|
|
лишь взаимодействия с L,-nt вида полиномов невысокой степени по рассматриваемым полям, прич╦м поля сколько-нибудь высоких спинов вообще исключаются из рассмотрения. Т. о., взаимодействие в перенормнруе-мой КТП не допускает ≈ в разительном отличии от классич. и квантовой механики ≈ никаких произвольных ф-ций: как только выбран конкретный набор полей, произвол в L{nt ограничивается фиксированным числом констант взаимодействия (констант связи).
Полную систему ур-кий КТП со взаимодействием (в Гейзенберга представлении) составляют получающиеся из полного лагранжиана ур-ния движения (связанная система дифференц. ур-ний в частных производных с нелинейными членами взаимодействия и самодействия) и канонич. перестановочные соотношения (1). Точное решение такой задачи уда╦тся найти лишь в небольшом числе физически малосодержат. случаев (напр., для нек-рых моделей в двумерном пространстве-времени). С другой стороны, канонич. перестановочные соотношения нарушают, как уже говорилось, явную релятивистскую симметрию, что становится опасным, если вместо точного решения довольствоваться приближ╦нным. Поэтому практич. ценность квантования в форме (1) невелика.
Наиб, распространение в КТП получил метод, основанный на переходе к взаимодействия представлению, в к-ром поля иа (х) удовлетворяют линейным ур-ниям движения для свободных полей, а вс╦ влияние взаимодействия и самодействия переведено на временную эволюцию амплитуды состояния Ф, к-рая теперь не постоянна, а изменяется в соответствии с ур-нием типа ур-ния Шр╦дингера:
|П1(ОФ(0, (8)
прич╦м гамильтониан взаимодействия #jnt (i) в этом представлении зависит от времени через поля иа(х), подчиняющиеся свободным ур-ниям и релятивистски-ковариантным перестановочным соотношениям (2); т.о., оказывается ненужным явное использование канонич. коммутаторов (1) для взаимодействующих полей.
Для сравнения с опытом теория должна решить задачу о рассеянии частиц, в постановке к-рой принимается, чтоасимитотически, при i-э≈oo(-f-oo) система пребывала в стационарном состояний (прид╦т в стационарное состояние) Ф_оо (Ф-4-«)1 прич╦м Ф±«> таковы, что частицы в них не взаимодействуют из-за больших взаимных расстояний (см. также Адиабатическая гипотеза), так что вс╦ взаимное влияние частиц происходит только при конечных временах вблизи t-- 0 и преобразует Ф^^ в Ф+оо^ЗФ-оо- Оператор S наз. матрицей рассеяния (или S-матрицей); через квадраты его матричных элементов
Это видно хотя бы из тогот что для беспрепятственного вычисления матричных элементов (9) необходимо представить матрицу рассеяния в форме не хронологического, а нормального произведения, в к-ром все операторы рождения стоят слева от операторов уничтожения. Задача преобразования одного произведения в другое и составляет истинную трудность и в общем виде решена быть ие может.
4. Теория возмущений
По этой причине для конструктивного решения задачи приходится прибегать к предположению о слабости взаимодействия, т. е. малости лагранжиана взаимодействия £int- Тогда можно разложить хронология, экспоненту в выражении (10) в ряд возмущений, теории, и матричные элементы (9) будут в каждом порядке теории возмущений выражаться через матричные элементы не хронология, экспоненты, а простых хронологич. произведений соответствующего числа лагранжианов взаимодействия:
. . .Лгя <Ф/Г
- ∙ -b
int
выражаются вероятности переходов из данного нач. состояния Ф/ в нек-рое конечное состояние Ф^, т. е. эфф. сечения разл. процессов. Т. о., 5-матрица позволяет находит*ь вероятности физ. процессов, не вникая в детали временной эволюции, описываемой амплитудой Ф((). Тем не менее 5-матрицу обычно строят, исходя из ур-ния (8), к-рое допускает формальное решение в компактном виде;
Гехр
≈ 00
(10)
с помощью оператора Т хроиологич. упорядочения, располагающего все операторы полей в порядке убывания времени г~х® (см. Хронологическое произведение]. Вьь ражени© (10), однако, есть скорее символич. запись процедуры послсдоват. интегрирования ур-ния (8) от ≈ оо до H-QO по бесконечно малым интервалам времени (/, (-[-At), а не пригодное для использования решение.
(п ≈ порядок теории возмущений), т. е. надо будет преобразовывать к нормальной форме не экспоненты, а простые полиномы конкретного вида. Эта задача практически выполняется с помощью техники Фейимана диаграмм я Фейнмана правил.
В фейнмановой технике каждое иоле иа (я) характеризуется своей причинной, функцией Грина (пропагатором или функцией распространения),
D≥' (х≈ у), изображаемой на диаграммах линией, а каждое взаимодействие ≈ константой связи и матричным множителем из соответствующего слагаемого в Lint, изображаемых на диаграмме вершиной. Популярность техники диаграмм Фейнмана, помимо простоты использования, обусловлена их наглядностью. Диаграммы позволяют как бы воочию представить процессы распространения (линии) и взаимопревращения (вершины) частиц ≈ реальных в нач. и конечных состояниях и виртуальных в промежуточных (на внутренних линиях).
Особенно простые выражения получаются для матричных элементов любого процесса в низшем порядке теории возмущений, к-рым соответствуют т. н. древесные диаграммы, не имеющие замкнутых петель, ≈ после перехода к импульсному представлению в них вовсе не оста╦тся интегрирований. Для осн. процессов КЭД такие выражения для матричных элементов были получены на заре возникновения КТП в кон. 20-х гг. и оказались в разумном согласии с опытом (уровень соответствия 10~2 ≈ 1C-3, т. е. порядка постоянной тонкой структуры а). Однако попытки вычисления радиационных поправок (т. е. поправок, связанных с учетом высших приближений) к этим выражениям, напр, к Клейна ≈ Нишины ≈ Тамма ф-ле (см. Клейна ≈ Ни-шины, формула] для комптоновского рассеяния, наталкивались на специфич. трудности. Таким поправкам отвечают диаграммы с замкнутыми петлями из линий виртуальных частиц^ импульсы к-рых не фиксированы законами сохранения, и полная поправка равна сумме вкладов от всех возможных импульсов. Оказалось, что в большинстве случаев возникающие при суммировании этих вкладов интегралы по импульсам виртуальных частиц расходятся в УФ-области, т, е. сами поправки оказываются не только не малыми, но бесконечными.
По соотношению неопредел╦нностей, большим импульсам отвечают малые расстояния. Поэтому можно думать, что физ. истоки расходимостей лежат в представлении о локальности взаимодействия. В этой связи можно говорить об аналогии с бесконечной энергией эл.-магн. поля точечного заряда в классич. электродинамике.
<
00
О
303
