|
|
*« дов^
<
о
∙<
довую (ЙрЛц=0) урмитову матрицу 3X3 в цветовом
пространстве [реализует присоедин╦нное представление группы SU(3)c]t а / ≈ единичная матрица в этом же пространстве.
Тензор напряж╦нности глюонного поля G строит-
г* *
ся аналогично электродинамике, по с помощью кова-риаитной производной (1):
Bv]. (2)
(скобки [..., ...]_ означают коммутатор), т. е. он нелинейно выражается через потенциалы. Это приводит к нелинейным ур-ниям для глюонных полей (т. н. Я н г а ≈ М и л л с а уравнениям), к-рые можно написать как
-н (х) (3)
(здесь и ниже по дважды встречающемуся индексу
предполагается суммирование); наряду с кварковым источником глюонных полей ≈ плотностью кваркового
тока /v3 ≈ Они содержат плотность глюонного тока 7уЛ ≈ ≈ zg[#..t С,.,.]_. нелинейно зависящую от глюон-
Р* JA v
ных нолей, не имеющую аналога в эл сктродинамике (где компоненты эл.-магн. поля ≈ простые, нематричные ф-ции от х и коммутатор обращается в нуль).
Интегралы Q= \ЛО'о11+/оЛ) образуют матрицу ад-
дитивного цветового заряда. В квантовой теории цветовыми зарядами, характеризующими состояние кварк-глюонной системы, паз. собств. значения двух взаимно коммутирующих операторов этой матрицы. Их числовые величины определяются константой взаимодействия g. Соответствующая ур-ниям движения (3) плотность ф-ции Лагранжа в хромодинамике имеет вид
≈ Sp(G/j.vGMV), (4)
312
где УМ, ≈ Дирака матрицы, Ч/≈[ч?} ≈ кварковое ноле
Дирака аромата /, представляющее собой столбец в цветовом пространстве, а м/ ≈ т. п. токовая масса кварка данного аромата (черта сверху означает дира-
ковское сопряжение),
Матрицы В ( G могут быть разложены по восьми
генераторам группы SU (3} в фундам. представлении
(5)
^де Xj^ ≈ Гелл-Мана матрицы 3X3.
Квантование и диаграммы Фейнмана. Последоват. схемы квантования в КХД пока нет. Обычно используемое квантование кннрковых и глюонных полей проводится во взаимодействия представлении для свободных полей, и в этом отношении: оно формально не отличается от квантования в КОД. Ясно, однако, что такая операция в КХД незаконна из-за отсутствия свободных кварков и глюонов. Она приводит к неустранимым инфракрасным расходи-мостям в теории возмущений. Устранение этого дефекта в аппарате теории и разработка непротиворечивой процедуры квантования, по-видимому, тесно связаны с ненайденным пока решением проблемы удержания цвета.
Др. особенность квантования КХД ≈ более сложный способ исключений нефизич. продольных полей потенциала В при использовании ковариантного условия калибровки Д Д ≈-О, В отличие от КОД, где
\л "Ч
продольная часть поли \\(х)=д А (х] подчиняется
свободному ур-ншо движения (т. е. соответствующие ей «Г|-частицьг» не могут рождаться, если их но было в нач. состоянии), ур-ние для t]-nojicii в КХД оказывается нелинейным и глтоонное поле В может порождать т]-частицы. Для устранения их в нач. и конечном состояниях достаточно наложить на глюоны в этих
состояниях условие поперочности: t]Ha4=^KOH = 0. Однако это не устраняет rj-частицы из вакуумных флуктуации (глюонных петель), что приводит к нарушению условии унитарности.
Способ устранения нефизич. полей результативно сводится к введению дополнит, октета фиктивных скалярных полей Ф (х] ≈ т. н. полей Фаддеева ≈ Попова духов, к-рые удовлетворяют тому же ур-нию, что и Г|-поля, но квантуются по Ферми ≈ Дирака статистике (антикоммутируют). Это приводит к тому, что в соответствии с правилами Фейнмана (см. Фейнмана диаграммы] каждой замкнутой петле духов следует приписывать множитель ≈1. Т. о., на каждую т]-петлю появляется Ф-петля, к-рая е╦ компенсирует. При строгом подходе, т. е. при квантовании функционального интеграла методом, поля духов появляются автоматически как следствие условий калибровки.
Существуют, однако, условия калибровки, при к-рых духи Фаддеева ≈ Попова не появляются. К ним относятся, напр., т. н. аксиальные калибровки п^В^ = $
(или Вп=0) и фоковская калибровка (дг≈х^) B^(x)~Q, где п ≈ произвольный постоянный 4-вектор, х,\ ≈
фиксированная точка пространства-времени. Пропага-тор глюона в этих калибровках оказывается релятивистски неинвариаитцым, т. к. зависит от выбора либо п , либо xf\. Однако в окончат, выражениях для физически измеряемых величин эта зависимость пропадает.
Наиболее существ, отличие диаграмм Фейнмана теории возмущений в КХД (по сравнению с КЭД) ≈ наличие в них (кроме кварк-глюонной вершины; рис. 2, а) тр╦хглюонных, четыр╦хглюонных и дух-глюонных вершин (рис. 2, б, в, г]. Правила Фейнмана позволяют вычислять любые процессы с участием кварков и глюонов. Однако, как и в КЭДТ интегралы по импульсам виртуальных частиц оказываются бесконечными, расходящимися при больших или малых импульсах (ультрафиолетовые расходимости и ИК-расходимости).
ИК-расходимости фактически обходят тем, что при расч╦тах процессов с участием адролов всегда рассмат- «^ к
^
Рис. 2. Вершины диаграмм Фейнмана в КХД. Сплошные линии изображают кварки, спиральные ≈ глюоны, пунктирные ≈ духи Фаддеева ≈ Попова; g ≈ константа вуаимидейстиин.
ривают кварк-глюонные (партонные) подпроцессы (см. ниже), происходящие на малых расстояниях (меньших размера адронов), т, е. к.-л. образом регуляризован-ные {напр., обрезанные) в области малых импульсов (см. Регуляризация расходимостей). Зависимость же сечений подпроцесса от параметра ИК-регуляризации выделяется в виде сомножителей и включается в волновые ф-ции адронов, рассматриваемые как феноменологии. (невычислимые) элементы схемы (свойство факторизации; см. ниже).
Для борьбы с УФ-расходимостями применяются стандартные способы регуляризации и перенормировки в КТП (чаще всего т. н. размерной регуляризации, сохраняющий калибровочную симметрию). Напр., все УФ-расходимости в глюонном пропагаторе типа рис. 3 собираются в константу ренормировки глюонных полей. Точно так же расходимости в пропагаторах кварков и духов собираются в добавку к массе кварка (массы глюона и духа вследствие калибровочной инвариантности не перснормируются) и в константы ренормировки кваркового и духового полей, а расходимости вершинных частей кварк-глюонной, тр╦х- и четыр╦х-глюонной и дух-глюоиной ≈ в константы ренормировки заряда. Др. УФ-расходимостей КХД не содержит.
