440
^≥^
i
о
I
для инвариантного заряда и определяющий масштаб импульсов существенного его изменения.
Фермиевская константа слабого взаимодействия определяется из четыре хт очечной вершины ц+ -
+vu и равна G/r^l,16632(4) -10- 5 ГэВ2. При импульсах порядка Mw/c, где М\%г ≈ масса промежуточного
векторного бозона, вершина ц -> evv существенно зависит от импульсов и должна быть выражена через MW и константы электрослабого взаимодействия. Две безразмерные К. в. в теории элсктрослабого взаимодействия определяются через вершины с участием заряженных токов и нейтральных токов и слабо зависят от импульсов. В простейшей схеме взаимодействия (с одним мультиплотом Хиггса бозонов) они выражаются через К, в. ос и Вайнберга угол 6^. При этом Gp^
=n,aL/Vr2Mw&n2dw, где зт20^^0,228(10).
М. В. Терепгпъев.
КОНСТРУКТИВНАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПбЛЯ
(ККТП) ≈ направление квантовой теории поля (КТП), осн. задача к-рого состоит в строгом матем. обосновании результатов, получаемых в КТП. В отличие от аксиоматической квантовой теории поля (АКТП), ККТП призвана ответить на вопрос, существуют ли в матем. смысле нетривиальные квантованные поля для обычно рассматриваемых взаимодействий и удовлетворяют ли они осп. аксиомам КТП и АКТП. В задачу ККТП входит реальное построение таких нолей, изучение матем. свойств и разл. квантовополевых объектов^ связанных с этими полями, и выяснение физ. содержания рассматриваемой конкретной модели КТП.
ККТП как самостоятельный раздел КТП возникла в нач. 60-х гг. и связана с именем А. С. Уайтмсна (A. S. Wightman), к-рый сформулировал ее осн. задачу. Вторым этапом развития ККТП можно считать 2-ю пол. 60-х≈ нач. 70-х гг. [Дж. Глимм (J. Glimm), А. Джаффе (A. Jaffe) и др.], когда было доказано существование квантованных нолей в простейших супер-перенормирусмых взаимодействиях (см. Перенормировки) в пространстве размерности d ≈ 2. Третий этап начался в 70-х гг. и связан с применением методов евклидовой теории поля (см. Евклидова квантовая теория поля). Осн. теоремы евклидовой КТП были доказаны К. Остервальдером (К. Osterwalder) и Р. Шрадером (R. Schrader). В нач. 80-х гг. направление ККТП испытывает кризис, поскольку методы, развитые в пространстве d=2, с большим трудом переносятся в пространство d==3 инеясно, что можно сделать в четыр╦хмерном пространстве-времени (е?≈4).
На первом этапе осн. объектом изучения ККТП являлся бесконечный набор Уайтмена функций {Wn(xii . . ., хп)}, где X!, . . ., хп (п≈1, 2, 3, , . .) ≈ точки пространства-времени t,; sc; (используется система единиц, в к-рой jt=£=l). Задание этих ф-цип эквивалентно знавию квантованных полей в смысле АКТП (т. н. теорема реконструкции Уайтмена). Ф-ции Уайтмена, вообще говоря, можно было бы вычислить как вакуумные средние от произведения полей. Напр., в простейшем случае однокомпонентного скалярного поля q>(z)
где гейзенбергово поло ф(ж) (см. Гейзенберга представление) определяется соотношением
<р (#) = (£(£, а?) =ехр {iHt} ф (aj) ехр {≈iHt}, (2)
Здесь ф(з>) «нач.» поле, т. е. значение поля <р(г, х) в точке пространства ж в момент времени (=0, а
Н = Н 1ф] ≈ Яд [ф]+#Я/ [ф]≈ (3)
прямое вычисление по ф-ле (1) невозможным. Поэтому доказательство существования ф-ций Уайтмена (1) строится след, образом. В гамильтониан взаимодействия (3) вводится объ╦мное (Л) и УФ- (а) «обрезания», так что регулярияованный гамильтониан ЯДа[ф] (см.
Регуляризация расходимостей} становится хорошо определенным эрмитовым оператором, а для него существует регул яризов. набор ф-ций Уайтмена \Wn (-|Л, а)}, где точка обозначает набор пространственно-временных переменных. Далее к регуляризов. гамильтониану добавляются т. н. контрчлены, структура к-рых предсказывается теорией возмущений и к-рые призваны сократить возникающие расходимости в пределе снятия обрезания. Задачей ККТП является, во-первых» доказательство существования конечного предела
lim lim WrtHA, a) = Wn(.) (4)
О -*∙ Co Л ≈ > CO
при определ╦нном выборе контрчленов и, во-вторых, доказательство того, что полученные предельные ф-ции
удовлетворяют всем требованиям АКТП, Матем. трудности при непосредств. реализации этой программы определяются сложностью операторной структуры вводимых контрчлепов, что, в свою очередь, диктуется конкретным видом рассматриваемой квантовополевой модели. Наиб, простые контрчлецы возникают в т. н. суперперенормируемых теориях, т. е. в теориях, где число расходящихся Фейнмана диаграмм коцечно. Именно по этой причине первые ыетривиалъг-н ые примеры построения релятивистских локальных квантованных полей были получены в суперперенор-мируемых моделях, характеризуемых плотностями га-
мильтониана взаимодействия фз, Рп(ф)8, ^ДОфа» гДе верхний индекс ≈ степень взаимодействия, а нижний ≈ размерность пространства-времени d≈ 2, Рп ≈ полином степени п, -ф ≈ спинор ное Дирака поле (черта надх|) означает дираковское сопряжение). Проведение сформулированной выше программы даже в этих простейших случанх потребовало создания матем. техники операторных оценок специально для изучаемых моделей. Дальнейшее развитие ККТП связано с переходом к евклидову пространству и применением методов евклидовой теории поля. В АКТП было доказано, что ф-ции Уайтмена Wn(t^ x\_\ . . .; £└, зсп) являются граничными
значениями аналитических функций Fn{z^ &^\ , , .; zn> zn), в область аналитичности к-рых попадают также евклидовы 4-точки г^ такие, что Z° = IT^T Zk^
«мнимое время». Значения ф-ций Fn(zlf . . ., zn) па множестве евклидовых точек наз, ф - ц и я м и Ш в и н г е р а (£п)[введены Ю. Швингером (J. Schwin-ger) в 19511,
гамильтониан системы, представленный в виде суммы гамильтониана Я0, описывающего невзаимодействующую систему, и гамильтониана взаимодействия gHh где g ≈ константа связи (квадратные скобки означают функциональную зависимость от поля ty(x)).
Однако наличие расходимостей ≈ объ╦мных (см. 444 Хаага теорема), УФ- и, возможно, других ≈ делает
Остервальдер и Шрадср (1975) нашли необходимые Е достаточные условия (О. III.), при выполнении к-рых была доказана эквивалентиость теорий, построенных иа ф-циях Wn и Sn.
Изучение ф-ций Швингера более удобно по след, причинам. Во-псрьых, к решению проблем теории поля привлекаются хорошо разработанные теоретико-вероятностные методы, поскольку ф-ции Швингера можно отождествить со средними от произведения случайных процессов (евклидовых полей):
SH(TI, a?i; , ..; т└, хп)^Е [Ф (Ть х1)...Ф(т«, ж└)1-
Здесь Е[Ф] ≈ среднее от нек-рой случайной величины Ф, заданной на нек-ром вероятностном пространстве. Было выяснено, что величина Ф(-) должна быть евк-лидово-ковариантным марковским случайным полем (см. Марковские случайные процессы), удовлетворяющим определ╦нным дополнит, требованиям, и доказано, что эти требования эквивалентны условиям О, Ш. Во-вторык, переход к евклидовым вероятностным мерам позволил при исследовании проблем, связанных со
