходит снова в окружность (считается, что прямая есть окружность бесконечного радиуса, проходящая через бесконечно удал╦нную точку). Тем самым дробно-ли-пенное преобразование конформно отображает внутренность любого круга на внутренность или внешность нек-рого другого круга. Точки z и z* наз. сопряженными к окружности Г, не являющейся прямой, если они лежат на одном луче, исходящем из центра окружности, и произведение их расстояний от центра равно квадрату радиуса. Если Г ≈ прямая, то точки z и
г наз. сопряж╦нными, если одна из них переходит в другую при отражении относительно Г. Всякое дробно-линейное преобразование переводит точки z и з*, сопряж╦нные относительно Г, в точки / (z) и /(г*), сопряж╦нные относительно /(Г). Последнее свойство весьма полезно при выборе конкретных дробно-линейных преобразований,
2) Степенная функция /(z}=za, где а. ≈ положительное число, конформно отображает сектор (р3 <arg 2<ф2 в сектор аф! <arg 2<а<р2, если ≈ л;-^ф1<ф2^л и а(ф2≈ ф!)^2я. При нарушении последнего неравенства ф-ция /(z) переста╦т быть однолистной в секторе
3) Показательная ф-ция f(z)=ez конформно отображает полосу 0<Im 2<2л в единичный круг с разрезом вдоль вещественной положит, полуоси. При этом прямая Im z=<p переходит в луч arg z=q>.
4) Функция Жуковского /(з)=]/2(г+ + 1/г) конформно отображает внешность единичного круга на внешность отрезка [ ≈ 1, 1] вещественной оси. При этом окружность Ы ≈ г переходит в эллипс с полуосями ^ (г-J-l/r) и lji(r≈\lr} и с фокусами в точках ±1.
5) Формула Кристоффеля≈ Шварца да╦т интегральное представление ф-ции /(г), отображающей верх, полуплоскость Im z>0 на внутренность многоугольника с вершинами А& и углами при вершинах л«й (A = l, 2t . . ., п):
п
где С,
числа, Im
454
fc-1
≈v
Ci ≈ комплексные постоянные, а^ ≈ действат.
afl^=f^i(Aff), (t≈аь) k ≈ однозначные при ветви ф-ций, положительные при г>ял; 20<а1, и точка /(z0)=C'1 лежит на отрезке АпАг. Тройку чисел из я/с можно задавать произвольно, остальные постоянные определяются однозначно. Эта ф-ла справедлива и для многоугольников, у к-рых одна или неск.
вершин лежат в бесконечно удал╦нной точке.
Лит. см. при ст. Аналитическая функция.
Б. U. Завьялов,
КОНФУЗОР (от лат. confundo ≈ вливаю) ≈ участок проточного канала в виде суживающейся трубы обычно круглого или прямоугольного сечения. В случае, когда в К. поступает поток жидкости или газа со скоростью, меньшей местной скорости звука, давление при переходе от широкого входного к узкому выходному сечению падает, а скорость и, следовательно, ки-нетич. энергия потока возрастают, т. е. течение имеет характер, обратный течению в диффузоре. При дозвуковых скоростях течения К.≈ то же, что сопло. Если скорость течения на входе в К. превышает местную скорость звука, в К. происходит торможение потока, к-рое может приводить к образованию ударных волн.,
КОНЦЕНТРАТОР акустический ≈ устройство для увеличения интенсивности УЗ (амплитуды колебат. смещения частиц). По принципу действия различны два типа К.; фокусирующие, или высокочастотные, и стержневые, или низкочастотные.
Фокусирующие К. увеличивают интенсивность звука в нек-рой части пространства по сравнению с интенсивностью у поверхности УЗ-излучателя, Действие их основано на фокусировке звука, поэтому в них могут быть применены любые фокусирующие устройства ≈ линзы акустические^ рефлекторы и др.
Наиб, распространены К., в к-рых использованы фокусирующие эл.-акустич. преобразователи. По форме такие преобразователи представляют собой часть сфе-рич. или цилиндрич. оболочки, иногда ≈ полый цилиндр, работающие на резонансной частоте колебаний по толщине, составляющей от неск, сотен кГц до неск. МГц. Применяются также цилиндрич. К,, работающие в диапазоне частот от единиц до десятков кГц на резонансной частоте радиальных колебаний. Интенсивность звука в фокальной области фокусирующих преобразователей сферич. формы достигает неск. кВт/см2. Излучатели цилиндрич. формы создают меньшую концентрацию энергии, однако имеют большую фокальную область, вытянутую вдоль оси.
Стержневой К. служит для увеличения амплитуды колебат. смещения частиц {колебат. скорости частиц) в низкочастотном УЗ-днапазопе; представляет собой тв╦рдый сгержень персм. сечения или перем. плотности, присоединяемый к излучателю более широким концом или частью с большей плотностью материала. Увеличение амплитуды смещения тем больше, чем больше различие диаметров или плотностей противоположных торцов стержня. Такие К. применяются в УЗ-технологии и являются составной частью колебат. УЗ-систем, работающих *в диапазоне частот от 18 до 100 кГц. Стержневой К. можно рассматривать как акустич. волновод, в к-ром распространяется одна нулевая мода колебаний, характеризуемая пост, амплитудой по сечению. Макс, линейный размер широкого конца концентратора D должен быть меньше Я/2 (где /, ≈ длина волны в материале концентратора). Работают К. обычно на резонансной частоте, поэтому длина концентратора I должна быть резонансной, т. е. кратва целому числу полуволн: Z≈гсХ/2, где и = 1, 2, 3, ... При заданной частоте А. зависит от формы К. вследствие дисперсии, звука в волноводах с порем, сечением.
К. с перем. плотностью обычно изготавливают в виде двух соедин╦нных между собой стержней из разных материалов длиной Х/4 с одинаковым поперечным сечением.
К. классифицируют по форме продольного сечения (рис. 1), по форме поперечного сечения (круглый, кли-
а о в г ' о
Рис. i. Сечения круглых простых одноступенчатых концентраторов продольных колебаний: а ≈ ступенчатый, б ≈ конический, е ≈ экспоненциальный, г ≈ натеноидальный, д ≈ гауссов (ампульный); кривые показывают распределение амплитуды ноле ват иль но и скорости v и деформации и по длине концентратора.
нообразный и др.К по кол-ву элементов с разл. профилем продольного сечения (простой, составной ≈ рис. 2), по форме ср. линии (прямолинейный, из'огнутый), по типу колебаний К. (продольные, сдвиговые, крутильные). ,
Коэф. усиления стержневого К. К≈|j/to> гДе %>i и ≈ амплитуды смещения соответственно на его узком и широком концах. При гармонич. колебаниях с круговой частотой к> амплитуда колебат, скорости
