|
|
газы, газовые смеси и плазма, однако теория плазмы выделилась в самостоят, область.
Молекулы в газах движутся почти свободно в промежутках между столкновениями, приводящими к резкому изменению их скоростей. Время столкновения значительно меньше ср. времени пробега молекул газа между столкновениями, поэтому теория неравновесных процессов в газах значительно проще, чем в жидкостях или твердых телах. Наблюдаемые физ, характеристики газа представляют собой результат усредн╦нного движения всех его молекул. Для вычисления этих характеристик нужно знать распределение молекул газа по скоростям и пространств, координатам, т. е. знать ф-цию распределения f(v, r, t). Произведение f(v, г, t)dvdr определяет вероятное число молекул, находящихся в момент времени t в элементе объ╦ма dr=dxdydz около точки г и обладающих скоростями в пределах dv~ ≈di\-du,fdvz вблизи значения v. Плотность п частиц
газа в точке г в момент t равна n(r, t)≈ \/(r, r, t)dv.
Осн. задача К. т. г.≈ определение явного вида ф-ции /(г», г, t), поскольку она позволяет вычислить ср. значения величин, определяющих состояние газа, и процессы переноса энергии, импульса и концентрации частиц, к-рые могут в нем происходить. Напри-
мер, У ≈я~1 \и/(г', Г, t)dv ≈ средняя скорость молекул газа, a v2=n~1\j^f(vr r, t)dv≈ средний квадрат
их скорости.
Для газа, подчиняющегося классич. механике, в состоянии статистич. равновесия ф-ция / представляет
собой Максвелла распределение:
exp (≈
Т ≈ абс.
CD
В этом
где т ≈ масса молекулы, ≈ ас. темп-pa.
случае &=3kT/m4 у=(8£Г/лт)1/в.
Процессы переноса энергии, импульса и концентрации молекул в смесях происходят гл. обр. благодаря парным столкновениям молекул. Вероятное число dv парных столкновений молекул со екоростями в пределах Ащ и dvz около значений скоростей щ и г»2 в единицу времени равно:
0
, г, 01
(2)
где о ≈ дифференц. эфф. сечение рассеяния молекул в телесный угол dQ в лаб. системе координат, зависящее от модуля их относит, скорости \Vi ≈ vz\ и угла 9 между относит, скоростью и линией, соединяющей центры молекул в момент их наиб, сближения. Для модели молекул в виде упругих сфер о≈ d2 cos0, где d ≈ диаметр молекул. Выражение (2) для числа столкновений основано на «гипотезе молекулярного хаоса», т. е. на предположении об отсутствии корреляции между скоростями сталкивающихся молекул, что справедливо для газов малой плотности.
Большую роль в К. т. г. играет ср. длина свободного пробега молекул /, т. е. расстояние, к-рое прошла бы молекула за ср. время между столкновениями, двигаясь
со ср. скоростью v, / ≈ P/V, где v=n~pl\dv. Можно также
определить I как ср. расстояние между двумя последо-ват. столкновениями. В этом случае сначала вычисляют длину пробега с данной скоростью, а затем е╦ усредняют по скоростям. Для газа с молекулами в виде упругих
сфер по 1-му определению I=i/d^nn'^r2t а по 2-му
Элементарная теория явлений переноса основана на
понятии ср. длины свободного пробега и позволяет оценить по порядку величины все кинетические коэффициенты. Рассматривая перенос импульса, энергии, концентрации компонентов через единичную площадку в газе, можно соответственно получить значения коэф.
вязкости |л, теплопроводности X и взаимной диффузии /)12двух компонентов газовой смеси:
u, = opi;Z/2, X ≈fl'j
где Су ≈ тепло╦мкость при пост, объ╦ме, р~ плотность газа, я, а', л1( а2 ≈ численные коэф. ~1. Последоват. К. т. г. основана на решении кинетического уравнения Болъцмана для ф-ции /, к-рое следует из баланса числа молекул в элементе фазового объ╦ма dvdr с уч╦том (2):
=55
т
Г, О /К* Г, t) ≈ f(Vt Г, t)f(vlt Г, ()}Х
Х| i>i ≈ v \odUdv!, (3) где F ≈ сила, действующая на молекулу с массой т,
V, t?i ≈ скорости молекул до столкновения» v' , fj ≈ скорости молекул после столкновения; правая часть (3) наз. интегралом столкновений.
С помощью ур-ния (3) можно решить все оси, задачи К. т. г., т, с. получить ур-ния переноса импульса, энергии и концентрации компонентов смеси (ур-ния Навьс ≈ Стокса, ур-ния теплопроводности и диффузии) и вычислить входящие в них кинетич. коэф, ^, л, DH,-
Из ур-ния (3) следует Больцмана Н-теорема, соглас-
но к-рой dH/dt^Q, где Н= \ \ / In fdvdr ≈ Я-функция
Больцмана. Для распределения Максвелла dH/dt=$* //-функция Больцмана пропорц. энтропии, S ≈ ≈ kff, следовательно, убывание Я означает возрастание энтропии.
При решении кинетич. ур-ния исходят из опредсл. модельных представлений о взаимодействии молекул. В простейшей модели ж╦стких упругих молекул при столкновении не происходит передачи момента импульса и изменения эфф. размера молекул. Более реалистична модель, в к-рой молекулы рассматривают как центры сил с потенциалом ^{/4≈ Г2). Дифференц. эфф. сечение в (3) выражают через параметры столкновения классич. механики: adQ~bdbd£ (b ≈ прицельное расстояние, е ≈ азимутальный угол линии центров). Для ф(г) берут обычно ф-ции простого вида, напр. ср(г) ≈ ≈ (d/r}P (p ≈ показатель отталкивания). Эта модель допускает сжимаемость молекулы. Для большинства реал ьных газов р принимает значения между р ≈ 9 (мягкие молекулы) и р ≈ 15 {ж╦сткие молекулы). В частном случае р≈ 4 (максвелловские молекулы) решение кинетич. ур-ния сильно упрощается, т. к. можно найти собств. ф-ции линеаризованного интеграла столкновений, и первое приближение для коэф. переноса совпадает с точным значением. Для уч╦та эффектов притяжения и отталкивания используют модель, в к-рой отталкивание описывается потенциалом тв╦рдых сфер, а притяжение ≈ степенным законом. Довольно реалис-тич. форму имеет потенциал Ленард-Джонса
Поскольку в ур-ние (3) взаимодействие входит только через эфф. сечение рассеяният часто берут для него выражение, полученное в квантовой механике.
Для решения ур-ния (3) разработаны разл. методы, напр, метод Чепмена ≈ Энскога, основанный на получении решений, зависящих от времени лишь через ср. плотность частиц п(г, О* СР- гидродинами*, скорость ft (r, t) и темп-ру Т (r, t)t т. е. пять первых моментов ф-ции /. Эти решения близки к локально-равновесному распределению Максвелла (1):
/0 = и (г, 0 1
(rf
с ≈ v≈u (г, 0> к-рое обращает Б нуль интеграл столкновений в кинетич.
б
ш
з:
ш
X
359
