,ЗРО
О
х
5. Расходимости и перенормировки
Формально математически появление расходимостей связано С тем, что пропагаторы Dc (х) являются сингулярными (точнее, обобщ╦нными) ф-циями, обладающими в окрестности светового конуса при я2~0 особенностями типа полюсов и дельта-функций по д;2. Поэтому их произведения, возникающие в матричных элементах, к-рым на диаграммах отвечают замкнутые петли, плохо определены с матем. точки зрения. Импульсные фу-рье-образы таких произведений могут не существовать, а ≈ формально ≈ выражаться через расходящиеся импульсные интегралы. Так, напр., фейнмановскии интеграл
г . . i Г d*k 7^>~1Г}
(где р ≈ внеш. 4-импульс, k ≈ импульс интегрирования), отвечающий простейшей однопетлевой диаграмме с двумя внутр. скалярными линиями (рис.), не сущест-
Одьипетлевая диаграмма Фейн-пиша с двумя скалярными линиями: о ≈ в координатном представлении; б ≈ в импульсном представлении.
вует. Он пропори, фурье-образу квадрата пропагатора DC (х) скалярного поля и логарифмически расходится на верхнем пределе (т. е. в УФ-области виртуальных импульсов |A-|-voo, так что, напр., если обрезать интеграл на верхнем пределе при |Лг|=Л, то
(т*-
. (13)
где /конЫ ≈ конечное выражение,
Проблема УФ-расходимостей была решена (во всяком случае с точки зрения получения конечных выражений для большинства физически интересных величин) во 2-й пол. 40-х гг. на основе идеи о перенормировках (ренормировках). Суть последней состоит в гом, что бесконечные эффекты квантовых флуктуации, отвечающих замкнутым петлям диаграмм, могут быть выделены в факторы, имеющие характер поправок к исходным характеристикам системы. В итоге массы и константы связи g меняются за сч╦т взаимодействия, т. е. перенормируются. При этом из-за УФ-расходимостей ренорми-рующие добавки оказываются бесконечно большими, Поэтому соотношения перенормировок
(14)
= So т
(где Zm, Z s ≈ факторы перенормировки), связывающие исходные, т, н, затравочные массы тй и затравочные заряды (т. е. константы связи) #0 с физическими т, g, оказываются сингулярными* Чтобы не иметь дело с бессмысленными бесконечными выражениями, вводят ту или иную вспомогат. регуляризацию расходимостей (наподобие использованного в (13) обрезания при |/г| = =л. В аргументах (обозначенных в правых частях (14) многоточиями) радяац. поправок Дт, Д#, так же как н факторов перенормировок 2/, помимо т0 и #0, содержатся сингулярные зависимости от параметров вспомогат. регуляризации.
Устранение расходимостей происходит пут╦м отождествления псренормнрованных масс и зарядов mug с их физ. значениями. Практически для устранения расходимостей часто используют также при╦м введения в исходный лагранжиан контрчленов и выражают го0 и g(f в лагранжиане через физические mug формальными соотношениями, обратными к (14). Разлагая (14) в ряды по физ. параметру взаимодействия:
подбирают сингулярные коэффициенты Л//, GL т. о., чтобы в точности скомпенсировать расходимости, возникающие в фейнмановских интегралах. Класс моделей КТП, для к-рых такую программу можно последовательно провести во всех порядках теории возмущений и в к-рых, т. о., все без исключения УФ-расходимости уда╦тся «убрать» в факторы перенормировки масс и констант связи, наз. классом неренормвр уемых теорий. В теориях этого класса все матричные элементы и ф-ции Грина оказываются в результате выраженными несингулярным образом через физ. массы, заряды и кинематич. переменные.
В перенормируемых моделях можно поэтому ори желании совершенно абстрагироваться от затравочных параметров и УФ-расходимостей, рассматриваемых по отдельности, и полиостью характеризовать результаты теоретич. расч╦тов заданием конечного числа физ. значений масс и зарядов. Матем. основу этого утверждения представляет Боголюбова ≈ Парасюка теорема о перенормируемости, Из ве╦ следует достаточно простая рецептура получения конечных однозначных выражений для матричных элементов, формализованная в виде т. н. ft-операции Боголюбова.
В то же время в неперенормируемых моделях, примером к-рых может служить теперь уже отошедшая в прошлое формулировка слабого взаимодействия в виде четыр╦хфермионного локального лагранжиана Ферм^, не уда╦тся «собрать» все расходимости в «агрегаты», перенормирующие массы и заряды.
Перенормируемые модели КТП характеризуются, как правило, безразмерными константами связи, логарифмически расходящимися вкладами в перенормировку констант связи и масс фермионов и квадратично расходящимися радиац. поправками к массам скалярных частиц (в случае их наличия). Для подобных моделей в итоге проведения процедуры перенормировки получают перенормированную теорию возмущений, К-рая И служит основой практич. расч╦тов.
В перенормйруемых моделях КТП важную роль играют перенормированные ф-ции Грина (одетые пропагаторы) и вершинные части, включающие в себя эффекты взаимодействия. Они могут быть представлены бесконечными суммами членов, отвечающих вс╦ более усложняющимся диаграммам Фейнмана с фиксированным числом и типом внеш. линий. Для подобных величин можно дать формальные определения либо через вакуумные средние хронологич. произведений полевых операторов в представлении взаимодействия и 5-мат-рицы (что эквивалентно вакуумным средним от Г-про-извещений полных, т. е. гейзенберговых, операторов), либо через функциональные производные от производящего функционала Z(J), выражаемого через т. н. расширенную матрицу рассеяния £{/), функционально зависящую от вспомогат. классич, источников Ja(x) полей иа(х].
Формализм производящих функционалов в КТП является аналогом соответствующего формализма ста-тистич. физики. Он позволяет получить для полных ф-ций Грина и вершинных ф-ций ур-ния в функциональных производных ≈ Швингера уравнения, из к-рых в свою очередь можно получить бесконечную цепочку интегродифференц. ур-ний ≈ Дайсана. уравнений. Последние подобны цепочке ур-ний для корреляц. ф-ций статистпч.
6, УФ -асимптотики и ренормгруппа
С УФ-расходимостями в КТП тесно связаны высоко-энергетич. асимптотики перенормированных выражений. Напр., логарифадич, расходимости (12) простейшего фейнмановского интеграла / (р) отвечает логарифмич. асимптотика
304
еон
(Р)
L|LL + const при
| > т
