О
X
арактеризуется заданием чисел m, 1S1 рх, /?у, pz, s, первые два из к-рых определяют представление, а следующие четыре ≈ состояние в н╦м. Для заряж. частиц добавятся другие квантовые числа; обозначим их буквой т.
В представлении чисел заполнения состояние совокупности одинаковых частиц фиксируется числами заполнения п g T всех одночастичных состояний (ин-
дексы, характеризующие представление, в целом, не выписаны). В свою очередь вектор состояния |п└ й _>
Jtt S, L
записывают как результат действия на вакуумное состояние |0> (т. е. состояние, в к ром вовсе нет частиц) операторов рождения а+ (р, s, t):
», т)]"*- '∙ M 0>. (3)
Операторы рождения а+ и эрмитово сопряж╦нные им операторы уничтожения а~ удовлетворяют перестановочным соотношениям
, г), а
(4)
где знаки «-J-» и « ≈ » отвечают соответственно Ферми ≈ Дирака и Бозе ≈ Эйнштейна квантованию, а числа заполнения являются собств. значениями операторов
числа частиц пр s т=я+ (p, s, т)а~ (р, s, т). Т. о., вектор
состояния системы, содержащей по одной частице с квантовыми числами plt sb т^; р2, s2, т2; . . ., записывается как
Чтобы учесть локальные свойства теории, надо пере-
вести операторы а^ в координатное представление. В качестве ф-ций преобразования удобно использовать классич. решения ур-ний движения подходящего свободного поля с тензорными (или спинорными) индексами а и индексом внутренней симметрии &. Тогда операторами рождения и уничтожения в координатном представлении будут:
и _
(5)
(Р)
Эти операторы, однако, ещ╦ непригодны для построения локальной КТП: как их коммутатор, так и антикоммутатор пропорциональны не ф-щш Паули ≈ Иордана Z)m, а е╦ положительно- и отрицательно-частотным частям D±(x≈y)[Dm=Dm-\-Dm], к-рые для нространст-вепноподобных пар точек хну не обращаются в нуль. Чтобы получить локальное поле, надо построить суперпозицию операторов рождения и уничтожения (5). Для истинно нейтральных частиц это можно сделать непосредственно, определяя локальное лоренц-ковариант-пое поле как
U£ {' f\ " ∙ )J ^ С + ) { "r\ L ТI О- ( ≈≈ 1 t Т\ I й\ \*"l ≈≈ ** \ s ≈Г" \""t ∙ IU/
Но для заряж. частиц так поступать нельзя: операторы <ZT и ftx в (6) будут один увеличивать, а другой ≈ уменьшать заряд, и их линейная комбинация не будет обладать в этом отношении опродел. свойствами. По-этому для образования локал ьного поля приходится
привлекать в пару к операторам рождения af операторы уничтожения а~ не тех же частиц, а новых частиц
(пометили их сверху значком «тильда»), реализующих то же представление группы Пуанкаре, т. е. обладающих в точности теми же массой и спином, но отличающихся от первоначальных знаком заряда (знаками всех зарядов г), и писать:
302 va& ≈ ма6 <+) -\-иа9(-П; 1?*а0 = (7д0<+ Ч-иав<->.
Из Паули теоремы следует теперь, что для полей целого спина, полевые функции к-рых осуществляют однозначное представление группы Лоренца, при квантовании но Бозе ≈ Эйнштейну коммутаторы \и(х], и(у}]_ или [и(х), v * (у}]- пропорц. ф-ции &т(х≈у} и исчезают вне светового конусат в то время как для осуществляющих двузначные представления полей полуцелого спина то же достигается для антикоммутаторов [u(z), и(у}]+ (или \v(x], v* (y)] + ] при квая^ товании по Ферми ≈ Дираку, Выражаемая ф-лами (6) или (7) связь между удовлетворяющими линейным ур* ниям лоренц-ковариантными ф-циями поля и или v, v *
и операторами а^, а^ рождения и уничтожения свобод-
Т
ных частиц в стационарных квантовомеханич. состояниях есть точное матем. описание корпускулярно-волно-вого дуализма.
Новые, «рождаемые» операторами а~ частицы, без
к-рых нельзя было построить локальные поля (7), наз-≈ по отношению к первоначальным ≈ античастицами. Неизбежность существования античастицы для каждой заряж. частицы ≈ один из гл. выводов квантовой теории свободных полей.
3* Взаимодействие полей
Решения (6) и (7) ур-ний свободного поля пропорц. операторам рождения и уничтожения частиц в стационарных состояниях, т. е, могут описывать лишь такие ситуации, когда с частицами ничего не происходит. Чтобы рассмотреть также и случаи, когда одни частицы влияют на движение других либо превращаются в другие, нужно сделать ур-ния движения нелинейными, т. е. включить в лагранжиан, кроме квадратичных по полям членов, ещ╦ и члены с более высокими степенями.
С точки зрения развитой пока теории такие лагранжианы взаимодействия Lint могли бы быть любыми ф-циями полей и их первых производных, удовлетворяющими лишь ряду простых условий: 1) локальности взаимодействия, требующей, чтобы Lini(x) зависел от разл. полей иа (х) и их первых производных только в одной точке пространства-времени я; 2) релятивистской инвариантности, для выполнения к-рой L(nt должен быть скаляром относительно преобразований Лоренца; 3) ин-вариантности относительно преобразований из групп внутренних симметрии, если таковые имеются у рассматриваемой модели. Для теорий с комплексными полями сюда, э частности, входят требования эрмитовости лагранжиана и инвариантности относительно допустимых в таких теориях калибровочных преобразований.
Кроме того, можно требовать инвариантности теории относительно нек-рых дискретных преобразований, таких, как пространственная инверсия Р, обращение времени Т и зарядовое сопряжение С (заменяющее частицы на античастицы). Доказано (теорема СРТ)Ч что всякое взаимодействие, удовлетворяющее условиям 1)≈3). обязательно должно быть инвариантным относительно одноврем. выполнения этих тр╦х дискретных преобразований.
Многообразие лагранжианов взаимодействия, удовлетворяющих условиям 1)≈3), столь же широко, как, наир.т многообразие ф-ций Лагранжа в классич. механике, и на опрсдел. этапе развития КТП казалось, что теория не да╦т ответа на вопрос о том, почему именно одни из них, а не другие осуществляются в природе. Однако после возникновения идеи перенормировок УФ-расходимостей (см. ниже раздел 5) и блестящей е╦ реализации в квантовой электродинамике (КЭД) выделился преимущественный класс взаимодействий ≈ перенормируемых. Условие 4) ≈ перенормируемости оказывается весьма ограничительным, и его добавление к условиям 1)≈3) оставляет допустимыми
